数学理卷·2017届四川省成都市龙泉驿区第一中学高三4月月考（2017

数学理卷·2017届四川省成都市龙泉驿区第一中学高三4月月考（2017

成都龙泉中学高三下期4月月考试卷 数 学（理工类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 注意事项：‎ ‎ 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.‎ ‎ 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知全集集合则 ‎ A.{3} B.{7，8} C.{7，8，9} D.{1，2，3，4，5，6}‎ ‎2.复数的共轭复数的虚部是 A． B．-1 C．-i D．-i ‎3、等比数列的首项为，公比为，已知，则 ‎ A.或 B. C.或 D.或 ‎4．已知p：，，q：，，则下列命题为真命题的是 ‎ A． B. C. D.‎ ‎5. 从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 ‎ A B C D ‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，输出的S值为 ‎ A.8 B.9 C.27 D.36‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎9.若双曲线与椭圆()的离心率之积等于1，则以，，为边长的三角形一定是 A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 ‎10．设函数，（为自然对数的底数），若曲线上存在一点使得，则的取值范围是 A. B． C． D． ‎ ‎11.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为 类别 人数 老年教师 ‎900‎ 中年教师 ‎1 800‎ 青年教师 ‎1 600‎ 合计 ‎4 300‎ A.90 B.100 C.180 D.300‎ ‎12.已知圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为 ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每小题4分，共20分）‎ ‎13．（且）的展开式中，首末两项的系数之和为，则展开式的中间项为____________. ‎ ‎14．经过坐标原点和点，并且圆心在直线上的圆的方程为 ‎ ‎15、已知等差数列的前n项和为，若，则下列四个命题中真命题的序号为 ． ‎ ‎①； ②公差； ③； ④‎ ‎16. 己知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为．BC=3，BD=，∠CBD=90°，则球O的体积为____________.‎ 三、解答题（本题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知函数的部分图像如图所示.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）在中，角的对边分别是，‎ 若，求的取值范围.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ ‎ 甲、乙两袋中各装有大小相同的小球个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为、、，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．‎ ‎（I）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；‎ ‎（II）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量，求的分布列和数学期望．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎（1）已知的三内角的对边分别为，证明：；‎ ‎（2）利用（1）的结果解决下面的问题：‎ ‎500km A B C D 北 E 如图，一架飞机以的速度，沿方位角的航向从A地出发向B地飞行，飞行了后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地，已知，且。问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？(方位角：由正北方向沿顺时针方向的旋转角。参考数据：)‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 设各项均为正数的数列的前项和为，且满足 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和 ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间；‎ ‎(Ⅱ) 设，当时，，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅲ) 当时，过原点分别作曲线与的切线，，已知两切线的斜率互为倒数，证明：．‎ ‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线（为参数，）与圆相交于点，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎（1）写出直线和圆的极坐标方程；‎ ‎（2）求的最大值。‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知和是任意非零实数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值． ‎ ‎（Ⅱ）对和是任意非零实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 成都龙泉中学高三下期4月月考试卷 数学（理工类）参考答案 ‎1—5 CBCCD 6—10 BBDDD 11—12 CC ‎13.160 14. 15.①② 16．‎ ‎17.【解】（Ⅰ）由图像知，，∴，‎ 由图像可知，， ∴， ∴，‎ ‎∴， 又∵， ∴， ∴.‎ ‎（Ⅱ）依题设，，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴， 又， ∴. ∴.‎ 由（Ⅰ）知，‎ ‎，‎ 又∵， ∴， ∴，‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎18.解：：（1）设事件为“两手所取的球不同色”，‎ 则 ……3分 ‎（2）依题意，的可能取值为，，．‎ 左手所取的两球颜色相同的概率为 右手所取的两球颜色相同的概率为 ‎ ……8分 所以的分布列为：‎ ‎ ……10分 ‎ ……12分 ‎19.【解析】（1）证明：利用向量证明：‎ 在中，以为基向量，由已知得与的夹角为 ‎500km A B C D 北 E 又，则，所以………………4分 ‎（2）解：如图，连接，在中由余弦定理，得：‎ ‎，‎ 则，‎ 则，即是直角三角形，且，又，则，…………6分 在中，由余弦定理，则有：，则6分 又则是等腰三角形，且，‎ 由已知有，‎ 在中，由余弦定理，有…………9分 又，则。‎ 由飞机出发时的方位角为，则飞机由E地改飞C地的方位角为：‎ ‎…………………………………………………11分 答：收到命令时飞机应该沿方位角的航向飞行，E地离C地。………12分 ‎21. 解：(Ⅰ)依题意，函数的定义域为，对求导，得．‎ ‎(1)若，对一切有，函数的单调递增区间是．‎ ‎(2)若，当时，；当时，．‎ 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．……… 2分 ‎ ‎(Ⅱ) ，．‎ ‎(1)当时，因为，所以，‎ 在上递增，恒成立，符合题意． ……… 4分 ‎(2)当时，因为，所以在上递增，且，则存在，使得．‎ 所以在上递减，在上递增，又，所以不恒成立，不合题意． ‎ 综合(1),(2)可知，所求实数的取值范围是． ……… 7分 ‎ ‎ (Ⅲ) 设切线的方程为，切点为，则，‎ ‎，所以，，则． ……8分 由题意知，切线的斜率为，的方程为．‎ 设与曲线的切点为，则，‎ 所以，． ‎ 又因为，消去和后，整理得．… 10分 ‎ 令，则，在上单调递减，在上单调递增．‎ 若，因为，，所以，‎ 而在上单调递减，所以．‎ 若，因为在上单调递增，且，则，‎ 所以（舍去）．‎ 综上可知，． ……… 12分 ‎22.解：（1）直线的极坐标方程为，-------------2分 圆的极坐标方程为。 - 5分 ‎（2）将代入，得，‎ 设两点对应的极径分别为，则，---7分 于是，且，‎ 故的最大值。 --10分 ‎23解：（I）对于任意非零实数a和b恒成立，‎ ‎ 当且仅当时取等号，‎ ‎ 的最小值等于4． 5分 ‎（II） 恒成立，故不大于的最小值,由（I）可知的最小值等于4． ‎ 实数x的取值范围即为不等式的解．‎ ‎ 解不等式得 10分