高一数学(人教A版)必修4能力提升:2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高一数学(人教A版)必修4能力提升:2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义

能 力 提 升 一、选择题 ‎1.(2013烟台模拟)已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是(  )‎ A. B. ‎ C. D.π ‎[答案] A ‎[解析] 由题意知(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,∴a·b=2,设a与b的夹角为θ,则cosθ==,θ=.‎ ‎2.(2012泉州四校二次联考)定义:|a×b|=|a|·|b|·sinθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于(  )‎ A.-8 B.8 ‎ C.-8或8 D.6‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由|a|=2,|b|=5,a·b=-6,得cosθ=-,sinθ=,∴|a×b|=|a|·|b|·sinθ=2×5×=8.‎ ‎3.P是△ABC所在平面上一点,若·=·=·,则P是△ABC的(  )‎ A.外心 B.内心 ‎ C.重心 D.垂心 ‎[答案] D ‎[解析] 由·=·得·(-)=0,即·=0,∴PB⊥CA.‎ 同理PA⊥BC,PC⊥AB,∴P为△ABC的垂心.‎ ‎4.已知a、b是非零向量,且(a-2b)⊥a,(b-‎2a)⊥b,则a与b的夹角是(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] B ‎[解析] 由(a-2b)·a=0及(b-‎2a)·b=0得,a2=b2=2|a||b|cosθ,∴cosθ=,θ=.‎ ‎5.已知△ABC中,若=·+·+·,则△ABC是(  )‎ A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 ‎[答案] C ‎[解析] 由-·=·+·,‎ 得·(-)=·(-),‎ 即·=·,∴·+·=0,‎ ‎∴·(+)=0,则·=0,即⊥,‎ 所以△ABC是直角三角形,故选C.‎ ‎6.如图,O、A、B是平面上的三点,向量=a,=b,设P为线段AB的垂直平分线上任意一点,向量=p.若|a|=4,|b|=2,则p·(a-b)等于(  )‎ A.1 B.3 ‎ C.5 D.6‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由图知⊥,则·=0,p==+=(+)+,‎ 则p·(a-b)=·(a-b)=(a+b)·(a-b)+·(a-b)=(a2-b2)+·=(|a|2-|b|2)+0=(42-22)=6.‎ 二、填空题 ‎7.(2013·安徽文)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________.‎ ‎[答案] - ‎[解析] 本题主要考查了向量运算及夹角分式运用.‎ ‎∵|a|=3|b|=|a+2b|,‎ ‎∴|a|2=9|b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+‎4a·b,‎ ‎∴a·b=-|b|2,‎ ‎∴cos〈a·b〉===-.‎ ‎8.(2011~2012·北京东城高三第一学期期末)已知向量a、b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为________;|‎2a-b|=________.‎ ‎[答案]  2 ‎[解析] 由于a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,‎ 则a·b=3.‎ 设a与b的夹角为θ,则cosθ==,‎ 又θ∈[0,π],所以θ=.‎ 因为|‎2a-b|2=‎4a2-‎4a·b+b2=28,‎ 所以|‎2a-b|=2.‎ ‎9.(江西高考)已知向量a、b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a-b|=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] |a-b|= ‎==.‎ 三、解答题 ‎10.已知|a|=10,|b|=12,a与b的夹角为120°,求:‎ ‎(1)a·b;(2)(‎3a)·;‎ ‎(3)(3b-‎2a)·(‎4a+b).‎ ‎[解析] (1)a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.‎ ‎(2)(‎3a)·=(a·b)=×(-60)=-36.‎ ‎(3)(3b-‎2a)·(‎4a+b)=12b·a+3b2-‎8a2-‎2a·b=‎10a·b+3|b|2-8|a|2=10×(-60)+3×122-8×102=-968.‎ ‎11.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为60°,试问:当k为何值时,向量ka-b与a+2b垂直?‎ ‎[解析] ∵(ka-b)⊥(a+2b),‎ ‎∴(ka-b)·(a+2b)=0,‎ 即ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,‎ 即k×52+(2k-1)×5×4×cos60°-2×42=0,‎ ‎∴k=.∴当k=时,向量ka-b与a+2b垂直.‎ ‎12.设向量a、b的夹角是x,|a|=,|b|=3,m是b在a方向上的投影,求函数y=|a|m的最大值和最小值.‎ ‎[解析] 由题意得m=|b|cosx=3cosx,‎ ‎∴y=|a|m=()3cosx.‎ 由0≤x≤π,得-3≤3cosx≤3,‎ ‎∴≤y≤8.故ymax=8,ymin=.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档