江苏省五校2019届高三12月联考 数学(理)试卷（PDF版）

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1 2 0 19 届 高 三 年 级 五 校 联 考 数学理试题（I）卷 2018.12.21 一、填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，把答案填写在答题卡上相应位置上．．．．．．．．．. 1.已知集合 }3,{},2,1{ aBA  ，若 }1{BA  ，则 BA  ▲ . 2.函数 )32lg()( 2  xxxf 的定义域为 ▲ . 3.已知复数 z 满足 iiz  1 （ i 是虚数单位），则复数 z 的模为 ▲ . 4.右图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 ▲ . 5.已知函数      0,log 0,2)( 2 xx xxf x ，则  ))2(( ff ▲ . 6.若“ 1||  ax ”是“ 2x ”的充分不必要条件，则 实数 a 的取值范围为 ▲ . 7.已知函数 axy  ln 的图象与直线 1 xy 相切，则实数a 的值为 ▲ . 8.已知函数 )22)(2sin(   xy 在 6 x 时取得最大值，则 的值是 ▲ . 9.在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 的终边经过点 )2,1(A ,将角 的终边绕原点按逆时 针方向旋转 2  与角  的终边重合 ,则 )sin(   的值为 ▲ . 10.已知等差数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，若 156,31 31  Sa ，则 1 2 a a 的取值范围 是 ▲ . 11.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 )0(12 2 2 2  bab y a x 的左、右顶点分别为 A 、 B ，右焦点为 F ，上顶点为 C ，线段 BC 的中点为 M ，直线 AM 与椭圆的另一个交点为 D ，且 DF 垂直于 x 轴，则椭圆离心率 e 的值为 ▲ . 12.如图，在 ABC 中，a、b、c 分别是角 A B C、 、 所对的边， FE, 是 AB 上的两个三等 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）.本卷满分为 160 分，考 试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置. 3．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效. 4．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 2 分点， HG, 是 AC 上的两个三等分点， 9 10)()(  CFBHCEBG ，则 Cbcos 的最小 值为 ▲ . 13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 1: 22  yxO ，直线 axyl : ，过直线 l 上点 P 作圆 O 的切线 PBPA, ，切点分别为 BA, ，若存在点 P 使得 POPBPA 2 3 ，则实数 a 的取值范围是 ▲ . 14.已知函数      1,22 1|,|)( 2 xaxx xaxexf x （ e 是自然对数的底数）恰有三个不同的零点 ，则实数 a 的取值 范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题，共计 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知向量 a )1,cos2(  ， )sin2,1( b 且 ),0(   （1）若 ba// ，求 的值； （2）若 5 2ba ，求 || ba  的值. 16. (本小题满分 14 分) 已知函数 xe mexf x x 2)(  是定义在 ]1,1[ 的奇函数（其中 e 是自然对数的底数）. （1）求实数 m 的值； （2）若 2( 1) (2 ) 0f a f a   ，求实数 a 的取值范围. 17. (本小题满分 14 分) 如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 :C )0(12 2 2 2  bab y a x 的右准线方程 4: xl ，离心率 2 1e ，左右顶点分别为 BA, ，右焦点为 F ，点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方. 3 （1）设直线 PA 的斜率为 1k ，直线 PB 的斜率为 2k ，求 21 kk  的最小值； （2）点 Q 在右准线l 上，且 QFPF  ，直线QP 交 x 负半轴于点 M ， 若 6MF ，求点 P 坐标. 18. (本小题满分 16 分) 如图，港珠澳大桥连接珠海（A 点）、澳门（B 点）、香港（C 点）．线段 AB 长度为 )(10 km ，线段 BC 长 度为 )(40 km ，且 60ABC .澳门（B 点）与香港（C 点）之间有一段海底隧道，连接人工岛E 和人 工岛 F ，海底隧道是以 O 为圆心，半径 )(3 310 kmR  的一段圆弧 EF ，从珠海点 A 到人工岛 E 所在 的直线 AE 与圆 O 相切，切点为点 E ，记 )2,6[,  AEB . （1）用 表示 AE 、 EF 及弧长 EF ； （2）记路程 AE 、弧长 EF 及 、BE FC 四段长总和为 l ，当 取何值时， l 取得最小值？ 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 xaxexgxxaxxf x )22()2()(,ln)( 2  （ e 是自然对数的底数）. （1）若 1a ，求函数 )(xf 的单调增区间； （2）若关于 x 的不等式 0)( xf 恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）若函数 )()()( xgxfxh  在 1x 处取得极大值，求实数 的取值范围. )(3 310 kmR )(10 km （第 18 题） 4 20. (本小题满分 16 分) 已知数列 }{ na 、 }{ nb 、 }{ nc ，对于给定的正整数 k ，记 knnn aab  ， knnn aac  （  Nn ）.若 对任意的正整数 n 满足： 1 nn bb ，且 }{ nc 是等差数列，则称数列 为“ )(kH ” 数列. （1）若数列 }{ na 的前 n 项和为 2nSn  ，证明： }{ na 为 )(kH 数列； （2）若数列 为 )1(H 数列，且 5,1,1 211  cba ，求数列 的通项公式； （3）若数列 为 )2(H 数列，证明： }{ na 是等差数列. 5 数学试题（II）卷 2018.12.21 21．(本小题满分 10 分) 已知矩 阵     37 2aA 的逆矩 阵       a bA 7 21 ，设曲线 F 在矩 阵 A 对应的 变换作 用下 得到 曲线 xy 2 ，求曲线 F 的方程. 22．(本小题满分 10 分) 已知直线l 的参数方程为      aty tx （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 圆 C 的极坐标方程为 )0(02)4sin(222   ，直线l 与圆C 相交于 A 、 B 两点.若弦长 AB 22 ，求实数 a 的值. 23. (本小题满分 10 分) 已知点 P 是抛物线 xy 2 上的一点，过点 P 作两条直线 1l 与 2l ，分别与抛物线相交于 A 、 B 两点. （1）已知点 )0,0(P 且 21 ll  ，求证：直线 AB 恒过定点； （2）已知点 )1,1(P ，直线 AB 所在直线方程为 bxy  ，且 PAB 的垂心 H 在 x 轴上，求实数b 的值. 6 24. (本小题满分 10 分) 已知数列 }{ na 满足 12 1  nnn naaa . （1） 21 a ，求 32 ,aa ，并猜想数列 }{ na 通项公式； （2）若 31 a ，用数学归纳法证明  2 nan  42 2 21   naaa n n . 7 数学试卷（I）答案 2018.12.21 一、填空题: 1、{1,2,3} 2、 ),3()1,(   3、 2 4、 5 5、-2 6、 1a 7、2 8、 6  9、 5 3 10、 ]5,3 2[ 11、 5 4 12、1 13、 ]22,22[ 14、 32( , )22 二、解答题: 15、解（1）因为 ba // ，所以 1cossin4  ，所以 2 12sin  …………………………3 分 又因为 ),0(   ，所以 )2,0(2   ，所以 62   或 6 5 ，所以 12   或 12 5 …………7 分 （漏 1 解扣 2 分） （2）因为 5 2ba ，所以 5 2sin2cos2   ，所以 5 1sincos   ………… …10 分 所以 5 170)1sin2()1cos2(|| 22  ba …………………………14 分 （忘记开根号扣 2 分） 16、解（1）因为 xe mexf x x 2)(  是定义在 ]1,1[ 的奇函数，所以 0)0( f ，所以 m=1…4 分 当 m=1 时， xeexf x x 21)(  ，所以 )(21)( xfxeexf x x  ………………6 分 （2） 21)(  x x eexf 21  x x ee ，所以 0)(  xf ，当且仅当 x=0 时 0)(  xf ，所以 )(xf 在 ]1,1[ 单调递增…10 分 所以       2 2 21 121 111 aa a a ，所以 2 10  a ………………14 分 （忘记定义域扣 2 分） 17、解（1） 134 22  yx ………………2 分 设点 P ),( 00 yx ，则 21 kk  0 2 0 0 0 0 0 0 3 4 4 22 yx y x y x y    ………………6 分 因为 ]3,0(0 y ，所以，当 30 y 时 的最小值为 3 ………………7 分 （用结论 2 2 21 a bkk  不证明扣 2 分） （2）设点 P ，则 QF： )1(1 0 0  xy xy ，所以点 Q ))1(3,4( 0 0 y x  ……………9 分 因为点 P、Q、M 三点共线，所以 QMPM kk  ，所以 )1)(5(3 00 2 0 xxy  ……………11 分 又因为 134 2 0 2 0  yx ，所以 40 x 或 5 4 ，因为 )2,2(0 x ，所以 P )5 73,5 4( ………14 分 8 18.解（1）在 ABE 中，由正弦定理可知：  sin 35 sin 10 60sin  AEAE  ……………2 分 在 OEF 中，  sin3 320sin2  REF ……………4 分 EF  3 3202  R ……………6 分 （2） 26,sin3 320403 320 sin 35  l ……………8 分     2 23 2 22 ' sin3 )4cos7cos4cos4(35 sin3 )sincos4sin4cos3(35 l ………………10 分 即   2 2 ' sin3 )4coscos2)(1cos2(35 l ……………12 分 由 ]2 3,0(cos  t ，则 0424coscos2 22  tt ……………14 分 当 36   时， 0' l ；当 23   时， 0' l l 在 )3,6(  上单调递减，在 )2,3(  上单调递增 答：当 3   时， l 取得最小值.……………16 分 19. 解（1）当 1a 时， x xx xxxfxxxxf )1)(12(112)(ln)( '2  因为 0x ，所有 10  x 时， 0)(' xf ； 1x 时， 0)(' xf 则 )(xf 在 ),1(  上单调递增。 ……………3 分 （2）（法 1：不分参，分类讨论） )0(12112)( 2 '  xx xax xaxxf 若 0a 时， ，则 )(xf 在 ),0(  上单调递减， 由 01)1(  af 与 0)( xf 恒成立矛盾，所以 0a 不合题意；……………5 分 （不举反例扣 1 分） 若 0a 时，令 0)(' xf ，则 a ax 4 811 0  所以 当 00 xx  时， 0)(' xf ；当 0xx  时， 0)(' xf 则 )(xf 在 ),0( 0x 单调递减，在 ),( 0 x 单调递增 ……………7 分 所以 )(xf 的最小值为 00 2 00 ln)( xxaxxf  （*）， 9 又 )1(2 1012 0 2 00 2 0  xaxxax 带入（*）得： 000 2 1ln2 1)( xxxf  ， 由 0)( xf 恒成立，所以 02 1ln2 1)( 000  xxxf ，记 000 2 1ln2 1)( xxxm  又 02 11)( 0 0 '  xxm ，则 000 2 1ln2 1)( xxxm  在 ),0(  单调递减， 又 0)1( m ，所以 10 0  x )11(2 1 0 2 0 xxa  ),1[1 0  x ……………10 分 所以实数 a 的取值范围是 ),1[  附：（法 2：分参） 0ln2  xxax 对 0x 恒成立， 2 ln x xxa  令 )0(ln)( 2  xx xxxm 3 ' ln21)( x xxxm  ……………5 分 设 xxxF  ln21)( ， 012)( '  xxF ， xxxF  ln21)( 在 ),0(  单调递减， 又 0)1( F ……………7 分 当 10  x 时， 0)( xF ，即 0)(' xm ；当 1x 时， 0)( xF ，即 0)(' xm )(xm 在 )1,0( 上递增，在 ),1(  上递减 1)1()( max  mxm 综上，实数 的取值范围是 ……………10 分 （3） )12)(1()(' xexaxxh  ， 0)1( h 设 0,12)(  xexaxG x 01)( 2 '  xexxG ， 则 )(xG 在 ),0(  上单调递减， 当 0)1( G 时，即 2 1 ea 10  x ， 0)( xG ，则 0)(' xh )(xh 在 )1,0( 单调递减与“ )(xh 在 1x 处取得极大值”矛盾 2 1 ea 不合题意；……………12 分 当 0)1( G 时，即 2 1 ea 10 则 0)2(2)2 1( 2 1 2 1   aeae eeeaeaaeG 由 0)1( G ， 0)2 1(  aeG )1,2 1(0 aex  ，使得 0)( 0 xG ……………14 分 当 10  xx 时， 0)( xG ，则 0)12)(1()('  xexaxxh 当 1x 时， ，则 0)12)(1()('  xexaxxh )(xh 在 )1,( 0x 单调递增，在 ),1(  单调递减，则 )(xh 在 1x 处取得极大值 综上 2 1 ea 符合题意。 ……………16 分 20. 解（1）当 2n 时， 12)1( 22 1   nnnSSa nnn ……………2 分 当 1n 时， 111  Sa 符合上式， 则 )1(12  nnan 224,2  knckb nn 则 4, 11   nnnn ccbb 对任意的正整数 n 满足 1 nn bb ，且 }{ nc 是公差为 4 的等差数列， }{ na 为 )(kH 数列.………4 分 （3） 21,1 211  aba 由数列 }{ na 为 )1(H 数列，则 }{ nc 是等差数列，且 5,3 21  cc 12  ncn 即 121   naa nn ……………6 分 nana nn   )1(1 则 }{ nan  是常数列 naa n  011 ……………9 分 验证： 11  nnn aab ， 1 nn bb 对任意正整数 n 都成立 nan  ……………10 分 附：  3221   naa nn  -得： 22  nn aa kkaakkaa kk 2)1(2,12)1(2 22112   nan  （3）由数列 为 )2(H 数列可知： 是等差数列，记公差为 d dbbaaaacc nnnnnnnn 2)()( 22422   dbb nn 231   则 022)()( 321   ddbbbb nnnn 11 又 1 nn bb 1 nn bb ……………13 分 数列 }{ nb 为常数列，则 12 baab nnn   12 2 baaac nnnn   由 2)(2 111 daadaacc nnnnnn   ……………16 分 }{ na 是等差数列. 注意：请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．(本小题满分 10 分) 解：              10 01 7 2 37 2 a ba        1314 0217 114 a b ab …………………………3 分 3,5  ba ，则     37 25A …………………………5 分 设曲线 F 上任一点 ),,( yxP 变换为 ),','( yxP 则      yxy yxx 37' 25' ，…………………………7 分 代入曲线 xy 2 得曲线 F 的方程 xy 3 …………………………10 分 （不设任意点 变换为 扣 1 分） 22．(本小题满分 10 分) 解：解：直线 axyl : ，圆 4)1()1(: 22  yxC ，…………………4 分 由弦长 AB 22 22 22  ddrAB …………………6 分 所以圆心 C（1，-1）到直线l 的距离 2 112 ad  ， 40或a ……………10 分 （漏解扣 2 分） 25. (本小题满分 10 分) 解（1）由题可知直线 1l 、 2l 的斜率都存在，设 kxyl :1 ， xkyl 1:2       kxy xy2  )1,1( 2 kkA …………………2 分 12 同理可得 ),( 2 kkB  则直线 AB 所在的直线方程为 1),1(1 2  kxk ky 当 1k 时，直线 所在的直线方程为 1x 综上，直线 AB 恒过定点 )0,1( …………………5 分 （不讨论 k 值扣 1 分） （2）由 ABPH  可知垂心 )0,2(H 设点 ),(),,( 2211 yxByxA 由      xy bxy 2 得： 0)12( 22  bxbx        041 21 2 21 21 b bxx bxx  由 0)1()1)(2( 2111  yyxxPBHA 即 02))(2(2 2 2121  bbxxbxx ………………7 分 将带入得： 042  bb ，又 4 1b 4b ………………10 分 （忘记 0 扣 1 分） 26. (本小题满分 10 分) 解（1） 4,3,2 321  aaa ，猜得 1 nan ………………1 分 （3）证明：（ i）当 1n 时， 31 a ，命题成立； （ii）假设 ),1(  Nkkkn 命题成立，即 2 kak 则 1 kn 时， 31)2(21)(1  kkkaaa kkk 1 kn 时，命题也成立 综合（i）（ ii）可知 2 nan 对一切正整数  Nn 都成立。………………4 分 （忘记 ),1(  Nkk 扣 1 分） 先用数学归纳法证明 12 1  n na （i）当 时， ，命题成立； （ii）假设 命题成立，即 12 1  k ka 则 时， 121)12(2121)( 21 1    kk kkkk akaaa 13 1 kn 时，命题也成立 综合（i）（ ii）可知 12 1  n na 对一切正整数  Nn 都成立。…………8 分  42)12()12()12( 2132 21   naaa nk n ………10 分 （不用数学归纳法，用放缩扣 3 分）