【数学】2018届一轮复习人教A版函数的定义域和值域学案

【数学】2018届一轮复习人教A版函数的定义域和值域学案

第五节 函数的定义域和值域 1．会求一些简单函数的定义域和值域 1．会求简单函数的定义域和值域. 2．函数的定义域经常作为基本条件或工具出现在高考试题的客观题中，且多与集合问 题相交汇，考查与对数函数、分式函数、根式函数有关的定义域问题． 3．函数的值域或最值问题很少单独考查，通常与不等式恒成立等问题相结合作为函数 综合问题中的某一问出现在试卷中. 一、常见基本初等函数的定义域 1．分式函数中分母不等于零． 2．偶次根式函数被开方式大于或等于 0. 3．一次函数、二次函数的定义域均为 R. 4．y＝ax(a＞0 且 a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为 R. 5．y＝ (a＞0 且 a≠1)的定义域为(0，＋∞)． 6．y＝tan x 的定义域为{x|x }. 7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函 数自变量的制约． 二、基本初等函数的值域 1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R. 2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当 a>0 时，值域为{y|y }； 当 a<0 时，值域为{y|y } 3．y＝k x(k≠0)的值域是{y|y≠0}． 4．y＝ (a>0 且 a≠1)的值域是{y|y>0}． 5．y＝ (a>0 且 a≠1)的值域是 R. 6．y＝sin x，y＝cos x 的值域是[－1,1]． 7．y＝tan x 的值域是 R. 三、分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集． xalog Zkk ∈+≠ ， 2 ππ a bac 4 4 2−≥ a bac 4 4 2−≤ xa xalog 考向一 求函数的定义域 例 1．函数 y＝ lg(2－x) 12＋x－x2＋(x－1)0 的定义域是(　　) A．[－3,1)∪(1,2] B．(－3,2) C．(－3,1)∪(1,2) D．[－3,1)∪(1,2) 2．已知函数 f(x)的定义域为(－1,0)，则函数 f(2x＋1)的定义域为(　　) A．(－1,1) B． C．(－1,0) D． 3．已知函数 f( )的定义域是[－1,1]，则 f(x)的定义域为________． 考向二 求函数的值域 例 1．求函数 y＝ 的值域： 2．求函数 y＝x－ 的值域： 3．求函数 y＝x＋ 的值域： 1( 1, )2 − − 1( ,1)2 x2 1 3 + − x x x21− x 4 简单函数定义域的类型及求法： 1．已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． 2．对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． 3．对抽象函数：①若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由 不等式 a≤g(x)≤b 求出．②若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域． 考向三 与定义域、值域有关的参数问题 例 1．若函数 f(x)＝ 在区间[a，b]上的值域为 ，则 a＋b＝________. 2．已知函数 f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]． (1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的范围； (2)若 f(x)的值域为 R，求实数 a 的范围． 3．已知函数 f(x)＝ (a∈R 且 x≠a)，求 x∈[a－１，a－ ]时，f(x)的值域． 1 1 −x 1[ ,1]3 xa ax − −+1 2 1 求函数值域的基本方法： 1．观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． 2．配方法：“二次函数类”用配方法求值域． 3．换元法：形如 y＝ax＋b± dcx + (a，b，c，d 均为常数，且 a≠0)的函数常用换 元法求值域，形如 y＝ax＋ 2bxa − 的函数用三角函数代换求值域． 4．分离常数法：形如 y＝ bax dcx + + （a≠0）的函数可用此法求值域. 5．单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断 其增减性进而求最值和值域. 6．数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上 找其变化范围. 易误警示 与定义域有关的易错问题 答 题 模 版 1 ． (2013· 福 州 模 拟 ) 函 数 f(x) ＝ (x＋1)2 x＋1 － 的 定 义 域 为 ________________． 【解析】∵要使函数 f(x)＝ (x＋1)2 x＋1 － 有意义，则 ∴ ∴函数 f(x)的定义域为{x|x≤1，且 x≠－1}． 【答案】(－∞，－1)∪(－1,1] 【防范措施】1．本题若将函数 f(x)的解析式化简为 f(x)＝(x＋1)－ 后求定义域， 会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量 x 的取值范围． 2．在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域．求函数的值域时，不但要重视对应 关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用． 2．已知函数 f( x＋2)＝x＋2 x，则函数 f(x)的值域为________． 【解析】令 2＋ x＝t，则 x＝(t－2)2(t≥2)．∴f(t)＝(t－2)2＋2(t－2)＝t2－2t(t≥2)． ∴f(x)＝x2－2x(x≥2)．∴f(x)＝(x－1)2－1≥(2－1)2－1＝0，即 f(x)的值域为[0，＋∞)． 【答案】[0，＋∞) x−1 x−1    ≠+ ≥− ,01 ,01 x x  −≠ ≤ ,1 ,1 x x x−1 由函数的定义域或值域求参数的方法：已知函数的值域求参数的值或取值范围问题， 通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范 围． 一、选择（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分） 1．函数 f(x)＝ 的定义域为(　　) A．(－∞，4] B．[4，＋∞) C．(－∞，4) D．(－∞，1)∪(1,4] 2．下表表示 y 是 x 的函数，则函数的值域是(　　) x 00) C．y= D． 二、填空（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 7 ．函 数 y ＝ f(x) 的图 象 如图 所 示， 则函 数 y＝ f(x) 的 定义 域 为________ ，值 域 为 ________． 8．若 有意义，则函数 y＝x2－6x＋7 的值域是________． 1 4 − − x x 1( ,0)2 − 1( ,0]2 − 1( , )2 − +∞ x 1 x 1 xe x 1 xesin 3 2 )1( −+x 4−x 9．函数 y＝ 的定义域为________． 10．函数 y＝ (x>0)的值域是________． 第五节 函数的定义域和值域 一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1．已知 a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是 R 的是(　　) A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1 C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋1 2．若函数 的定义域为 ，则 的定义域为(　　) A．(－1,2) B．[ ，4] C．(－1,0) D．(0,2) 3．函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为(　　) A．[－2,1)∪(1,2] B．(－2,1) C．(－3,1)∪(1,2) D．[1,5] 4．已知等腰△ABC 周长为 10，则底边长 y 关于腰长 x 的函数关系为 y＝10－2x，则函 数的定义域为(　　) A．R B．{x|x>0} C．{x|01)，求 a，b 的值． 23 −x 3 0 32 3 − + x x ）（ 第五节 函数的定义域和值域 考向一：例 1．【解析】要使函数有意义，只需Error!得Error!所以－3＜x＜2 且 x≠1，故所 求函数的定义域为{x|－3＜x＜2 且 x≠1}．【答案】C 2．【解析】因为函数 f(x)的定义域为(－1,0)，所以要使函数有意义，需满足－1＜2x＋1 ＜0，解得－1＜x＜－1 2，即所求函数的定义域为(－1，－1 2).【答案】B 3．【解析】∵f(2x) 的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1，∴1 2≤2x≤2，故 f(x)的定义域为[1 2，2 ].【答案】[1 2，2 ] 考向二：例 1．【解析】法一：(分离常数法)y＝x－3 x＋1＝x＋1－4 x＋1 ＝1－ 4 x＋1.因为 4 x＋1≠0，所以 1－ 4 x＋1≠1，即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．法二：由 y＝ x－3 x＋1得 yx＋y＝x－3.解得 x＝ y＋3 1－y，所以 y≠1，即函数值域是{y|y∈R，y≠1}． 2．【解析】法一：(换元法)令 1－2x＝t， 则 t≥0 且 x＝1－t2 2 ，于是 y＝1－t2 2 －t＝－1 2(t＋1)2＋1，由于 t≥0，所以 y≤1 2，故函数的值域是 {y| y ≤ 1 2}.法二：(单调性法)容易判断函数 y＝f(x)为增函数，而其定义域应满足 1－ 2x≥0，即 x≤1 2.所以 y≤f(1 2 )＝1 2，即函数的值域是{y| y ≤ 1 2}. 3．【解析】法一：(基本不等式法)当 x>0 时，x＋4 x≥2 x × 4 x＝4，当且仅当 x＝2 时“＝” 成立；当 x<0 时，x＋4 x＝－(－x－4 x)≤－4，当且仅当 x＝－2 时“＝”成立．即函数的值域为(－ ∞，－4]∪[4，＋∞)．法二：(导数法)f′(x)＝1－ 4 x2＝x2－4 x2 .x∈(－∞，－2)或 x∈(2，＋∞)时， f(x)单调递增，当 x∈(－2,0)或 x∈(0,2)时，f(x)单调递减．故 x＝－2 时，f(x)极大值＝f(－2)＝－ 4；x＝2 时，f(x)极小值＝f(2)＝4. 即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 考向三：例 1．【解析】∵由题意知 x－1>0，又 x∈[a，b]，∴a>1.则 f(x)＝ 1 x－1在[a，b]上为 减函数，则 f(a)＝ 1 a－1＝1 且 f(b)＝ 1 b－1＝1 3，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.【答案】6 2．【解析】(1)依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0，对一切 x∈R 恒成立，当 a2－1≠0 时， 其充要条件是 a2－1>0 且 Δ<0，即Error!∴a<－1 或 a> 5 3.又 a＝－1 时，f(x)＝0，满足题 意．∴a≤－1 或 a>5 3.(2)依题意，只要 t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1 能取到(0，＋∞)上的任何值， 则 f(x)的值域为 R，故有 a2－1>0，Δ≥0，解之 15 3(2)1≤a≤5 3 3．【解析】∵f(x)＝ ＝－1＋ 1 a－x，当 a－1≤x≤a－1 2时，－a＋1 2≤－x≤－a＋ 1， ∴1 2≤a－x≤1.∴1≤ 1 a－x≤2. ∴0≤－1＋ 1 a－x≤1，即 f(x)的值域为[0,1]． 基础自测：1-6．DDAAAD 7．【答案】[－6,0]∪[3,7) [0，＋∞) 8．【答案】[－1，＋∞) 9．【答案】[0,1) 10．【答案】(0，1 3] 能力提升：1-6．CDDDBA 7．【答案】[－1,1]∪[2,4] 8．【答案】[－1,8] 9．【答案】 [0，＋∞) 10．【解析】要使函数有意义，则 所以原函数的定义域为{x|x≥ ， 且 x≠ }. 11．【解析】(1)(配方法 y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵0≤x≤3，∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x ＋1)2≤16.∴0≤y≤15，即函数 y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)y＝x2－x＋1－1 x2－x＋1 ＝1－ 1 x2－x＋1，∵x2－x＋1＝(x－1 2 )2＋3 4≥3 4，∴0< 1 x2－x＋1≤4 3，∴－ 1 3≤y<1，即值域为[－1 3，1).(3)y＝log3x＋ 1 log3x－1，令 log3x＝t，则 y＝t＋1 t－1(t≠0)，当 x>1 时，t>0，y≥2 t·1 t－1＝1，当且仅当 t＝1 t即 log3x＝1，x＝3 时，等号成立；当 0

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