2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求解一元二次不等式化简集合，再根据补集的运算得，然后根据交集的运算性质得答案．‎ 详解：∵集合 ‎∴‎ ‎∵集合 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选B.‎ 点睛：此题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎2．若复数是纯虚数，且（，是虚数单位），则=（ ）‎ A. 1 B. 2 C. -1 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据复数是纯虚数，设，再结合复数相等的性质进行求解即可．‎ 详解：根据复数是纯虚数，设.‎ ‎∵‎ ‎∴，即.‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查复数相等的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．‎ ‎3．若，则等于（　）‎ A. -1 B. 2 C. 3 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先对函数求导，然后把代入，即可求得答案.‎ 详解：∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查导数的运算，属基础题，熟记导数的运算公式是解决问题的关键．‎ ‎4．过曲线ｙ＝＋１上一点，且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵∴该点处的切线斜率为3，∴所求直线方程为.‎ 故选C.‎ ‎5．函数在上存在导数，若，则必有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意结合不等式的性质确定导函数的符号，结合导函数的符号即可确定函数的单调性，最后，利用单调性即可确定题中不等式的符号.‎ 详解：，则x>1时；x<1时.‎ 故f(x)在上为增函数或常数函数，在上为减函数或常数函数.‎ 故，，即f(0)+f(2)≤2f(1).‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.‎ ‎6．下列函数是奇函数且在区间（0，+∞）上是减函数的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由奇函数的概念知，四个函数均为奇函数，但是增函数，在（0，+∞）上不是单调函数，在（0，+∞）上是减函数，在（0，）上是减函数，在()上是增函数，故选C．‎ ‎7．下列命题中正确是( )‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B. 若为假命题，则也可能为假命题 C. 若命题：，使得，则：，有 D. 是的必要不充分条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：A．根据逆否命题的定义进行判断；B．根据命题及其否定的真假关系进行判断；C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断；D．根据充分条件和必要条件的定义进行判断 详解：对于A，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；‎ 对于B，若为假命题，则为真命题，故B错误；‎ 对于C，若命题：，使得，则：，有，故C错误；‎ 对于D，由可得或，则是的充分不必要条件，故D错误.‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查命题的真假判断，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化；在判断命题的充要条件时，可以先找命题的逆否命题，判断逆否命题的充要条件即可.‎ ‎8．设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．‎ 详解：∵曲线 ‎∴‎ ‎∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力，解答本题时直线方程的倾斜角是易错点，需注意.‎ ‎9．若曲线的一条切线经过点，则此切线的斜率为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】由题意，可设切点坐标为，由，则，切线斜率，由点斜式可得切线方程为，又切线过点，所以，整理得，解得或，所以切线斜或.故正确答案为C.‎ ‎10．定义在上的奇函数满足，且在上是减函数，则有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据，可得，再根据是定义在上的奇函数得 ‎，然后根据在上是减函数，可得在上是减函数，即可得出答案.‎ 详解：∵‎ ‎∴‎ ‎∵是定义在上的奇函数 ‎∴，即.‎ ‎∵在上是减函数 ‎∴在上是减函数 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选B.‎ 点睛：考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，以及减函数的定义．解答比较大小问题，常见思路是判断出各个数值所在区间，再通过题设条件，将自变量对应的函数值转化到同一区间，然后利用函数的单调性直接解答.‎ ‎11．已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：作出与的函数图象，根据图象和交点个数判断的范围．‎ 详解：作出与的函数图象，如图所示：‎ 设直线与相切，切点坐标为，则，解得，，.‎ ‎∵方程恰有两个不同的实根 ‎∴根据图象可知当时，两图象有两个交点.‎ ‎∴实数的取值范围是 故选C.‎ 点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 ‎(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．‎ ‎12．已知定义在上的函数，，其中为偶函数，当时，恒成立；且满足：①对，都有；②当时，.若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵函数满足：当时，恒成立，∴函数为上的偶函数，且在上为单调递增函数，且有，∴，恒成立恒成立，只要使得定义域内，由，得，即函数的周期，∵时，，求导得 ‎，该函数过点，如图，且函数在处取得极大值，在处取得极小值，即函数在上的最大值为2，∵，函数的周期是，∴当时，函数的最大值为2，由，即，则，解得或.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得时，的值域为 还考查了函数恒成立．‎ 二、填空题 ‎13．已知函数 ，若，则实数的值等于________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据题意先求出，再对进行讨论，从而可求得实数的值.‎ 详解：∵函数 ‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 当时，，即，不成立；‎ 当时，，即.‎ ‎∴实数的值等于 故答案为.‎ 点睛：本题考查函数值的求法及应用，当给出函数值求自变量值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.‎ ‎14．已知直线与曲线相切，则_________。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 分析：求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，即可求得的值．‎ 详解：曲线的导数.‎ ‎∵直线与曲线相切 ‎∴切线的斜率为，可得切点的横坐标为.‎ ‎∴切点坐标为 ‎∴，即.‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查导数的应用，. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：（1）已知切点求斜率,即求该点处的导数；（2）己知斜率求切点即解方程；（3）巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.‎ ‎15．已知是定义在上的奇函数，当时， ，则当时，_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求时的解析式，可设，则，所以适合时的解析式，在解析式中把换成后，再运用函数是奇函数即可得到．‎ 详解：设，则.‎ ‎∵当时，‎ ‎∴‎ ‎∵是定义在上的奇函数 ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为.‎ 点睛：本题考查了函数解析式的常用求法，给出了函数在某区间上的解析式，求在其它区间上的解析式时，先在待求区间上设出自变量 ‎，然后通过恰当的变化，使变化后的变量符合给定解析式的区间，然后借助于周期性、奇偶性等求解．‎ ‎16．已知函数，任取两个不相等的正数， ，总有，对于任意的，总有，若有两个不同的零点，则正实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据任取两个不相等的正数， ，总有可得函数为单调递增，再根据对于任意的，总有，利用换元法可求出函数的表达式，然后根据有两个不同的零点等价为在上有两个不同的解，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，即可求得正实数的取值范围.‎ 详解：∵任取两个不相等的正数， ，总有 ‎∴函数在上是单调增函数 令，则.‎ 又∵对于任意的，总有 ‎ ‎∴‎ 令，则 ‎∵函数在上是单调增函数 ‎∴，即.‎ ‎∴，则.‎ ‎∵有两个不同的零点 ‎∴在上有两个不同的解 设，则.‎ ‎∴当时，，则在上单调递减；‎ 当时，，则在上单调递增.‎ ‎∴‎ ‎∴，即.‎ ‎∵为正实数 ‎∴‎ 故答案为.‎ 点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和零点问题中的应用.对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）当时，求的值域.‎ ‎【答案】（1）单调增区间为和，单调减区间为；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）对函数求导，分别令和，即可求得的单调区间；（2）由（1）可得在和上单调递增，在上单调递减，即可求得函数的值域.‎ 详解：（1）由题意得，，‎ 令，则或；令，则；‎ ‎∴的单调增区间为和，单调减区间为；‎ ‎（2）由（1）得在和上单调递增，在上单调递减.‎ ‎∵，，，，‎ ‎∴的值域为.‎ 点睛：本题主要考查导数在研究函数的单调性，属于中高档题型，也是常考题.‎ 利用导数研究函数的单调性的一般步骤为：①确定函数的定义域；②求函数的导数；③若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式或即可.‎ ‎18．已知下列两个命题： 函数在[2，＋∞)单调递增； 关于的不等式的解集为.若为真命题， 为假命题，求的取值范围．‎ ‎【答案】{m|m≤1或2＜m＜3}．‎ ‎【解析】试题分析:先根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定P为真命题时的取值范围，根据二次函数图像确定一元二次不等式恒成立的条件，解得为真命题时的取值范围，再根据为真命题， 为假命题得P与Q一真一假，最后分类讨论真假性确定的取值范围．‎ 试题解析：函数f(x)＝x2－2mx＋4(m∈R)的对称轴为x＝m，故P为真命题⇔m≤2 ‎ Q为真命题⇔Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1＜0⇒1＜m＜3. ‎ ‎∵P∨Q为真，P∧Q为假，∴P与Q一真一假． ‎ 若P真Q假，则m≤2，且m≤1或m≥3，∴m≤1； ‎ 若P假Q真，则m＞2，且1＜m＜3，∴2＜m＜3. ‎ 综上所述，m的取值范围为{m|m≤1或2＜m＜3}． ‎ ‎19．已知函数． ‎ 求的极值；‎ 若在区间上单调递减，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1） 极大值为，极小值为；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）令，求根后，结合函数单调性即可得极值；‎ ‎（2）由，得减区间，所以是子集，列不等式组求解即可 试题解析：‎ ‎，‎ ‎1和4别是的两根，‎ 根据单调性可知极大值为，极小值为.‎ 由上得，‎ 由．‎ 故的单调递减区间为，‎ ‎，‎ 解得：m的取值范围： ．‎ 点睛：利用函数的导数研究函数的单调性有两种题型，一种是求单调区间，只需令导数大于0求增区间，令导数小于0求减区间；另一种是已知函数的单调性求参数，若已知函数单增，只需函数导数在区间上恒大于等于0即可，若已知函数单减，只需函数导数小于等于0即可，或考虑为单调区间的子集.注意等号！‎ ‎20．已知抛物线的焦点为，点满足.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点的直线交抛物线于两点，当时，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据点在抛物线上及，即可求得得值，从而可求出抛物线的方程；（2）易知直线斜率必存在，设， ， ，由，可得，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，即可求出，从而可求出直线的方程.‎ 试题解析：（1）由条件易知在抛物线上， ， ‎ 故，即抛物线的方程为； ‎ ‎（2）易知直线斜率必存在，设， ， ， ‎ ‎①， ‎ 联立得即， ‎ 由得，且②， ③， ‎ 由①②③得，即直线. ‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若是函数的导函数的两个零点，当时，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）当时，对函数求导，分别求出和，则可求得曲线在处的切线方程；（2）由是函数的导函数的两个零点，可得是方程，根据韦达定理可得，，令，由于，，故可得，，且，，即可得，再根据，进行化简消元，令，构造新的函数，然后利用导数判断函数在上单调递增，即可得，从而得证.‎ 详解：（1）当时，，.‎ 所以，.‎ 所以曲线在处的切线方程为，即.‎ ‎（2）由题得，.‎ ‎∵是导函数的两个零点 ‎∴是方程的两根，‎ 故.‎ 令，因为，‎ 所以，，‎ 所以，且，‎ 所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以，‎ 令，.‎ 因为，‎ 所以在区间内单调递增，‎ 所以，即.‎ 点睛：本题主要考查利用导数求曲线上某点处的切线，利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，考查构造函数的思想.根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件通过构造函数法证明不等式恒成立问题过程中，要注意变形要是等价变形.‎ ‎22．已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据极坐标和参数方程的定义进行求解即可；（2）设对应的参数分别为，，联立方程求出结合进行计算即可．‎ 详解：（1）因为，所以.‎ 所以，即曲线的直角坐标方程为： .‎ 直线的参数方程(为参数)，即 (为参数).‎ ‎（2）设点对应的参数分别为，.‎ 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，整理，得，所以.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 点睛：本题主要考查参数方程，极坐标方程的应用，根据相应的转换公式进行化简是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力．‎