2018届二轮复习3-2导数与函数的小综合课件（全国通用）

2018届二轮复习3-2导数与函数的小综合课件（全国通用）

3 . 2 　 导数与函数的小综合 - 2 - - 3 - 知识梳理 考点自测 1 . 函数的单调性与导数的关系 (1) 已知函数 f ( x ) 在某个区间内可导 , ① 如果 f' ( x ) > 0, 那么函数 y=f ( x ) 在这个区间内 　　　　　　　　 ;   ② 如果 f' ( x ) < 0, 那么函数 y=f ( x ) 在这个区间内 　　　　　　　　 ;   ③ 若 f' ( x ) = 0, 则 f ( x ) 在这个区间内是 　　　　　　　　 .   (2) 可导函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上单调递增 , 则有 　　　　 在 [ a , b ] 上恒成立 .   (3) 可导函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上单调递减 , 则有 　　　　 在 [ a , b ] 上恒成立 .   (4) 若函数 y=f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内单调 , 则 y=f' ( x ) 在该区间内 　　　　　　 .   单调递增 单调递减 常数函数 f' ( x ) ≥ 0 f' ( x ) ≤ 0 不变号 - 4 - 知识梳理 考点自测 2 . 函数的极值 一般地 , 当函数 f ( x ) 的图象在点 x 0 处连续时 , (1) 如果在 x 0 附近的左侧 　　　　　 , 右侧 　　　　　 , 那么 f ( x 0 ) 是极大值 ;   (2) 如果在 x 0 附近的左侧 　　　　　 , 右侧 　　　　　 , 那么 f ( x 0 ) 是极小值 .   f' ( x ) > 0 f' ( x ) < 0 f' ( x ) < 0 f' ( x ) > 0 - 5 - 知识梳理 考点自测 3 . 函数的最值 (1) 图象在区间 [ a , b ] 上连续的函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上必有最大值与最小值 . (2) 若函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上单调递增 , 则 　　 为函数的最小值 , 　　 为函数的最大值 ; 若函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上单调递减 , 则 　　　 为函数的最大值 , 　　　 为函数的最小值 .   (3) 设函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内可导 , 图象在 [ a , b ] 上连续 , 求 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最大值和最小值的步骤如下 : ① 求 f ( x ) 在 ( a , b ) 内的 　　　　 ;   ② 将 f ( x ) 的各极值与 　　　　　　　 进行比较 , 其中最大的一个是最大值 , 最小的一个是最小值 .   f ( a ) f ( b ) f ( a ) f ( b ) 极值 f ( a ), f ( b ) - 6 - 知识梳理 考点自测 1 . 若函数 f ( x ) 的图象连续不断 , 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上一定有最值 . 2 . 若函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上是单调函数 , 则 f ( x ) 一定在区间端点处取得最值 . 3 . 若函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内只有一个极值点 , 则相应的极值点一定是函数的最值点 . - 7 - 知识梳理 考点自测 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 如果函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内单调递增 , 那么一定有 f' ( x ) > 0 . ( 　　 ) (2) 函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 . ( 　　 ) (3) 导数为零的点不一定是极值点 . ( 　　 ) (4) 函数的极大值不一定比极小值大 . ( 　　 ) (5) 函数的最大值不一定是极大值 , 函数的最小值也不一定是极小值 . ( 　　 ) × × √ √ √ - 8 - 知识梳理 考点自测 2 . 如图是函数 y=f ( x ) 的导函数 f' ( x ) 的图象 , 则下面判断正确的是 ( 　　 ) A. 在区间 ( - 2,1) 内 , f ( x ) 是增函数 B. 在区间 (1,3) 内 , f ( x ) 是减函数 C. 在区间 (4,5) 内 , f ( x ) 是增函数 D. 在区间 (2,3) 内 , f ( x ) 不是单调函数 C 3 . (2016 四川 , 文 6) 已知 a 为函数 f ( x ) =x 3 - 12 x 的极小值点 , 则 a= ( 　　 ) A. - 4 B. - 2 C.4 D.2 D 解析 : f' ( x ) = 3 x 2 - 12 = 3( x+ 2)( x- 2), 令 f' ( x ) = 0, 得 x=- 2 或 x= 2, 易得 f ( x ) 在 ( - 2,2) 内单调递减 , 在 ( -∞ , - 2),(2, +∞ ) 内单调递增 , 故 f ( x ) 极小值为 f (2), 由已知得 a= 2, 故选 D . - 9 - 知识梳理 考点自测 A - 10 - 知识梳理 考点自测 5 . 已知函数 f ( x ) =x 3 +ax 2 + 3 x 在定义域上是增函数 , 则实数 a 的取值范围为 　　　　　 .   [ - 3,3] 解析 : ∵ 函数 f ( x ) =x 3 +ax 2 + 3 x 在定义域上是增函数 , ∴ f' ( x ) = 3 x 2 + 2 ax+ 3 ≥ 0 在 R 上恒成立 , ∴ Δ= 4 a 2 - 36 ≤ 0, 解得 - 3 ≤ a ≤ 3 . - 11 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 考点五 讨论函数的单调性或求单调区间 例 1 已知函数 f ( x ) =ax 3 +x 2 ( a ∈ R ) 在 处取得极值 . (1) 确定 a 的值 ; (2) 若 g ( x ) =f ( x )e x , 讨论 g ( x ) 的单调性 . - 12 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 考点五 令 g' ( x ) = 0, 解得 x= 0 或 x=- 1 或 x=- 4 . 当 x<- 4 时 , g' ( x ) < 0, 故 g ( x ) 为减函数 ; 当 - 4 0, 故 g ( x ) 为增函数 ; 当 - 1 0 时 , g' ( x ) > 0, 故 g ( x ) 为增函数 . 综上知 g ( x ) 在 ( -∞ , - 4) 和 ( - 1,0) 内为减函数 , 在 ( - 4, - 1) 和 (0, +∞ ) 内为增函数 . - 13 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 考点五 思考 如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间 ? 解题心得 1 . 利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号 , 当 f ( x ) 不含参数时 , 解不等式 f' ( x ) > 0( 或 f' ( x ) < 0) 直接得到单调递增 ( 或递减 ) 区间 ; 当 f ( x ) 含参数时 , 需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 . 2 . 导数法求函数单调区间的一般流程 : 求定义域 → 求导数 f' ( x )→ 求 f' ( x ) = 0 在定义域内的根 → 用求得的根划分定义区间 → 确定 f' ( x ) 在各个开区间内的符号 → 得相应开区间上的单调性 . - 14 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 考点五 对点训练 1 已知函数 f ( x ) = x 2 - 2 a ln x+ ( a- 2) x , 当 a< 0 时 , 讨论函数 f ( x ) 的单调性 . ② 当 0 <-a< 2, 即 - 2 2 时 , f' ( x ) > 0; -a 2, 即 a<- 2 时 , ∵ 0 -a 时 , f' ( x ) > 0;2 0, 所以当 0 -b ≥ 0, 得 b ≤ 0, 此时 ab= 0; 若 a< 0, 则由 f' ( x ) > 0, 知函数单调增 , x → -∞ , 此时 f ( x )→ -∞ , 不可能恒有 f ( x ) ≥ 0 . 若 a> 0, 由 f' ( x ) = e x -a= 0, 得极小值点 x= ln a , 由 f (ln a ) =a-a ln a+a-b ≥ 0, 得 b ≤ a (2 - ln a ), ab ≤ a 2 (2 - ln a ) . 令 g ( a ) =a 2 (2 - ln a ), 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 - 28 - 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 思考 求函数的最值可划分为哪几步 ? 解题心得 求函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最大值和最小值的步骤 : (1) 求函数在 ( a , b ) 内的极值 . (2) 求函数在区间端点处的函数值 f ( a ), f ( b ) . (3) 将函数 f ( x ) 的极值与 f ( a ), f ( b ) 比较 , 其中最大的一个为最大值 , 最小的一个为最小值 . - 29 - 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 对点训练 4 (2017 湖南衡阳三次联考 , 文 11) 已知 x= 1 是函数 f ( x ) =ax 3 -bx- ln x ( a> 0, b ∈ R ) 的一个极值点 , 则 ln a 与 b- 1 的大小关系是 ( 　　 ) A . ln a>b- 1 B . ln a 0, ∴ f (e) 是函数的极小值 . ∵ f (2) 是函数 f ( x ) 的最小值 , ∴ f (e) ≥ f (2), ∴ - 1 ≤ a ≤ 6, ∴ 2 ≤ a ≤ 6 . 故选 D . - 33 - 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 - 34 - 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 - 35 - 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 高频小考点 —— 导数法求参数的取值范围 答案 : C - 36 - 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 - 37 - 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 - 38 - 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 典例 2 (2015 全国 Ⅰ ) 设函数 f ( x ) = e x (2 x- 1) -ax+a , 其中 a< 1, 若存在唯一的整数 x 0 使得 f ( x 0 ) < 0, 则 a 的取值范围是 ( 　　 ) 答案 : D 解析 : 设 g ( x ) = e x (2 x- 1), h ( x ) =a ( x- 1), 则不等式 f ( x ) < 0 即为 g ( x ) 0, 则 a 的取值范围是 ( 　　 ) A . (2, +∞ ) B . (1, +∞ ) C . ( -∞ , - 2) D . ( -∞ , - 1) 答案 : C - 41 - 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 - 42 - 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 典例 4 (2014 全国 Ⅱ , 文 11) 若函数 f ( x ) =kx- ln x 在区间 (1, +∞ ) 单调递增 , 则 k 的取值范围是 ( 　　 ) A.( -∞ , - 2] B.( -∞ , - 1] C.[2, +∞ ) D.[1, +∞ ) 答案 : D - 43 - 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 反思提升 解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参不等式 , 寻找的方法就是等价转换 . 若限制条件为函数有唯一的正 ( 负 ) 零点 , 或存在唯一的 x 0 使得 f ( x 0 ) < 0, 可根据函数的单调性 , 利用函数极值的正负满足限制条件 , 得到关于参数的不等式求解 ; 若限制条件为存在一个 x 满足等式或不等式 , 解题思路往往是首先分离参数或含参数的表达式 , 得到一个等式或不等式 , 然后通过求最值把限制条件进一步转换成以参数为变量的不等式 , 解出参数的范围 . - 44 - 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 D - 45 - 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五