江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（文）试题

江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（文）试题

‎2021届高二下学期第一次月考数学文科试卷 ‎ 2020.05.‎ ‎(考试时间:120分钟 总分:150分)‎ ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、 选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.‎ ‎1、已知点的极坐标为‎(2,‎2π‎3‎)‎那么它的直角坐标为‎(    )‎ A.‎(-1,‎3‎)‎ B. ‎(-‎3‎,-1)‎ C. ‎(‎3‎,-1)‎ D. ‎‎(-1,-‎3‎)‎ ‎2、命题“，”的否定是 （ ）‎ ‎ A. 不存在， B. 存在，‎ C. ， D. ，‎ ‎3、双曲线的一条渐近线的方程为 ( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎4、下列命题是真命题的是（ ）‎ A.“若,则”的逆命题 ‎ B.“若，则”的否定 C. “若都是偶数，则是偶数”的否命题 D. “若函数都是R上的奇函数，则是R上的奇函数”的逆否命题 ‎ ‎5、已知椭圆与双曲线－＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、已知函数与的图象如图所示，则不等式组的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7、已知函数f（x）＝x2﹣3x，g（x）＝mx+1，对任意x1∈[1，3]，存在x2∈[1，3]，使得 g（x1）＝f（x2），则实数m的取值范围为（　　）‎ A．[‎-‎‎13‎‎12‎，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．[‎-‎13‎‎12‎，+∞‎）‎ ‎8、函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)‎ A．无极大值点，有四个极小值点 ‎ B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有四个极大值点，无极小值点 ‎ D．有两个极大值点，两个极小值点 ‎9、若函数f(x)=2x‎3‎-3ax‎2‎+1‎在区间‎(0,+∞)‎内有两个零点，则实数a的取值范围为‎(    )‎ A. ‎(-∞,1)‎ B. ‎(1,+∞)‎ C. ‎(0,1)‎ D. ‎‎(1,2)‎ ‎10、欲制作一个容积为的圆柱形蓄水罐（无盖），为能使所用的材料最省，它的底面半径应为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11、如果函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎-x满足：对于任意的x‎1‎，x‎2‎‎∈[0,2]‎，都有‎|f(x‎1‎)-f(x‎2‎)|≤‎a‎2‎恒成立，则a的取值范围是 （ ）‎ A. ‎[-‎6‎‎3‎,‎6‎‎3‎]‎ B. ‎‎[-‎2‎‎3‎‎3‎,‎2‎‎3‎‎3‎]‎ C. ‎(-∞,-‎6‎‎3‎]∪[‎6‎‎3‎,+∞)‎ D. ‎‎(-∞,-‎2‎‎3‎‎3‎]∪[‎2‎‎3‎‎3‎,+∞)‎ ‎12、已知函数是定义在R上的奇函数，为的导函数，且满足当时，有，则不等式的解集为（　　）‎ A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，0）∪（0，1） ‎ C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 一、 填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）‎ 13、 已知在上连续可导，为其导函数，且，则在 处的切线方程为________________‎ ‎14、函数f(x)=ex-x的单调减区间是_____ _ ‎ ‎15、抛物线的一条弦被A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 ‎ ‎16、已知函数，若关于x的方程 有3个不同的实数解，则的取值范围是____________‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程.)‎ ‎17. (本题满分10分) ‎ 已知p：实数x，满足x－a<0，q：实数x，满足x2－4x＋3≤0.‎ ‎（I）若a＝2时，p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围 ‎18. (本题满分12分) ‎ 在极坐标系中,极点为,已知曲线为,曲线为,曲线与交于不同的两点.‎ ‎（I）求的值;‎ ‎（Ⅱ）求过点,且与直线平行的直线的极坐标方程.‎ ‎ ‎ ‎19. (本题满分12分) ‎ 已知椭圆的右焦点F(‎3‎,0)，且点A(2,0)在椭圆上.‎ ‎（I）求椭圆的标准方程;‎ ‎（Ⅱ）过点F且斜率为1的直线与椭圆相交于M、N两点，求‎∆OMN的面积.‎ 20. ‎(本题满分12分) ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）判断函数零点的个数，并说明理由.‎ 20. ‎(本题满分12分) ‎ 已知椭圆的离心率为‎3‎‎2‎，F‎1‎，F‎2‎分别为椭圆的左、右焦点，‎ B‎1‎为椭圆上顶点，‎△‎B‎1‎F‎1‎F‎2‎的面积为‎3‎． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)‎与椭圆C交于不同两点M，N，已知P(0 , ‎1‎‎2‎)‎，‎ ‎|MP|=|NP|‎‎，求实数m的取值范围． ‎ ‎22. (本题满分12分) ‎ 函数f(x)=‎1‎‎2‎ax‎2‎-(1+a)x+lnx(a≥0)‎． （Ⅰ）讨论函数f(x)‎的单调性； （Ⅱ）当a=0‎时，方程f(x)=mx在区间‎[1,e‎2‎]‎内有唯一实数解，求实数m的取值范围． ‎ ‎2021届高二下学期第一次月考数学文科试卷答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C C D B B A D B C D A 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程.)[来 ‎17. (本题满分10分) ‎ 已知p：实数x，满足x－a<0，q：实数x，满足x2－4x＋3≤0.‎ ‎（I）若a＝2时，p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围 ‎(1)由x－a<0，得x3.所以实数a的取值范围是(3，＋∞)．......... 10分 ‎18. (本题满分12分) ‎ 在极坐标系中,极点为,已知曲线为,曲线为,曲线与交于不同的两点.‎ ‎（I）求的值;‎ ‎（Ⅱ）求过点,且与直线平行的直线的极坐标方程.‎ 解(1)∵ρ=2,∴x2+y2=4.又∵ρsin,∴y=x+2.‎ ‎∴|AB|=2=2=2.‎ ‎(2)(方法一)∵直线AB的斜率为1,‎ ‎∴过点(1,0)且与直线AB平行的直线l的直角坐标方程为y=x-1,‎ ‎∴直线l的极坐标为ρsin θ=ρcos θ-1,即ρcos.‎ ‎(方法二)设点P(ρ,θ)为直线l上任一点,因为直线AB与极轴成的角,‎ 则∠PCO=或∠PCO=.‎ 当∠PCO=时,在△POC中,|OP|=ρ,|OC|=1,∠POC=θ,∠PCO=,∠OPC=-θ,‎ 由正弦定理可知,即ρsin,‎ 即直线l的极坐标方程为ρsin.‎ 同理,当∠PCO=时,极坐标方程也为ρsin.‎ 当点P与点C重合时显然满足ρsin.‎ 综上所述,所求直线l的极坐标方程为ρsin.‎ ‎19. (本题满分12分) ‎ 已知椭圆的右焦点F(‎3‎,0)，且点A(2,0)在椭圆上.‎ ‎（I）求椭圆的标准方程;‎ ‎（Ⅱ）过点F且斜率为1的直线与椭圆相交于M、N两点，求‎∆OMN的面积.‎ 解：（1）由题意，椭圆焦点且过点[来源:学§科§网]‎ 得 又 , ‎ 所以椭圆方程为 . ‎ ‎（2）由题意得，直线MN的方程为，设 ,‎ 联立直线与椭圆方程，得 ‎ ‎，得， ‎ 则 ‎, ‎ 又,所以 . ‎ 设原点O到直线MN的距离为d，d=Ax‎0‎+By‎0‎+CA‎2‎‎+‎B‎2‎=‎6‎‎2‎.‎ 所以‎∆OMN的面积=‎1‎‎2‎MN∙d=‎‎2‎‎5‎‎6‎ .‎ ‎20.(本题满分12分) ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）判断函数零点的个数，并说明理由.‎ 解：（Ⅰ）由题意得， ‎ 令，得，． [来源:Zxxk.Com]‎ 与在区间上的情况如下:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎_‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 减 增 函数在区间，上单调递增;‎ 函数在在区间上单调递减. ……………………8分 ‎(Ⅱ)根据第一问，由函数单调性可知 当时，有极大值；‎ 当时，有极小值；‎ 在区间单调递增，在区间上单调递减，可知在上，恒有；‎ 当时， ，(举例不唯一)上单调递增，由零点存在定理可知， ‎ 有且只有一个实数，使得.‎ 所以函数有且只有一个零点 ……………12‎ ‎21. (本题满分12分) ‎ 已知椭圆的离心率为‎3‎‎2‎，F‎1‎，F‎2‎分别为椭圆的左、右焦点，‎ B‎1‎为椭圆上顶点，‎△‎B‎1‎F‎1‎F‎2‎的面积为‎3‎． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)‎与椭圆C交于不同两点M，N，已知P(0 , ‎1‎‎2‎)‎，‎ ‎|MP|=|NP|‎‎，求实数m的取值范围． 解：‎(1)‎由题意，S‎△‎B‎1‎F‎1‎F‎2‎‎=‎1‎‎2‎⋅2c⋅b=bc=‎‎3‎， 又ca‎=‎‎3‎‎2‎，a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎，解得：a=2‎，b=1‎，‎∴‎椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎． ‎(2)‎由y=kx+mx‎2‎‎+4y‎2‎=4‎，消去y整理得：‎(4k‎2‎+1)x‎2‎+8kmx+4m‎2‎-4=0‎， 设M(x‎1‎,y‎1‎)‎，N(x‎2‎,y‎2‎)‎，则x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎-8km‎4k‎2‎+1‎， 由‎△=64k‎2‎m‎2‎-4(4k‎2‎+1)(4m‎2‎-4)>0⇒4k‎2‎>m‎2‎-1‎， 又设MN中点D的坐标为‎(x‎0‎,y‎0‎)‎， ‎∴x‎0‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=‎‎-4km‎4k‎2‎+1‎，y‎0‎‎=kx‎0‎+m=‎-4k‎2‎m‎4k‎2‎+1‎+m=‎m‎4k‎2‎+1‎ 即D (‎-4km‎4k‎2‎+1‎ , m‎4k‎2‎+1‎)‎， ‎∵|MP|=|NP|‎，‎∴DP⊥MN，即y‎0‎‎+‎‎1‎‎2‎x‎0‎‎=-‎‎1‎k，‎∴4k‎2‎=-6m-1‎， ‎∴‎‎-6m-1>0‎‎-6m-1>m‎2‎-1‎，解得‎-60)‎， ‎(i)‎当a=0‎时，，令 得‎01‎， 函数f(x)‎在‎(0,1)‎上单调递增，‎(1,+∞)‎上单调递减；      ‎(ii)‎当‎01‎，      令 ，得‎0‎‎1‎a，令，得‎11‎时，‎0<‎1‎a<1‎  ， 令 0'/>，得‎01‎，令，得‎1‎a‎1‎时，函数f(x)‎的单调递增区间为‎(0,‎1‎a)‎和‎(1,+∞)‎，单调递减区间为‎(‎1‎a,1)‎， ‎(II)‎当a=0‎时，f(x)=-x+lnx， 由f(x)=mx，得‎-x+lnx=mx，又x>0‎，所以m=lnxx-1‎， 要使方程f(x)=mx在区间‎[1,e‎2‎]‎上有唯一实数解， 只需m=lnxx-1‎有唯一实数解， 令g(x)=lnxx-1‎，‎(x>0)‎，， 由 0'/>得‎0e， ‎∴g(x)‎在区间‎[1,e]‎上是增函数，在区间‎[e,e‎2‎]‎上是减函数． g(1)=-1‎，g(e)=‎1‎e-1‎，g(e‎2‎)=‎2‎e‎2‎-1‎， 故‎-1≤m<‎2‎e‎2‎-1‎或m=‎1‎e-1‎． ‎