2021高考数学大一轮复习考点规范练27平面向量的数量积与平面向量的应用理新人教A版
考点规范练27 平面向量的数量积与平面向量的应用
考点规范练A册第18页
基础巩固
1.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是( )
A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
答案:B
解析:A项,设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立;
B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.
故不等式不恒成立;
C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;
D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,故选B.
2.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案:B
解析:由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°,
则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cosθ-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故选B.
3.(2019全国Ⅰ,理7)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
答案:B
解析:因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,
所以a·b=b2.所以cos
=a·b|a|·|b|=|b|22|b|2=12,
所以a与b的夹角为π3,故选B.
4.(2019全国Ⅱ,理3)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC=( )
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A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案:C
解析:由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,则BC=(1,0).所以AB·BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.
5.(2019河北唐山一中高三下学期冲刺)设四边形ABCD为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4.若点M,N满足BM=3MC,DN=2NC,则AM·NM=( )
A.20 B.15 C.9 D.6
答案:C
解析:因为BM=3MC,DN=2NC,所以AM=AB+34BC,NM=13AB-14BC,则AM·NM=AB+34BC·13AB-14BC=13AB2-316BC2=9.
6.(2019广西桂林高三一模)已知平面向量AB,AC的模都为2,=90°,若BM=λMC(λ≠0),则AM·(AB+AC)=( )
A.4 B.2 C.3 D.0
答案:A
解析:设BC的中点为N,根据向量加法的平行四边形法则得到AB+AC=2AN,所以AM·(AB+AC)=2AM·AN.平面向量AB,AC的模都为2,AN是Rt△ABC的中线,则|AN|=2.由向量投影的几何意义可得2AM·AN=2|AN|2=4.故选A.
7.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且p∥q,则|p+q|的值为( )
A.5 B.13 C.5 D.13
答案:B
解析:由题意,得2×6+3x=0,解得x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=13.
8.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( )
A.5 B.25 C.5 D.10
答案:C
解析:依题意得,AC·BD=1×(-4)+2×2=0,∴AC⊥BD.
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∴四边形ABCD的面积为12|AC||BD|=12×5×20=5.
9.(2019北京,理7)设点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:∵A,B,C三点不共线,∴|AB+AC|>|BC|⇔|AB+AC|>|AB-AC|⇔|AB+AC|2>|AB-AC|2⇔AB·AC>0⇔AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的充分必要条件,故选C.
10.已知A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量AB在向量CD方向上的投影为 .
答案:2105
解析:由A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),得AB=(2,2),CD=(-1,3),AB·CD=2×(-1)+2×3=4,
|CD|=1+9=10,则向量AB在向量CD方向上的投影为AB·CD|CD|=410=2105.
11.设e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,若a=e1+λe2与b=2e1-3e2垂直,则λ= .
答案:14
解析:∵e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,
∴|e1|=|e2|=1,e1·e2=12.
∵(e1+λe2)⊥(2e1-3e2),
∴(e1+λe2)·(2e1-3e2)=2e12+(2λ-3)e1·e2-3λe22=2+12(2λ-3)-3λ=0.∴λ=14.
12.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.
(1)求向量a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.
解:(1)因为|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9,
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所以4a2-3b2-4a·b=9,即16-8cosθ-3=9.
所以cosθ=12.因为θ∈[0,π],所以θ=π3.
(2)由(1)可知a·b=|a||b|cosπ3=1,所以|a+b|=a2+b2+2a·b=7,a·(a+b)=a2+a·b=5.
所以向量a在a+b方向上的投影为a·(a+b)|a+b|=57=577.
能力提升
13.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,m,n的夹角为θ,cos θ=13.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( )
A.4 B.-4 C.94 D.-94
答案:B
解析:由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),
因为n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m||n|cosθ+|n|2=t×3k×4k×13+(4k)2=4tk2+16k2=0.
所以t=-4,故选B.
14.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是( )
A.-2 B.-32 C.-43 D.-1
答案:B
解析:以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.
可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).
设P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).
所以PB+PC=(-2x,-2y).
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所以PA·(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32≥-32.
当点P的坐标为0,32时,PA·(PB+PC)取得最小值为-32,故选B.
15.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AE·BE的最小值为( )
A.2116 B.32
C.2516 D.3
答案:A
解析:如图,取AB的中点F,连接EF,
AE·BE=(AE+BE)2-(AE-BE)24=(2FE)2-AB24=|FE|2-14.
当EF⊥CD时,|EF|最小,即AE·BE取最小值.
过点A作AH⊥EF于点H,由AD⊥CD,EF⊥CD,可得EH=AD=1,∠DAH=90°.
因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°.
在Rt△AFH中,易知AF=12,HF=14,
所以EF=EH+HF=1+14=54.
所以(AE·BE)min=542-14=2116.
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16.(2019江苏,12)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若AB·AC=6AO·EC,则ABAC的值是 .
答案:3
解析:如图,过点D作DF∥CE,交AB于点F,
由BE=2EA,D为BC中点,知BF=FE=EA,AO=OD.
又AB·AC=6AO·EC=3AD·(AC-AE)
=32(AB+AC)·AC-13AB
=32AB·AC-13AB2+AC2-13AB·AC
=3223AB·AC-13AB2+AC2
=AB·AC-12AB2+32AC2,
得12AB2=32AC2,即|AB|=3|AC|,故ABAC=3.
17.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是 .
答案:7
解析:设a与b的夹角为φ,由已知得φ=60°,不妨取a=(1,0),b=(1,3).
设e=(cosα,sinα),
则|a·e|+|b·e|=|cosα|+|cosα+3sinα|
≤|cosα|+|cosα|+3|sinα|=2|cosα|+3|sinα|,
当cosα与sinα同号时等号成立.
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所以2|cosα|+3|sinα|=|2cosα+3sinα|=727cosα+37sinα=7|sin(α+θ)|其中sinθ=27,cosθ=37,取θ为锐角.显然7|sin(α+θ)|≤7.
易知当α+θ=π2时,|sin(α+θ)|取最大值1,此时α为锐角,sinα,cosα同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为7.
高考预测
18.已知两个平面向量a,b满足|a|=1,|a-2b|=21,且a与b的夹角为120°,则|b|= .
答案:2
解析:∵向量a,b满足|a|=1,|a-2b|=21,且a与b的夹角为120°,
∴(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1-4×1×|b|cos120°+4|b|2=21,
化简得2|b|2+|b|-10=0,解得|b|=2(负值舍去).
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