数学文卷·2018届河南省南阳市第一中学校高二上期第三次月考（2016-12）word版

数学文卷·2018届河南省南阳市第一中学校高二上期第三次月考（2016-12）word版

数学（文）试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知等差数列的前三项依次为 1, 1,2 3a a a   ，则此数列的第 n 项为（ ） A． 2 5n  B． 2 3n  C． 2 1n  D． 2 1n  2.不等式 2 2 0ax bx   的解集是 1 1( , )2 3  ，则 a b 的值等于（ ） A． -14 B． 14 C． -10 D．10 3.下列说法中不正确的命题个数为（ ） ①命题“ 2, 1 0x R x x     ”的否定是“ 2 0 0 0, 1 0x R x x     ” ②命题“若 2 3 2 0x x   ，则 1x  ”的逆否命题为“若 1x  ，则 2 3 2 0x x   ” ③“三个数 , ,a b c 成等比数列”是“b ac ”的充要条件 A． 0 B．1 C．2 D． 3 4.在 ABC 中， 60A   ， 2AB  ，且 ABC 的面积为 3 2 ，则 BC 的长为（ ） A． 3 2 B． 3 C. 2 3 D．2 5.若{ }na 是等差数列，首项 1 0a  ， 5 6 0a a  ， 5 6 0a a  ，则使前 n 项和 0nS  成立的 最大自然数 n 的值是（ ） A． 6 B．7 C. 8 D．10 6.已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的离心率为 6 2 ，左顶点到一条渐近线的距离为 2 6 3 ，则该双曲线的标准方程为（ ） A． 2 2 18 4 x y  B． 2 2 116 8 x y  C. 2 2 116 12 x y  D． 2 2 112 8 x y  7.已知函数 3 2( ) 2 3f x x x a   的极大值与极小值和为 11，那么 a 的值是（ ） A． 0 B． 1 C. 5 D．6 8.已知变量 ,x y 满足 4 3 0 1 4 0 x y x x y          ，则 x y 的取值范围是（ ） A． 6[ 2, ]5  B． [ 2,0] C. 6[0, ]5 D．[ 2, 1]  9.三次函数 3 23( ) 2 12f x ax x x    的图象在点 (1, (1))f 处的切线与 x 轴平行，则 ( )f x 在区间 (1,3) 上的最小值是（ ） A． 8 3 B．11 6 C. 11 3 D． 5 3 10.在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，若 3A  ， (1 cos ) cosb C c A  ， 2b  ，则 ABC 的面积为（ ） A． 3 B． 2 3 C. 2 3 3 D． 3 或 2 3 11.设 1 2,F F 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 P ，使 1 2 120F PF   ，则椭圆离心率 e 的 取值范围是（ ） A． 3(0, )2 B． 3(0, ]2 C. 3[ ,1)2 D． 3( ,1)2 12.已知正数 , ,a b c 满足 1 2c e a   ， ln lnc b a c c  ，则 ln b a 的取值范围是（ ） A． 1[1, ln 2]2  B．[1, ) C. ( , 1]e  D．[1, 1]e  第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题 : [1,2]p x  ， 2 0x a  ；命题 2: , 2 2 0q x R x ax a      ，若命题“ p 且 q ”是真命题，则实数 a 的取值范围为 ． 14.已知椭圆 2 25 5kx y  的一个焦点坐标是 (2,0) ，则 k  ． 15.已知圆 2 2 4x y  与双曲线 2 2 2 1( 0)4 x y bb    的两条渐近线相交于 , , ,A B C D 四点， 若四边形 ABCD 的面积为 2b ，则b  ． 16.已知抛物线 2 2y px 过点 1 2( , )4 2M ， ,A B 是抛物线上的点，直线 , ,OA OM OB 的斜 率依次成等比数列，则直线 AB 恒过点 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 10 分） 已知函数 3 2( ) ( , )f x mx nx m n R   在 2x  时有极值，其图像在点 (1, (1))f 处的切线与直 线3 0x y  平行． （1）求 ,m n 的值； （2）求函数 ( )f x 的单调区间． 18. （本小题满分 12 分） 已知等比数列{ }na 的各项均为正数，且 1 22 3 1a a  ， 2 3 2 69a a a ． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）设 3 1 3 2 3log log logn nb a a a    ，求数列 1{ } nb 的前 n 项和． 19. （本小题满分 12 分） ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 2cos ( cos cos )C a B b A c  ． （1）求C ； （2）若 7c  ， ABC 的面积为 3 3 2 ，求 ABC 的周长． 20. （本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) ln ( )f x x ax x a R     ． （1）当 3a  时，求函数 ( )f x 在 1[ ,2]2 上的最大值和最小值； （2）函数 ( )f x 既有极大值又有极小值，求实数 a 的取值范围． 21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 :E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的短轴长为 2，离心率为 6 3 ，直线l 过点 ( 1,0) 交椭 圆 E 于 ,A B 两点，O 为坐标原点． （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）求 OAB 面积的最大值． 22. （本小题满分 12 分） 如图， (1,2)A 、 1( , 1)4B  是抛物线 2 ( 0)y ax a  上的两个点，过点 ,A B 引抛物线的两条 弦 ,AE BF ． （1）求实数 a 的值； （2）若直线 AE 与 BF 的斜率是互为相反数，且 ,A B 两点在直线 EF 的两侧． ①直线 EF 的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由； ②求四边形 AEBF 面积的取值范围． 试卷答案 1—12：BCBBDA DADDCD 13  1,2  aaa 或 14．1 15． 2 3 16． 1 ,04     17 解 ：（Ⅰ） nxmxxf 23)( 2/    )(2 nmxxxf  （ Rnm , ）在 2x  时有极值， 其图象在点 (1, (1))f 处的切线与直线3 0x y  平行 ∴ ' ' (2) 0 (1) 3 f f     即 12 4 0 3 2 3 m n m n       解得： 1 3 m n     （2）由（1）得 2( ) 3 6f x x x  ， 令 23 6 0x x  ，解得 2x  或 0x  ∴ ( )f x 在 (2, ) 为增函数，在 ( ,0) 为增函数， 令 2 4 0x   ，解得 0 2x  ， ∴ ( )f x 在 (0,2) 为减函数------10 分 18 解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q,由 2 3a ＝9a2a6 得 2 3a ＝9 2 4a ,所以 q2＝ 1 9 ． 由条件可知 q＞0,故 q＝ 1 3 ．由 2a1＋3a2＝1 得 2a1＋3a1q＝1,所以 a1＝ 1 3 ． 故数列{an}的通项公式为 an＝ 1 3n ． （Ⅱ）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－  1 2 n n  ． 故   1 2 1 121 1nb n n n n          ． 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 2 2 3 1 1n n b b b n n n                                   所以数列 1 nb       的前 n 项和为 2 1 n n   19 解：（1）  2cos cos cosC a B b A c  由正弦定理得：  2cos sin cos sin cos sinC A B B A C     2 3 7a b ab   1 3 3 3sin2 4 2S ab C ab    ∴ 6ab  ∴ 2 18 7a b   5a b  ∴ ABC△ 周长为 5 7a b c    20 解：（I） 3a  时， 21 2 3 1 (2 1)( 1)'( ) 2 3 x x x xf x x x x x            . 函数 ( )f x 在区间 1( ,2)2 仅有极大值点 1x  ，故这个极大值点也是最大值点，故函数在 1[ ,2]2 最 大 值 是 (1) 2f  . 又 1 5 3(2) ( ) (2 ln 2) ( ln 2) 2ln 2 02 4 4f f        ， 故 1(2) ( )2f f . 故函数在 1[ ,2]2 上的最小值为 (2) 2 ln 2f   . （II） 21 2 1'( ) 2 x axf x x a x x        ，若 ( )f x 既有极大值又有极小值，则首项必须 '( ) 0f x  有两个不同正根 1 2x x， ，即 22 1 0x ax   有两个不同正根. 故 a应满足 20 8 0 2 2 0 02 a aa a           . 21 解：（1）由题意得 1b  ，由 2 2 6 3 1 c a a c      ，得 3 2 a c    ，（3 分） ∴椭圆 E 的标准方程为 2 2 13 x y  .（4 分） （2）依题意可设直线l 的方程为 1x my  , 由 2 2 13 1 x y x my       ，得 2 2( 3) 2 2 0m y my    ，（6 分） 2 24 8( 3) 0m m     ，设 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 ，则 1 2 2 1 2 2 2 3 2 3 my y m y y m         ，（8 分） 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 3 61 ( ) 42 2 ( 3)OAB mS y y y y y y m         △ ， 设 2 3 ( 3)m t t   ，则 2 2 2 3 3 1 3 1 1 33( ) 3( )2 4OAB tS t t t t        △ ，（10 分） ∵ 3t  ，∴ 1 10 3t   ， ∴当1 1 3t  ，即 3t  时， OAB△ 的面积取得最大值 6 3 ，此时 0m  ．（12 分） 22.解：（1）把点  1,2A 代入拋物线方程得 4a  .------2 分 （ 2 ） ① 设 点    1 1 2 2, , ,E x y F x y , 直 线  : 1 2AE y k x   , 则 直 线 1 1: 14B F y k x       , 联立方程组   2 1 2 4 y k x y x      ,消去 y 得：    22 2 24 2 4 2 0k x k k x k      ,      2 22 2 1 1 12 2 2 2 2 22 4 2 4, 1 2 , ( , )k kk k k kx y k x Ek k k k           联立方程组 2 1 14 4 y k x y x            ,消去 y 得： 2 2 2 21 12 4 1 02 4k x k k x k               ,    2 2 2 2 2 2 22 2 2 4 41 1 4, , 14 16 4 4 k k k kx x y k xk k k             , 得  2 2 2 2 4 4,4 k k kF k k       .故 1 2 1 2 4EF y yk x x    . -------7 分 ② 设 直 线 : 4EF y x b   , 联 立 方 程 组 2 4 4 y x b y x     , 消 去 y 得 ：  2 216 8 4 0x b x b    ,  2 2 18 4 64 16 64 0, 4b b b b          , ,A B 两 点 分 别 在 直 线 EF 的 两 侧,  6 0b b   , 故 0 6b  , 2 1 2 1 2 2 1,4 16 b bx x x x   ,  2 1 2 171 4 1 44EF x x b       , 设 1 2,d d 分别为点 1 1,A B 到直线 EF 的距离,    1 22 2 6 , 1 4 1 4 b bd d       ,    1 2 1 1 3 3 156 1 4 1 4 ,2 8 4 4 4AEBFS d d EF b b b b              ,  四边形 AEBF 面积的取值范围是 3 15,4 4      . -------12 分