【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版9-2两条直线的位置关系学案

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【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版9-2两条直线的位置关系学案

‎§9.2 两条直线的位置关系 最新考纲 考情考向分析 ‎1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.‎ ‎2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.‎ ‎3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.‎ 以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主,有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主,要求相对较低,但内容很重要,特别是距离公式,是高考考查的重点.‎ ‎1.两条直线的位置关系 ‎(1)两条直线平行与垂直 ‎①两条直线平行:‎ ‎(ⅰ)对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.‎ ‎(ⅱ)当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.‎ ‎②两条直线垂直:‎ ‎(ⅰ)如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,‎ 则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.‎ ‎(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2.‎ ‎(2)两条直线的交点 直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.‎ ‎2.几种距离 ‎(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 ‎|P1P2|=.‎ ‎(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 d=.‎ ‎(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离d=.‎ 概念方法微思考 ‎1.若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率有什么关系?‎ 提示 当两条直线l1与l2的斜率都存在时,·=-1;当两条直线中一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,l1与l2也垂直.‎ ‎2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么?‎ 提示 (1)将方程化为最简的一般形式.‎ ‎(2)利用两平行线之间的距离公式时,应使两平行线方程中x,y的系数分别对应相等.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( × )‎ ‎(2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.( √ )‎ ‎(3)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( × )‎ ‎(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )‎ ‎(5)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(  )‎ A. B.2- C.-1 D.+1‎ 答案 C 解析 由题意得=1.‎ 解得a=-1+或a=-1-.∵a>0,∴a=-1+.‎ ‎3.已知P(-2,m),Q(m,4),且直线PQ垂直于直线x+y+1=0,则m=________.‎ 答案 1‎ 解析 由题意知=1,所以m-4=-2-m,‎ 所以m=1.‎ ‎4.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为________.‎ 答案 -9‎ 解析 由得 所以点(1,2)满足方程mx+2y+5=0,‎ 即m×1+2×2+5=0,所以m=-9.‎ 题组三 易错自纠 ‎5.直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m等于(  )‎ A.2 B.-3‎ C.2或-3 D.-2或-3‎ 答案 C 解析 直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则有=≠,故m=2或-3.故选C.‎ ‎6.直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是______.‎ 答案  解析 先将2x+2y+1=0化为x+y+=0,‎ 则两平行线间的距离为d==.‎ ‎7.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=________.‎ 答案 0或1‎ 解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.‎ 题型一 两条直线的平行与垂直 例1 (2018·满洲里调研)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.‎ ‎(1)试判断l1与l2是否平行;‎ ‎(2)当l1⊥l2时,求a的值.‎ 解 (1)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,‎ l2:x=0,l1不平行于l2;‎ 当a=0时,l1:y=-3,‎ l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;‎ 当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:y=-x-3,‎ l2:y=x-(a+1),‎ l1∥l2⇔解得a=-1,‎ 综上可知,当a=-1时,l1∥l2,a≠-1时,l1与l2不平行.‎ 方法二 由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0,‎ 由A1C2-A2C1≠0,‎ 得a(a2-1)-1×6≠0,‎ ‎∴l1∥l2⇔ ‎⇔可得a=-1,‎ 故当a=-1时,l1∥l2.当a≠-1时,l1与l2不平行.‎ ‎(2)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,‎ l1与l2不垂直,故a=1不成立;‎ 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,‎ 故a=0不成立;‎ 当a≠1且a≠0时,‎ l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),‎ 由·=-1,得a=.‎ 方法二 由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,‎ 可得a=.‎ 思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.‎ ‎(2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.‎ 跟踪训练1 (1)已知直线l1:x+2ay-1=0,l2:(a+1)x-ay=0,若l1∥l2,则实数a的值为(  )‎ A.- B.0‎ C.-或0 D.2‎ 答案 C 解析 若a≠0,则由l1∥l2⇒=,故2a+2=-1,即a=-;若a=0,l1∥l2,故选C.‎ ‎(2)(2018·营口模拟)已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.‎ ‎①l1⊥l2,且直线l1过点(-3,-1);‎ ‎②l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.‎ 解 ①∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0,‎ 又∵直线l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.‎ 故a=2,b=2.‎ ‎②∵直线l2的斜率存在,l1∥l2,‎ ‎∴直线l1的斜率存在.‎ ‎∴k1=k2,即=1-a.‎ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,‎ ‎∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,‎ 即=b.‎ 故a=2,b=-2或a=,b=2.‎ 题型二 两直线的交点与距离问题 ‎1.(2018·葫芦岛调研)若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l的斜率是(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 A 解析 由题意,设直线l的方程为y=k(x-1)-1,分别与y=1,x-y-7=0联立解得M,N.又因为MN的中点是P(1,-1),所以由中点坐标公式得k=-.‎ ‎2.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 因为=≠,所以两直线平行,将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为.‎ ‎3.已知直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是 ‎________.‎ 答案  解析 方法一 由方程组 解得 ‎(若2k+1=0,即k=-,则两直线平行)‎ ‎∴交点坐标为.‎ 又∵交点位于第一象限,∴ 解得-0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0,且l1与l2间的距离是.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:‎ ‎①点P在第一象限;‎ ‎②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;‎ ‎③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.‎ 解 (1)直线l2:2x-y-=0,所以两条平行线l1与l2间的距离为d==,‎ 所以=,即=,‎ 又a>0,解得a=3.‎ ‎(2)假设存在点P,设点P(x0,y0).‎ 若P点满足条件②,则P点在与l1,l2平行的直线l′:2x-y+c=0上,‎ 且=,即c=或,‎ 所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0;‎ 若P点满足条件③,由点到直线的距离公式,‎ 有=,‎ 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,‎ 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;‎ 由于点P在第一象限,所以3x0+2=0不可能.‎ 联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,‎ 解得(舍去)‎ 联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,‎ 解得 所以存在点P同时满足三个条件.‎ ‎13.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为(  )‎ A.(-2,4) B.(-2,-4)‎ C.(2,4) D.(2,-4)‎ 答案 C 解析 设A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则解得 ‎∴BC所在直线方程为y-1=(x-3),‎ 即3x+y-10=0.同理可得点B(3,1)关于直线y=2x的对称点为(-1,3),‎ ‎∴AC所在直线方程为y-2=(x+4),‎ 即x-3y+10=0.‎ 联立解得 则C(2,4).故选C.‎ ‎14.(2018·赤峰质检)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为(  )‎ A. B. C.2 D.2 答案 A 解析 联立 解得x=1,y=2.‎ 把(1,2)代入mx+ny+5=0可得,m+2n+5=0.‎ ‎∴m=-5-2n.‎ ‎∴点(m,n)到原点的距离 d== ‎=≥,‎ 当n=-2,m=-1时取等号.‎ ‎∴点(m,n)到原点的距离的最小值为.‎ ‎15.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(1,0),B(0,2),且AC=BC,则△ABC的欧拉线的方程为(  )‎ A.4x+2y+3=0 B.2x-4y+3=0‎ C.x-2y+3=0 D.2x-y+3=0‎ 答案 B 解析 因为AC=BC,所以欧拉线为AB的中垂线,‎ 又A(1,0),B(0,2),‎ 故AB的中点为,kAB=-2,‎ 故AB的中垂线方程为y-1=,‎ 即2x-4y+3=0.‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,4)对称,求直线l的方程.‎ 解 由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1:y=k(x-3)+5+b,将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,则平移后的直线方程为y=k(x-3-1)+b+5-2,即y=kx+3-4k+b,∴b=3-4k+b,解得k=,∴直线l的方程为y=x+b,直线l1为y=x++b,取直线l上的一点P,则点P关于点(2,4)的对称点为 ,∴8-b-=(4-m)+b+,解得b=.∴直线l的方程是y=x+,即6x-8y+9=0.‎
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