数学理卷·2018届河北省定州市（定州中学）高二上学期期中考试（2016-11）

数学理卷·2018届河北省定州市（定州中学）高二上学期期中考试（2016-11）

河北省定州市2016-2017学年高二上学期期中考试 高二理科数学试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.设，是正实数，则“”是“”的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.下列说法中正确的是（ ）‎ A．“”是直线“：与直线：平行”的充要条件 B．命题“，”的否定“，”‎ C．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则”‎ D．若为假命题，则，均为假命题 ‎3.若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎4.在平面区域内随机取一点，在所取的点恰好满足的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.从区间随机抽取个数，，…,，，，…，构成个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.某地区年至年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入 ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ 若关于的线性回归方程为，则据此该地区2017年农村居民家庭人均纯收入约为（ ）‎ A．6.3千元 B．7.5千元 C．6.7千元 D．7.8千元 ‎7.某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查队食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点，线段的垂直平分线于的连线交于点，则的轨迹方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.若曲线的切线方程为，则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎10.某校3名教师和3名学生共6人去北京参加学习方法研讨会，须乘坐两辆车，每车坐人，则恰有两名教师在同一车上的概率（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆 ：作切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）‎ A．10 B．13 C． 16 D．19‎ ‎12.已知，分别为椭圆：的左、右顶点，不同两点，在椭圆上，且关于轴对称，设直线，的斜率分别为，，则当 取最大值时，椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1-50号，并分组，第一组1-5号，第二组6-10号，…，第十组46-50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为 的学生．‎ ‎14.若动圆与圆：外切，且与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程 ．‎ ‎15.如图所示，在长方体中，，，，是与的交点，则点的坐标是 ．‎ ‎16.设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.为贯彻落实教育部等6部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》，全面提高我市中学生的体质健康水平，普及足球知识和技能，市教体局决定矩形春季校园足球联赛，为迎接此次联赛，甲同学选拔了20名学生组成集训队，现统计了这20名学生的身高，记录如下表：‎ 身高（）‎ ‎168‎ ‎174‎ ‎175‎ ‎176‎ ‎178‎ ‎182‎ ‎185‎ ‎188‎ 人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（1）请计算着20名学生的身高中位数、众数，并补充完成下面的茎叶图：‎ ‎（2）身高为185和188的四名学生分别为，，，，先从这四名学生中选2名担任正副门将，请利用列举法列出所有可能情况，并求学生入选正门将的概率．‎ ‎18.设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．‎ ‎（1）如果是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎19.在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线．‎ ‎（1）已知，分别为，的中点，求证：平面；‎ ‎（2）已知，，求二面角的余弦值．‎ ‎20.已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设过点的动直线与相交于，两点，当的面积最大时，求的直线方程．‎ ‎21.如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，⊥平面，且．‎ ‎（1）若，求证：⊥；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎22.已知抛物线：，过焦点斜率大于零的直线交抛物线于、两点，且与其准线交于点．‎ ‎（1）若线段的长为5，求直线的方程；‎ ‎（2）在上是否存在点，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列，若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 高二理科数学试题答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C D C C D A D A C B D 二、填空题 ‎13.37 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）中位数为177，众数为178，茎叶图如下：‎ ‎（2）正副门将的所有可能情况为：，，，，，，，，，，，共12种，其中学生入选正门将有，，共3种，故学生入选正门将的概率为．‎ ‎18.解：（1）命题是真命题，则有，，的取值范围为．‎ ‎①真假，，且，则得不存在；‎ ‎②若假真，则得．‎ 综上，实数的取值范围．‎ ‎19.（1）证明：设的中点为，连接，，‎ 在△，因为是的中点，所以，‎ 又，所以．‎ 在△中，因为是的中点，所以，‎ 又，所以平面平面，‎ 因为平面，所以平面．‎ ‎（2）连接，则平面，‎ 又，且是圆的直径，所以，‎ 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 由题意得，，过点作垂直于点，‎ 所以，‎ 可得．‎ 故，．‎ 设是平面的一个法向量，‎ 由可得可得平面的一个法向量，‎ 因为平面的一个法向量，‎ 所以．‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎20.解：（1）设右焦点，由条件知，，得．‎ 又，所以，，故椭圆的方程为．‎ ‎（2）当⊥轴时不合题意，故设直线：，，．‎ 将代入，得，‎ 当，即时，，‎ 从而，‎ 又点到直线的距离，‎ 所以的面积，设，则，‎ ‎，‎ 因为，当且仅当时，时取等号，且满足．‎ 所以当△的面积最大时，的方程为或．‎ ‎21.（1）证明：如图，过点作⊥于，连接，∴．‎ ‎∵平面⊥平面，平面，平面平面，‎ ‎∴⊥平面．‎ 又∵⊥平面，，∴，且．‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴，‎ 在等边三角形中，⊥，则．‎ ‎（2）连接，由（1），得为中点，又，△为等边三角形，‎ ‎∴⊥，分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 由得令，‎ 得，‎ ‎，，‎ 直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎22.解：（1）焦点，‎ ‎∵直线的斜率不为0，所以设：，‎ ‎，，由得，‎ ‎∴，，‎ ‎，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴直线的斜率，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴直线的方程为．‎ ‎（2）设，，‎ 同理，，‎ ‎∵直线，，的斜率始终成等差数列，‎ ‎∴恒成立，‎ 即恒成立．‎ ‎，即，‎ 把，代入上式，得恒成立，∴．‎ ‎∴存在点或，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列．‎