【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版9-2两条直线的位置关系学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版9-2两条直线的位置关系学案

‎§9.2　两条直线的位置关系 最新考纲 考情考向分析 ‎1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.‎ ‎2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.‎ ‎3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.‎ 以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.‎ ‎1.两条直线的位置关系 ‎(1)两条直线平行与垂直 ‎①两条直线平行：‎ ‎(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.‎ ‎(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.‎ ‎②两条直线垂直：‎ ‎(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，‎ 则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.‎ ‎(2)两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.‎ ‎2.几种距离 ‎(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 ‎|P1P2|＝.‎ ‎(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝.‎ ‎(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.‎ 概念方法微思考 ‎1.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？‎ 提示　当两条直线l1与l2的斜率都存在时，·＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直.‎ ‎2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？‎ 提示　(1)将方程化为最简的一般形式.‎ ‎(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.‎ 题组一　思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　×　)‎ ‎(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　√　)‎ ‎(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)‎ ‎(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　√　)‎ ‎(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上.(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2.已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)‎ A. B.2－ C.－1 D.＋1‎ 答案　C 解析　由题意得＝1.‎ 解得a＝－1＋或a＝－1－.∵a>0，∴a＝－1＋.‎ ‎3.已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.‎ 答案　1‎ 解析　由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，‎ 所以m＝1.‎ ‎4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.‎ 答案　－9‎ 解析　由得 所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，‎ 即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.‎ 题组三　易错自纠 ‎5.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于(　　)‎ A.2 B.－3‎ C.2或－3 D.－2或－3‎ 答案　C 解析　直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.故选C.‎ ‎6.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______.‎ 答案　 解析　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，‎ 则两平行线间的距离为d＝＝.‎ ‎7.若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.‎ 答案　0或1‎ 解析　由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.‎ 题型一　两条直线的平行与垂直 例1　(2018·满洲里调研)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.‎ ‎(1)试判断l1与l2是否平行；‎ ‎(2)当l1⊥l2时，求a的值.‎ 解　(1)方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，‎ l2：x＝0，l1不平行于l2；‎ 当a＝0时，l1：y＝－3，‎ l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；‎ 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，‎ l2：y＝x－(a＋1)，‎ l1∥l2⇔解得a＝－1，‎ 综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行.‎ 方法二　由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，‎ 由A1C2－A2C1≠0，‎ 得a(a2－1)－1×6≠0，‎ ‎∴l1∥l2⇔ ‎⇔可得a＝－1，‎ 故当a＝－1时，l1∥l2.当a≠－1时，l1与l2不平行.‎ ‎(2)方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，‎ l1与l2不垂直，故a＝1不成立；‎ 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，‎ 故a＝0不成立；‎ 当a≠1且a≠0时，‎ l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，‎ 由·＝－1，得a＝.‎ 方法二　由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，‎ 可得a＝.‎ 思维升华　(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.‎ ‎(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.‎ 跟踪训练1　(1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为(　　)‎ A.－ B.0‎ C.－或0 D.2‎ 答案　C 解析　若a≠0，则由l1∥l2⇒＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l1∥l2，故选C.‎ ‎(2)(2018·营口模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.‎ ‎①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；‎ ‎②l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.‎ 解　①∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，‎ 又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.‎ 故a＝2，b＝2.‎ ‎②∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，‎ ‎∴直线l1的斜率存在.‎ ‎∴k1＝k2，即＝1－a.‎ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，‎ ‎∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，‎ 即＝b.‎ 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.‎ 题型二　两直线的交点与距离问题 ‎1.(2018·葫芦岛调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 答案　A 解析　由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，－1)，所以由中点坐标公式得k＝－.‎ ‎2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.‎ ‎3.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 ‎________.‎ 答案　 解析　方法一　由方程组 解得 ‎(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)‎ ‎∴交点坐标为.‎ 又∵交点位于第一象限，∴ 解得－0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：‎ ‎①点P在第一象限；‎ ‎②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；‎ ‎③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.‎ 解　(1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，‎ 所以＝，即＝，‎ 又a>0，解得a＝3.‎ ‎(2)假设存在点P，设点P(x0，y0).‎ 若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，‎ 且＝，即c＝或，‎ 所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；‎ 若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，‎ 有＝，‎ 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，‎ 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；‎ 由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能.‎ 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，‎ 解得(舍去)‎ 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，‎ 解得 所以存在点P同时满足三个条件.‎ ‎13.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)‎ A.(－2,4) B.(－2，－4)‎ C.(2,4) D.(2，－4)‎ 答案　C 解析　设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得 ‎∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，‎ 即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，‎ ‎∴AC所在直线方程为y－2＝(x＋4)，‎ 即x－3y＋10＝0.‎ 联立解得 则C(2,4).故选C.‎ ‎14.(2018·赤峰质检)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　)‎ A. B. C.2 D.2 答案　A 解析　联立 解得x＝1，y＝2.‎ 把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.‎ ‎∴m＝－5－2n.‎ ‎∴点(m，n)到原点的距离 d＝＝ ‎＝≥，‎ 当n＝－2，m＝－1时取等号.‎ ‎∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.‎ ‎15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(1,0)，B(0,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)‎ A.4x＋2y＋3＝0 B.2x－4y＋3＝0‎ C.x－2y＋3＝0 D.2x－y＋3＝0‎ 答案　B 解析　因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，‎ 又A(1，0)，B(0,2)，‎ 故AB的中点为，kAB＝－2，‎ 故AB的中垂线方程为y－1＝，‎ 即2x－4y＋3＝0.‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,4)对称，求直线l的方程.‎ 解　由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝，∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b，取直线l上的一点P，则点P关于点(2,4)的对称点为 ，∴8－b－＝(4－m)＋b＋，解得b＝.∴直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋9＝0.‎