数学文卷·2018届甘肃省兰州市高三一诊（2018

数学文卷·2018届甘肃省兰州市高三一诊（2018

兰州市2018年高三诊断考试 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设全集，集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）‎ A．复数的实部为 B．复数的虚部为 C．复数的共轭复数为 D．复数的模为 ‎3. 已知数列为等比数列，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.若双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，两点，为坐标原点.若的面积为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知圆：，直线：，则圆上任取一点到直线的距离大于的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 某程序框图如图所示，则程序运行后输出的的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.设：实数，满足，：实数，满足，则是的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎10.若等比数列的前项和为，其中，是常数，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.抛物线的焦点为，，是抛物线上两动点，若 ‎，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，不等式成立，若，，，则，，之间的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13.若，则 ．‎ ‎14.已知样本数据，，……的方差是，如果有，那么数据，，……的均方差为 ．‎ ‎15. 设函数向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则 ．‎ ‎16.若向量，，且，则的最小值为 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知向量，，函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）当时，的最小值为，求的值.‎ ‎18.如图所示，矩形中，，平面，，为上的点，且平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎19.交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示：‎ 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第组 第组 第组 第组 第组 ‎（1）分别求出，，，的值；‎ ‎（2）从第，，组回答正确的人中用分层抽样方法抽取人，则第，，组每组应各抽取多少人？‎ ‎（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的人中随机抽取人颁发幸运奖，求：所抽取的人中至少有一个第组的人的概率.‎ ‎20.已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设过点的直线交曲线于，两点，过点的直线交曲线于，两点，且，垂足为（，，，为不同的四个点）.‎ ‎①设，证明：；‎ ‎②求四边形的面积的最小值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若图象上处的切线的斜率为，求的极大值；‎ ‎（2）在区间上是单调递减函数，求的最小值.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆心的直角坐标；‎ ‎（2）由直线上的点向圆引切线，并切线长的最小值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 设函数，其中.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，恒有，求的取值范围.‎ 兰州市2018年高三诊断考试 数学（文科）试题参考答案及评分参考 一、选择题 ‎1-5: DDCBB 6-10: AABCD 11、12：AC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题意知：‎ ‎，‎ 所以的最小正周期为.‎ ‎（2）由（1）知：，‎ 当时，.‎ 所以当时，的最小值为.‎ 又∵的最小值为，∴，即.‎ ‎18.解：（1）因为面，所以，‎ 又，所以.‎ 因为面，所以.‎ 又，所以面，即平面.‎ ‎（2）因为，所以，，，‎ 又因为为中点，所以.‎ 因为面，所以面.‎ 所以.‎ ‎19.解：（1）第组人数，所以，‎ 第组人数，所以，‎ 第组人数，所以，‎ 第组人数，所以，‎ 第组人数，所以.‎ ‎（2）第，，组回答正确的人的比为，‎ 所以第，，组每组应各依次抽取人，人，人.‎ ‎（3）记抽取的人中，第组的记为，，第组的记为，，，第组的记为，则从名幸运者中任取名的所有可能的情况有种，他们是：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，.‎ 其中第组至少有人的情况有种，他们是：‎ ‎，，，，，，，，.‎ 故所求概率为.‎ ‎20.解：（1）设动圆半径为， ‎ 则，， ，‎ 由椭圆定义可知，点的轨迹是椭圆， ‎ 其方程为.‎ ‎（2）①证明：由已知条件可知，垂足在以为直径的圆周上，‎ 则有，‎ 又因，，，为不同的四个点，.‎ ‎②解：若或的斜率不存在，四边形的面积为.‎ 若两条直线的斜率存在，设的斜率为，‎ 则的方程为，‎ 解方程组，得，‎ 则，‎ 同理得，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 综上所述，当时，四边形的面积取得最小值为.‎ ‎21.解：（1）∵，∴，‎ 由题意得且，‎ 即，解之得，.‎ ‎∴，，‎ 令得，，‎ 列表可得 ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 极大值 极小值 ‎∴当时，取极大值.‎ ‎（2）∵在上是减函数，‎ ‎∴在上恒成立，‎ ‎∴，即，‎ 作出不等式组表示的平面区域如图 当直线经过点时，取最小值.‎ ‎22.解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为，‎ 即，∴圆心直角坐标为.‎ ‎（2）方法1：直线上的点向圆引切线长是 ‎，‎ ‎∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是.‎ 方法2：直线的普通方程为，‎ ‎∴圆心到直线距离是，‎ ‎∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是.‎ ‎23.解：（1）当时，，‎ 所以，所以或，‎ 解集为.‎ ‎（2），因为，∴时，恒成立，‎ 又时，当时，，∴只需即可，‎ 所以. ‎