专题2-10 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用（练）-2018年高考数学（理）二轮复习讲练测

专题2-10 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用（练）-2018年高考数学（理）二轮复习讲练测

‎2018高三二轮复习之讲练测之练案【新课标版理科数学】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 专题10 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用 ‎1.练高考 ‎1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．‎14 ‎ C．12 D．10‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎2.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎3.【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，‎ ‎ ‎ ‎4. 【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎ ‎ ‎5. 【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.‎ ‎（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.‎ ‎【答案】 （1）， .（2），或.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.‎ 所以，直线的方程为，或.‎ ‎6. 【2017山东，理21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（I）.‎ ‎（Ⅱ）的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.‎ ‎（Ⅱ）设，联立方程 得，由题意知，且，‎ 所以 .‎ 由题意可知圆的半径为 由题设知，所以因此直线的方程为.‎ 联立方程得，因此 .‎ ‎ ‎ ‎2.练模拟 ‎1.【2018届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末】已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，交准线于点，若，则（ ）‎ A. B. C. 3 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】得p=2,作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴ ‎ ‎ ‎ 故选B ‎2.等腰直角△内接于抛物线，为抛物线的顶点，，△‎ 的面积是16，抛物线的焦点为，若是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为等腰直角△内接于抛物线，为抛物线的顶点， 所以，可设，得，将代入，得，抛物线的方程为，所以，设，则，设，则 ‎，时，“” 成立.故选C. ‎ ‎3.【2018届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上学期期末】如图，已知抛物线的方程为，过点A（0,﹣1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0,1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为﹣3，则∠MBN的大小等于__________‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎ 4.【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知为抛物线： 的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为. ‎ ‎(1)求的取值范围；‎ ‎(2)设线段的中点分别为点，求证： 为钝角.‎ ‎【答案】（1）{k|－＜k＜0或k＞2}（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意可设直线m的方程为y＝k(x－2)，将其代入抛物线方程后可得到一二次方程，根据判别式大于零可得k＜0，或k＞2．同理设直线n的方程为y＝t(x－2)，可得t＜0，或t＞2．根据以kt＝－1，可解得k＞0或－＜k＜0，从而可得所求范围．（2）由（1）可得点M(2k，2k2－2k)，N(2t，2t2－2t)，根据F(0，1)可得到的坐标，通过证明 且不共线可得为钝角．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题可知k≠0，设直线m的方程为y＝k(x－2)，‎ 由消去y整理得x2－4kx＋8k＝0，①‎ 因为直线直线m交于不同的两点，‎ 所以Δ＝16k2－32k＞0，‎ 解得k＜0，或k＞2．‎ 设直线n的方程为y＝t(x－2)，‎ 由消去y整理得x2－4tx＋8t＝0，‎ 同理由Δ＞0可得t＜0，或t＞2．‎ 因为m⊥n，‎ 所以kt＝－1，‎ 得－，或－，‎ 解得k＞0或－＜k＜0．‎ 故k的取值范围为{k|－＜k＜0或k＞2}．‎ ‎（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．‎ 由①得x1＋x2＝4k，‎ 所以，‎ 故，‎ 所以点M(2k，2k2－2k)．‎ 同理可得N(2t，2t2－2t)，‎ 又F(0，1)，‎ 所以＝(2k，2k2－2k－1)， ＝(2t，2t2－2t－1)，‎ ‎＝4kt＋(2k2－2k－1)(2t2－2t－1)，‎ 将kt＝－1代入上式可得，‎ ‎＝－2k2－2t2＋6(k＋t)－3＝－2(k＋t)2＋6(k＋t)－7＝－2(k＋t－)2－＜0‎ 因为2k(2t2－2t－1)－2t(2k2－2k－1)＝2(＋k)≠0，‎ 所以与不共线．‎ 所以可得∠MFN为钝角． ‎ ‎5.【2018届湖南省常德市高三上学期期末】}已知圆的一条直角是椭圆的长轴，动直线，当过椭圆上一点且与圆相交于点时，弦的最小值为.‎ ‎（1）求圆即椭圆的方程； ‎ ‎（2）若直线是椭圆的一条切线， 是切线上两个点，其横坐标分别为，那么以为直径的圆是否经过轴上的定点？如果存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2）过定点与.‎ ‎【解析】试题分析:（1）先根据垂径定理求半径，再根据点在椭圆上解得， （2）设点的坐标，化简条件，再联立切线方程与椭圆方程，根据判别式为零得等量关系，代入并化简可得，即得结论 ‎ ‎ ‎（2）联立方程，得到，由与椭圆相切，得到，①‎ 易知，设以为直径的圆经过，设则有，‎ 而，②‎ 由①②可知， ，‎ 要使上式成立，有只有当，故经过定点与.‎ ‎3.练原创 ‎1. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上．‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．‎ ‎【答案】(1)＋y2＝1.(2)y＝x＋或y＝－x－.‎ ‎【解析】(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，所以c＝1.‎ 将点P(0，1)代入椭圆方程＋＝1，得＝1，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.‎ 所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)直线l的斜率显然存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m，‎ 由消去y并整理得：‎ ‎(1＋2k2)x2＋4kmx＋‎2m2‎－2＝0，‎ 因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k‎2m2‎－4(1＋2k2)(‎2m2‎－2)＝0，‎ 整理得2k2－m2＋1＝0.①‎ 由消去y并整理得：‎ k2x2＋(‎2km－4)x＋m2＝0.‎ 因为直线l与抛物线C2相切，‎ 所以Δ2＝(‎2km－4)2－4k‎2m2‎＝0，‎ 整理得km＝1.②‎ 综合①②，解得或 所以直线l的方程为 y＝x＋或y＝－x－.‎ ‎2．如图，‎ ‎ ‎ 等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上．‎ ‎ (1)求抛物线E的方程．‎ ‎(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．‎ ‎【答案】(1)x2＝4y.(2)证明：见解析.‎ ‎【解析】(1)依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.‎ 设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝4，‎ y＝|OB|cos 30°＝12.‎ 因为点B(4，12)在x2＝2py上，‎ 所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.‎ 故抛物线E的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)证明：证法一 由(1)知y＝x2，y′＝x.‎ 设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且l的方程为 y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.‎ 由得 所以Q为.‎ 设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．‎ 由于＝(x0，y0－y1)，＝，‎ 由·＝0，‎ 得－y0－y0y1＋y1＋y＝0，‎ 即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.①‎ 由于①式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，‎ 所以解得y1＝1.‎ 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)．‎ 证法二 由(1)知y＝x2，y′＝x，设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.‎ 由得 所以Q为.‎ 取x0＝2，此时P(2，1)，Q(0，－1)，以PQ为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2，交y轴于点M1(0，1)，M2(0，－1)；取x0＝1，此时P，Q，以PQ为直径的圆为＋＝，交y轴于点M3(0，1)，M4.‎ 故若满足条件的点M存在，只能是M(0，1)．‎ 以下证明点M(0，1)就是所要求的点．‎ 因为＝(x0， y0－1)，＝，所以·＝－2y0＋2＝2y0－2－2y0＋2＝0.‎ 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)．‎ ‎3. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为， 直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程．‎ ‎(2)当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎【答案】(1)＋＝1.(2)k＝±1.‎ ‎【解析】(1)由题意得解得b＝.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.‎ 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，‎ x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 所以|MN|＝‎ ‎＝‎ ‎＝.‎ 又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝ .‎ 所以△AMN的面积为 S＝|MN|·d＝.‎ 由＝，解得k＝±1.‎ ‎4.在平角坐标系中，椭圆的离心率，且过点，椭圆的长轴的两端点为，，点为椭圆上异于，的动点，定直线与直线，分别交于，两点．‎ ‎ ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在轴上是否存在定点经过以为直径的圆，若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2），．‎ ‎【解析】‎ ‎（1），∴椭圆的方程为；‎ 设，的斜率分别为，，，则，，‎ ‎，由：知，由：知，∴的中点，‎ ‎∴以为直径的圆的方程为，‎ 令，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 即，解得或，∴存在定点，经过以为直径的圆．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎