天津市和平区2020届高三数学高考二模试题(解析版)

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天津市和平区2020届高三数学高考二模试题(解析版)

2020 届天津市和平区高考二模数学试题 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设复数  2z a i a R   的共轭复数为 z ,且 2z z  ,则复数 2 z ai 在复平面内对应点 位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知条件求出 a=1,再根据复数的运算法则求解复数 2 z ai ,即可得到其在复平面内的点 所在象限. 【详解】 2 2 1z z a a     ,  5 21 2 2 2 5 iz i ai i    = 2 5 5 5 5 i , 所以对应点位于第一象限. 故选:A 【点睛】此题考查复数的概念和基本运算以及几何意义,关键在于根据复数的运算法则准确 求解. 2.设 xR ,则“ 3 1x  ”是“ 1 1 2 2x   ”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求解三次不等式和绝对值不等式确定 x 的取值范围,然后考查充分性和必要性是否成立即 可. 【详解】由 3 1x  可得 1x  , 由 1 1 2 2x   可得 0 1x  , 据此可知“ 3 1x  ”是“ 1 1 2 2x   ”的必要而不充分条件. 故选 B. 【点睛】本题主要考查不等式的解法,充分性与必要性的判定等知识,意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 3.已知: 11ln 4a  , 1 1 3 e b      , 1 1log 3e c  ,则 a,b,c 的大小关系为( ) A. c a b  B. c b a  C. b a c  D. a b c  【答案】A 【解析】 【分析】 利用指数函数,对数函数的性质求解. 【详解】因为 1 11 11 ln ln log ln34 3e e a c      , 1 0 11 10 3 3 e b               , 所以 a,b,c 的大小关系为 c a b  . 故选:A 【点睛】本题主要考查指数函数,对数函数的性质,还考查了转化问题的能力,属于基础题. 4.已知甲、乙两人独立出行,各租用共享单车一次(假定费用只可能为1、2 、3元).甲、乙 租车费用为1元的概率分别是 0.5、0.2 ,甲、乙租车费用为 2 元的概率分别是 0.2 、 0.4 ,则 甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为( ) A. 0.18 B. 0.3 C. 0.24 D. 0.36 【答案】B 【解析】 【分析】 甲、乙两人所扣租车费用相同即同为 1 元,或同为 2 元,或同为 3 元,由独立事件的概率公 式计算即得. 【详解】由题意甲、乙租车费用为 3 元的概率分别是 0.3,0.4 , ∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为 0.5 0.2 0.2 0.4 0.3 0.4 0.3P        . 故选:B. 【点睛】本题考查独立性事件的概率.掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础. 5.在 ABC 中,角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ,若 1a  , 2 3c  , sin sin 3b A a B     ,则 sinC  ( ) A. 3 7 B. 21 7 C. 21 12 D. 57 19 【答案】B 【解析】 【分析】 利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得 3tan 3B  ,可得出 6B  ,然后利用余弦定 理求出b 的值,最后利用正弦定理可求出 sinC 的值. 【详解】 3 1sin sin cos sin3 2 2b A a B a B a B       , 即 3 1sin sin sin cos sin sin2 2A B A B A B  ,即 3sin sin 3sin cosA B A A , sin 0A  , 3sin 3 cosB B  ,得 3tan 3B  , 0 B   , 6B   . 由余弦定理得 2 2 32 cos 1 12 2 1 2 3 72b a c ac B          , 由正弦定理 sin sin c b C B  ,因此, 12 3sin 212sin 77 c BC b     . 故选:B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算,考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余 弦定理与正弦定理的应用,考查运算求解能力,属于中等题. 6.已知双曲线 2 2 2: 1( 0)3 x yC aa    的右焦点为 F ,圆 2 2 2x y c  ( c 为双曲线的半焦距) 与双曲线 C 的一条渐近线交于 ,A B 两点,且线段 AF 的中点 M 落在另一条渐近线上,则双 曲线C 的方程是( ) A. 2 2 14 3 x y  B. 22 13 3 yx   C. 2 2 12 3 x y  D. 2 2 13 yx   【答案】D 【解析】 【分析】 渐近线过圆心,代入求出渐近线,点 (c,0)F 在圆 2 2 2x y c  上,得 AF BF ,由 AB 中 点O 及线段 AF 的中点 M ,由中位线得渐近线与 BF 平行,建立方程组求解. 【详解】不妨设双曲线 C 的一条渐近线方程为 3y xa  ,代入圆 2 2 2x y c  ,得 x a  , 则 3y   , 所 以 ( , 3), ( , 3)A a B a  . 易 知 点 (c,0)F 在 圆 2 2 2x y c  上 , 所 以 AF BF ,得 1AF BFk k   ,即 3 3 1c a a c     ①.因为线段 AF 的中点 M 落在另一条渐 近线上,且 | | | |OA OF c  ,所以, AF 与该渐近线垂直,所以该渐近线与 BF 平行,得 3 3 a c a   ②.解①②组成的方程组,得 1, 2a c  ,所以双曲线C 的方程为 2 2 13 yx   . 故选:D. 【点睛】本题考查利用双曲线的几何性质求双曲线方程. 求双曲线方程的思路: (1)如果已知双曲线的中心在原点,且确定了焦点在 x 轴上或 y 轴上,则设出相应形式的标准 方程,然后根据条件确定关于 a b c, , 的方程组,解出 2 2a b, ,从而写出双曲线的标准方程(求 得的方程可能是一个,也有可能是两个,注意合理取舍,但不要漏解). (2)当焦点位置不确定时,有两种方法来解决:一种是分类讨论,注意考虑要全面;另一种是 设双曲线的一般方程为 ( )2 2 1 0mx ny mn <+ = 求解. 7.把函数   sin 2 ( 0)6f x A x A      的图象向右平移 4  个单位长度,得到函数  g x 的图 象,若函数   0g x m m  是偶函数,则实数 m 的最小值是( ) A. 5 12  B. 5 6  C. 6  D. 12  【答案】A 【解析】 【分析】 先求出  g x 的解析式,再求出   0g x m m  的解析式,根据三角函数图象的对称性可求 实数 m 满足的等式,从而可求其最小值. 【详解】   sin 2 ( 0)6f x A x A      的图象向右平移 4  个单位长度, 所得图象对应的函数解析式为   2sin 2 sin 22 6 3g x A x A x                , 故   2sin 2 2 3g x m A x m        . 令 22 2 3 2x m k     , k Z ,解得 7 12 2 kx m     , k Z 因为  y g x m  为偶函数,故直线 0x  为其图象的对称轴, 令 07 12 2    km , k Z ,故 7 12 2 km     , k Z , 因为 0m  ,故 2k   ,当 2k   时, min 5 12m  . 故选:A. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质,注意平移变换是对自变量 x 做加减,比如把  2y f x 的图象向右平移 1 个单位后,得到的图象对应的解析式为    2 1 2 2y f x f x      ,另外,如果 x m 为正弦型函数    sinf x A x   图象 的对称轴,则有    f m A ,本题属于中档题. 8.已知 a 、 0b  , 21 ba b a      ,则当 1a b  取最小值时, 2 2 1a b  的值为( ) A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由 21 ba b a      得出 2 2 1 2a ba b b a    ,进而可得出 21 4a ba b b a       ,利用基本不等式求 出 21a b     的值,利用等号成立的条件求得 2b a ,进而可得出 2 2 1a b  的值. 【详解】由 2 2 2 1 1 2a ba ab b b a         得, 2 2 1 2a ba b b a    , 2 2 2 1 1 2 2 2 4 4a a b a a ba ab b b b a b b a              ,等号成立时 4a b b a  ,即 2b a , 此时 2 2 1 2 3a ba b b a     . 故选:C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,同时要注意等号成立的条件,考查计算能力,属 于中等题. 9.已知函数   2 1 , 01 2 1, 0 x xf x x x x x        ,函数 g(x)=f(1-x)-kx+k- 1 2 恰有三个不同的零 点,则 k 的取值范围是( ) A. (-2- 2 ,0]∪ 9 2     B. (-2+ 2 ,0]∪ 9 2     C. (-2- 2 ,0]∪ 1 2     D. (-2+ 2 ,0]∪ 1 2     【答案】D 【解析】 【分析】 g(x)=f(1-x)-kx+k- 1 2 恰有三个不同的零点,即方程 f(1-x)=k(x-1)+ 1 2 恰有 3 个不 同实根,令 1-x=t,则方程 f(t)=-kt+ 1 2 恰有三个不同实根,即函数 y=f(x)与 y=-kx + 1 2 的图象恰有 3 个不同交点,数形结合即可求解. 【详解】∵g(x)=f(1-x)-kx+k- 1 2 恰有 3 个不同零点,∴方程 f(1-x)=k(x-1)+ 1 2 恰 有 3 个不同实根,令 1-x=t,则方程 f(t)=-kt+ 1 2 恰有三个不同实根,即函数 y=f(x) 与 y=-kx+ 1 2 的图象恰有 3 个不同交点,画出函数图象如下图: 当-k=0 即 k=0 时有三个交点,当 y=-kx+ 1 2 与 f(x)=x2+2x+1(x<0)相切时可求得 k= -2+ 2 ,当 y=-kx+ 1 2 与 f(x)= 1 1 x x   ,x≥0 相切时可求得 k= 1 2 ,故由图可得-2+ 2 > , 故   1 21 3( ) 1 02 2 xh x e x    > , 即 1 21 3( ) 12 2 xe x   > . 【点睛】本题主要考查导数的应用,用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒 成立求参数的问题,属于常考题型.
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