北京市第十五中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题

北京市第十五中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题

北京十五中高一数学期中考试试卷 考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间为120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共75分）‎ 一、选择题：（本大题共15个小题，每小题5分，共75分；把答案填涂在机读卡上）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为所以.‎ ‎【考点定位】集合的表示，集合的运算.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎2.函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式组即可得结果.‎ 详解】解：由已知得，解得，‎ 故定义域为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查具体函数的定义域，注意被开方数不小于零，是基础题.‎ ‎3.在直角坐标系内，函数的图象（ ）‎ A. 关于y轴对称 B. 关于x轴对称 C. 关于原点对称 D. 不具有对称性 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数对称性的定义判断即可.‎ ‎【详解】解：，则，‎ 故函数为偶函数，其图像关于y轴对称，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数图像的对称性，是基础题.‎ ‎4.函数的一个单调递减区间可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二次函数的性质判断.‎ ‎【详解】解：函数，‎ 其对称轴为，单调递减区间为，‎ 因为仅有选项C：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】，‎ 本题考查二次函数的单调性，是基础题.‎ ‎5.函数在上的最小值是（ ）‎ A. -2 B. -1 C. 0 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二次函数的性质判断.‎ ‎【详解】解：函数其对称轴为，‎ 故，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的最值，是基础题.‎ ‎6.函数的图象是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数可由向右移动1个单位，向上移动1个单位得到，即可得结果.‎ ‎【详解】解：函数可由向右移动1个单位，向上移动1个单位得到，如图 ‎，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数图像识别，可通过函数图像的平移得到，是基础题.‎ ‎7.如果二次函数图象的对称轴是，并且通过点，则（ ）‎ A. a=2，b=4 B. a=2，b=－4 C. a=－2，b=4 D. a=－2，b=－4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得且，解方程组即得解.‎ ‎【详解】由题得，解之得a=2，b=－4.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查二次函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8.如果（且），则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为即，‎ 所以，即，‎ 故选A.‎ 考点：指数式与对数式．‎ ‎9.已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ f ‎ 那么函数一定存在零点的区间是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 定义在上的函数的图象是连续不断的，由图知满足，‎ 根据零点存在定理可知在一点存在零点.‎ 故选C.‎ 点睛: 本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间[a,b]内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的实数根.但是反之不一定成立.‎ ‎10.下列说法中,正确的是 A. 对任意,都有 B. =是上的增函数 C. 若且,则 D. 在同一坐标系中,与的图象关于直线对称.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 令,则,排除A;=是上的减函数,排除B;当时,成立,当时,不成立,排除C.选D.‎ ‎11.如果函数在区间]上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为二次函数开口向上，对称轴为，所以其减区间为，又函数在 上是减函数，故，所以，解得，故选A.‎ ‎12.设函数的两个零点是，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，通过函数和的图像与轴的交点，可得的大小关系.‎ ‎【详解】解：设，将函数的图像向下平移1个单位可得函数，如图：‎ ‎，‎ 由图像可得，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数图像的应用，考查数形结合的思想，是基础题.‎ ‎13.已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要使函数在上为减函数，则要求①当，在区间为减函数，②当时，在区间为减函数，③当时，，综上①②③解方程即可.‎ ‎【详解】令，.‎ 要使函数在上为减函数，则有在 区间上为减函数，在区间上为减函数且,‎ ‎∴,解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数，当时，函数在R上为减函数，对数函数，当时，对数函数在区间上为减函数.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎14.已知，则方程的不等实根一共有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程的不等实根的个数转化为函数的图像交点个数，作出函数图像观察即可.‎ ‎【详解】解：由方程得，‎ 令作出函数图像如图：‎ 由图像可得：函数的图像有4个交点，‎ 即方程的不等实根一共有4个，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查方程根的个数问题，转化为函数图像的交点个数问题，考查数形结合的思想，是基础题.‎ ‎15.若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是 A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】x1=x2=0，则，，‎ 令x1=x，x2=-x，‎ 则，‎ 所以，‎ 即，为奇函数，故选C.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共75分）‎ 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案作答在答题纸上）‎ ‎16.已知集合A＝{1，3，m}，B＝{3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则m＝_______‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可．‎ ‎【详解】考查并集的概念， 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集 ‎ 显然m=2 故答案为2‎ ‎【点睛】本题主要考查了并集及运算，属于考查对课本中概念的理解，是基础题．‎ ‎17.若函数，则________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入计算即可.‎ ‎【详解】解：由已知得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查已知函数解析式求函数值，基础题.‎ ‎18.若是上的减函数，则实数k的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一次函数的性质列不等式求解.‎ ‎【详解】解：是上的减函数，‎ 则，解得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查一次函数的单调性，是基础题.‎ ‎19.某商人将彩电先按原价提高４０％，然后在广告上写上＂大酬宾，八折优惠＂结果是每台彩电比原价多赚了２７０元，那么每台彩电原价是 元 ‎【答案】2250‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】主要考查一次函数模型的应用．‎ 解：设彩电原价为X 则：X×(1+0.4)×0.8-X=270 ，解得X=2250．‎ ‎20.已知，，则a的值为________.‎ ‎【答案】 或 ‎【解析】‎ ‎，则，‎ 所以，‎ 所以，解得或，‎ 解得或．‎ 点睛：本题代入后的计算涉及到对数计算问题．利用指对数的相互转化得到，由于该式的两个对数底数不同，则利用换底公式得到，解方程解得的值，进而求出．‎ ‎21.已知函数满足：①对任意的，都有；②对任意的都有.则_____．‎ ‎【答案】66‎ ‎【解析】‎ 令m=n+1,,得，说明f(x)为单调递增函数，设，则，显然，否则f(f(1))=f(1)=1，与f(f(1))=3矛盾．‎ 从而,而由f(f(1))=3, 即f(a)=3,又，即，所以，同时，，，，，54-27=81-54=27，又单调递增，‎ ‎，所以当,,,‎ ‎=2+9+55=66‎ 三、解答题：（本大题共4小题，共45分.把答案作答在答题纸上）‎ ‎22.已知函数，且.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的零点；‎ ‎（3）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）1，3（3）最小值为-1，最大值为3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把代入函数解析式，即可求得的值，即可得函数的解析式；‎ ‎（2）令，解方程即可求得函数的零点；‎ ‎（3）求出函数对称轴，根据二次函数的性质得最值.‎ ‎【详解】解：（1）由，得， ‎ 所以，；‎ ‎（2）由 ‎ 所以，函数的零点为1，3 ；‎ ‎（3）由于函数对称轴为，开口向上，‎ 所以，的最小值为， ‎ 的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，三个二次之间的关系，体现了转化的数学思想方法，属中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；‎ ‎（2）求满足方程的实数的值.‎ ‎【答案】（1）奇函数. 见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）容易得到，从而得出为奇函数； （2）由原方程可以得到，可化简成，不等式两边取以2为底的对数便可得出实数的值.‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以. ‎ 所以为奇函数. ‎ ‎（2）由，得. ‎ 整理得， ‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】考查奇函数的定义及判断方法和过程，以及指数式和对数式的互化，是基础题.‎ ‎24.已知函数（且）.‎ ‎（1）若函数的图象经过点，求a的值；‎ ‎（2）比较与大小，并写出比较过程.‎ ‎【答案】（1）（2）.见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数的图象经过，代入计算可得的值. （2）分时和当时两种情况，分别利用函数的单调性比较与 的大小.‎ ‎【详解】解：（1）函数图象经过，‎ ‎∴，即. ‎ 又，所以. ‎ ‎（2）当时，；‎ 当时，. ‎ 因为，，‎ 当时，在上为增函数，‎ ‎∵，∴，即.‎ 当时，在上为减函数，‎ ‎∵，∴‎ 即.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数的性质的综合应用，属于基础题.‎ ‎25.已知二次函数.‎ ‎（1）若，试判断函数零点个数；‎ ‎（2）是否存在，使同时满足以下条件 ‎①当时，函数有最小值0；‎ ‎②对任意，都有.若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）存在 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过对二次函数对应方程的判别式进行分析判断方程根的个数，从而得到零点的个数； （2）根据条件①和二次函数的图象和性质，可得，，令，结合条件②，可求出的值.‎ ‎【详解】解：（1)∵，∴，即，‎ ‎∵ ，‎ 当时，，函数有一个零点；‎ 当时，，函数有两个零点；‎ ‎（2）假设a，b，c存在，由①得，，‎ ‎， ，‎ 由②知对，都有，‎ 令得，‎ 由得，， ‎ 当，时，，其顶点为满足条件①，又对，都有，满足条件②.‎ ‎∴存在，使同时满足条件①、②.‎ ‎【点睛】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了二次函数最值得求法，体现了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题.‎