甘肃省天水市第一中学2020届高三上学期10月月考数学(文)试题

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文档介绍

甘肃省天水市第一中学2020届高三上学期10月月考数学(文)试题

天水一中2020届2019—2020学年度第一学期第一次考试 数学文科试题 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集,集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据交集、补集的定义可得.容易题,注重了基础知识、基本计算能力的考查.‎ ‎【详解】,则 ‎【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.‎ ‎2.已知平面向量,且,则实数的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,选B.‎ ‎3.“”是“”的  ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可推出,再结合充分条件和必要条件的概念,即可得出结果.‎ ‎【详解】若,则,所以,即“”不能推出“”,反之也不成立,因此“”是“”的既不充分也不必要条件.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件,熟记概念即可,属于基础题型.‎ ‎4.在等差数列中,为其前项和,若,则( )‎ A. 60 B. ‎75 ‎C. 90 D. 105‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ,即 ,而 ,故选B.‎ ‎5.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=(  )‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵是偶函数 ‎∴‎ 当时,,又 ‎∴‎ 故选:D ‎6.如图所示的图象对应的函数解析式可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于,∵,当趋向于时,函数趋向于0,趋向于 ‎∴函数的值小于0,故排除 对于,∵是周期函数 ‎∴函数的图像是以轴为中心的波浪线,故排除 对于, ∵的定义域是,且在时,‎ ‎∴,故排除 对于,∵函数,当时,;当时,;且恒成立 ‎∴的图像在趋向于时,;时,;趋向于时,趋向于 故选D 点睛:本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意的选项一一排除.‎ ‎7.已知,有解,,则下列选项中是假命题的为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断、q命题的真假,然后判断选项即可.‎ ‎【详解】∵恒成立,∴对,有解.所以p是真命题.取,满足,∴q也是真命题.∴是假命题,故选B.‎ ‎【点睛】本题考查简单命题以及复合命题真假的判断,属于基础题.‎ ‎8.平面上三个单位向量两两夹角都是,则与夹角是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 由题意得,向量为单位向量,且两两夹角为,‎ ‎ 则,‎ ‎ 且,‎ ‎ 所以与的夹角为,且,‎ ‎ 所以与的夹角为,故选D.‎ ‎9.已知数列的前项和满足()且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m(n,m∈N*)且a1=5,令m=1,可得Sn+1=Sn+S1,可得an+1=5.即可得出.‎ ‎【详解】数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m(n,m∈N*)且a1=5,‎ 令m=1,则Sn+1=Sn+S1=Sn+5.可得an+1=5.‎ 则a8=5.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎10.已知函数 在区间上单调,且在区间内恰好取得一次最大值2,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数恒等变换的应用化简得f(x)=2sinωx可得[﹣,]是函数含原点的递增区间,结合已知可得[﹣,]⊇[],可解得0<ω≤,又函数在区间[0,2π]上恰好取得一次最大值,根据正弦函数的性质可得 ,得 ‎ ,进而得解.‎ ‎【详解】=2sinωx,‎ ‎∴[﹣,]是函数含原点的递增区间.‎ 又∵函数在[]上递增,‎ ‎∴[﹣,]⊇[],‎ ‎∴得不等式组:﹣≤,且≤,‎ 又∵ω>0,‎ ‎∴0<ω≤ ,‎ 又函数在区间[0,2π]上恰好取得一次最大值,‎ 根据正弦函数的性质可知 且 ‎ 可得ω∈[,.综上:ω∈‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质,研究有关三角的函数时要利用整体思想,灵活应用三角函数的图象和性质解题,属于中档题.‎ ‎11.如图所示,为的外心,,,为钝角,为边的中点,则的值为( )‎ A. B. ‎12 ‎C. 6 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点,且为的外心,可知 ,所求 ,由数量积的定义可得 ,代值即可.‎ ‎【详解】如图所示,取的中点,且为的外心,可知,‎ ‎∵是边的中点,∴ .‎ ‎,‎ 由数量积的定义可得 ,‎ 而 ,故;‎ 同理可得 ,‎ 故.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算,数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键,属于中档题.‎ ‎12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时,,则 的解集为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由于函数为奇函数,并且在上有定义,利用求出的值.然后解这个不等式,求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于函数为奇函数,并且在上有定义,故,解得,故当时,,这是一个增函数,且,所以,故,注意到,故.根据奇函数图像关于原点对称可知,当时,,.综上所述,.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性,考查奇函数图像关于原点对称的特点,考查绝对值不等式的解法.属于中档题.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知,若幂函数为奇函数,且在上递减,则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据单调性判断出的正负,然后根据奇偶性判断出的可取值.‎ ‎【详解】‎ 幂函数在上递减,‎ ‎∴ ,即 又因为为奇函数,‎ ‎∴ .‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查根据幂函数奇偶性、单调性判断幂指数的取值,难度较易.幂函数中的幂指数大于零时,则幂函数在递增,若幂指数小于零时,则幂函数在递减.‎ ‎14.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象,则的值为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由平移得f(x)的解析式,再将代入解析式求值即可 ‎【详解】f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则 故答案为 ‎【点睛】本题考查图像平移,考查三角函数值求解,熟记平移原则,准确计算是关键,是基础题 ‎15.若为数列的前项和,且,则等于________.‎ ‎【答案】63‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和关系得到数列是首项为1,公比为2的等比数列,再利用公式得到答案.‎ ‎【详解】当时,,得,‎ 当时,,,‎ 两式作差可得:,则:,‎ 据此可得数列是首项为1,公比为2的等比数列,‎ 其前6项和为.‎ 故答案为63.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的前N项和,意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.‎ ‎16.在同一个平面内,向量的模分别为与的夹角为,且与的夹角为,若,则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】以为轴,建立直角坐标系,则,由的模为与与的夹角为,且知, ,可得,,由可得,,故答案为.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、‎ 同角三角函数之间的关系,属于难题.向量的运算有两种方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和);二是坐标运算:建立坐标系转化为解析几何问题解答,这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便.‎ 三、解答题:共70分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.‎ ‎(1)求C;‎ ‎(2)若,的面积为,求的周长.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理进行边角代换,化简即可求角C;‎ ‎(2)根据,及可得.再利用余弦定理可得,从而可得的周长为.‎ ‎【详解】(1)由已知及正弦定理得,‎ ‎.‎ 故.‎ 可得,所以.‎ ‎(2)由已知的面积为,所以.‎ 又,所以.因为 ,‎ 所以,从而.解得:,‎ 所以的周长为.‎ ‎【点睛】本题考查用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式解三角形,常用的解题方法是利用正弦定理或余弦定理进行“边化角”或“角化边”的转换,本题属于基础题.‎ ‎18.某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下:‎ 微信控 非微信控 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎(1)根据以上数据,能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关?‎ ‎(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人,求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数;‎ ‎(3)从(2)中抽取5位女性中,再随机抽取3人赠送礼品,试求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.‎ 参考数据:‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考公式: ,其中.‎ ‎【答案】(1)没有的把握认为“微信控”与“性别”有关;(2);(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)计算的值,对比题目所给参考数据可以判断出没有把握认为“微信控”与“性别”有关.(2)女性用户中,微信控和非微信控的比例为 ‎,由此求得各抽取的人数.(3)利用列举法以及古典概型概率计算公式,求得抽取人中恰有人是“微信控”的概率.‎ ‎【详解】解:(1)由2×2列联表可得:‎ ‎,‎ 所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关;‎ ‎(2)根据题意所抽取的5位女性中,“微信控”有3人,“非微信控”有2人;‎ ‎(3)设事件“从(2)中抽取的5位女性中,再随机抽取3人,抽取3人中恰有2人是“微信控””‎ 抽取的5位女性中,“微信控”3人分别记为;‎ ‎“非微信控”2人分别记.‎ 则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为:,共有10种;‎ 抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为:,共有6种,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查联表独立性检验的知识,考查分层抽样,考查利用列举法求古典概型,属于中档题.‎ ‎19.如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,ABEF,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直,已知AB=2,EF=1.‎ ‎(I)求证:平面DAF⊥平面CBF;‎ ‎(II)若BC=1,求四棱锥F-ABCD的体积.‎ ‎【答案】(I)见解析;(II).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)通过证明,证得平面,由此证得平面平面.(II)矩形所在平面和圆所在平面垂直,点到边距离即为四棱锥FABCD的高,然后利用锥体体积公式求得四棱锥的体积.‎ ‎【详解】(I)‎ ‎∵AB为圆O的直径,点F在圆O上 ‎∴AF⊥BF ‎ 又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直且它们的交线为AB,CB⊥AB ‎∴CB⊥圆O所在平面 ‎ ‎∴AF⊥BC ‎ 又BC、 BF为平面CBF上两相交直线 ‎∴AF⊥平面CBF ‎ 又 ‎∴平面DAF⊥平面CBF. ‎ ‎(II)连接OE ‎ ∵AB=2,EF=1,ABEF ‎∴OA=OE=1,即四边形OEFA为菱形 ‎ ‎∴AF=OA=OF=1 ‎ ‎∴等边三角形OAF中,点F到边OA的距离为 ‎ 又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直 ‎∴点F到边OA的距离即为四棱锥F-ABCD的高 ‎∴四棱锥F-ABCD的高 ‎ 又BC=1‎ ‎∴矩形的ABCD的面积SABCD= ‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本小题考查空间两个平面垂直的证明,考查四棱锥的体积的求法.要证明两个平面垂直,则需要在一个平面内找到另一个平面的垂线来证明.属于中档题.‎ ‎20.已知,两点分别在x轴和y轴上运动,且,若动点满足.‎ 求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程;‎ 一条纵截距为2的直线与曲线C交于P,Q两点,若以PQ直径的圆恰过原点,求出直线方程.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据向量的坐标运算,以及|AB|=1,得到椭圆的标准方程.‎ ‎(2)直线l1斜率必存在,且纵截距为2,根据直线与椭圆的位置关系,即可求出k的值,问题得以解决.‎ ‎【详解】(1) 因为 即 所以 所以 又因为,所以 即:,即 所以椭圆的标准方程为 ‎ (2) 直线斜率必存在,且纵截距为,设直线为 联立直线和椭圆方程 得: ‎ 由,得 ‎ 设 以直径的圆恰过原点 所以,‎ 即 也即 即 将(1)式代入,得 即 解得,满足(*)式,所以 所以直线 ‎21.已知函数()的图象在处的切线为(‎ 为自然对数的底数)‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,且对任意恒成立,求的最大值.‎ ‎【答案】(1)a=-1,b=1;(2)-1.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)对求导得,根据函数图象在处的切线为,列出方程组,即可求出的值;(2)由(1)可得,根据对任意恒成立,等价于对任意恒成立,构造,求出的单调性,由,,,,可得存在唯一的零点,使得,利用单调性可求出,即可求出的最大值.‎ ‎(1),.‎ 由题意知. ‎ ‎(2)由(1)知:,‎ ‎∴对任意恒成立 对任意恒成立 对任意恒成立. ‎ 令,则.‎ 由于,所以在上单调递增. ‎ 又,,,,‎ 所以存在唯一的,使得,且当时,,时,. 即在单调递减,在上单调递增.‎ 所以.‎ 又,即,∴.‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ,∴ . ‎ 又因为对任意恒成立,‎ 又,∴ . ‎ 点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中,圆C的参数方程(为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是,射线与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为Q,求线段的长. ‎ ‎【答案】(1);(2)2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先利用对圆C的参数方程(φ为参数)进行消参数运算,化为普通方程,再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程.(2)设,联立直线与圆的极坐标方程,解得;设,联立直线与直线的极坐标方程,解得,可得.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)圆C的普通方程为,又,‎ 所以圆C的极坐标方程为.‎ ‎(2)设,则由解得,,得;‎ 设,则由解得,,得;‎ 所以 ‎【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化,考查圆的极坐标方程,考查极坐标方程的求解运算,考查了学生的计算能力以及转化能力,属于基础题.‎ ‎23.已知函数 ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)当的最小值为3时,求的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;‎ ‎(2)先用绝对值不等式的性质求出最小值为a+b+c=3,然后用基本不等式可得.‎ ‎【详解】(1),‎ ‎∴或或,‎ 解得.‎ ‎(2) ,‎ ‎ ‎ ‎.‎ 当且仅当时取得最小值3.‎ ‎【点睛】绝对值不等式的解法:‎ 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;‎ 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;‎ 法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.‎ ‎ ‎
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