【数学】甘肃省静宁县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（第二次月考）（理）（解析版）

【数学】甘肃省静宁县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（第二次月考）（理）（解析版）

甘肃省静宁县第一中学2019-2020学年 高二下学期期中考试（第二次月考）（理）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 一、单选题 ‎1．复数的共轭复数在复平面内的对应点为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．函数的导数为（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．已知随机变量的分布列为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．计算（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎6．已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、‎ 不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有( )‎ A．15 B．60 C．90 D．540‎ ‎8．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．若曲线在点处的切线与直线垂直，则a=（ ）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎10．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A．24 B．16 C．8 D．12‎ ‎11．从长，宽的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义在上的函数满足则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题 ‎13．若复数是纯虚数，则______.‎ ‎14．的展开式中，的系数为______（用数字作答）.‎ ‎15．已知函数在处极值为，则______‎ ‎16．在1，3，5，7这四个数字中任取3个，在0，2，4，6这四个数字中任取2个，组成一个没有重复数字的5位数，则这样的5位数的个数为________（用数字作答）.‎ 三、解答题 ‎17．某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动.‎ ‎（1）若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的安排方案，试求该支教队男、女老师的人数；‎ ‎（2）在（1）的条件下，记为选出的2位老师中女老师的人数，写出的分布列.‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎19．已知的展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是．‎ ‎（1）求展开式中各项系数的和；‎ ‎（2）求展开式中含的项．‎ ‎20．有件产品，其中件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽件.求：（1）第一次抽到次品的概率；‎ ‎（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；‎ ‎（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.‎ ‎21．某公司的甲、乙两名工程师因为工作需要，各自选购一台笔记本电脑.该公司提供了三款笔记本电脑作为备选，这三款笔记本电脑在某电商平台的销量和用户评分如下表所示：[来源:学科网]‎ 型号 销量（台）‎ ‎2000‎ ‎2000‎ ‎4000‎ 用户评分 ‎8‎ ‎6.5‎ ‎9.5‎ 若甲选购某款笔记本电脑的概率与对应的销量成正比，乙选购某款笔记本电脑的概率与对应的用户评分减去5的值成正比，且他们两人选购笔记本电脑互不影响.‎ ‎（1）求甲、乙两人选购不同款笔记本电脑的概率；‎ ‎（2）若公司给购买这三款笔记本电脑的员工一定的补贴，补贴标准如下表：‎ 型号 补贴（千元）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 记甲、乙两人获得的公司补贴之和为千元，求的分布列和数学期望.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）证明：若，不等式成立 参考答案 ‎1．B ，其共轭复数为，在复平面内的对应点为.‎ ‎2.D ‎ ‎3．C 随机变量的分布列为 ‎4．B ， 由的几何意义表示以原点为圆心，以2为半径的圆面积的， ∴ ‎ ‎5．D 设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则，. 则所求概率为 ‎6．C 由题意，函数，则，‎ 因为函数在上是单调函数，‎ 所以，即，解得，‎ 即实数的取值范围是，故选C．‎ ‎7．C 解：依题意，首先将人平均分成3组，再将三组进行全排列即可，所以所有可能的派出方法有（种）‎ ‎8．D 函数的定义域为．求导，令可得，结合定义域可知令可得，即函数在上单调递减，在上单调递增，由图可知选D．‎ 考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．函数的图像．‎ ‎9．C 解:的导数为，即有在 处的切线斜率为，由在处的切线与直线垂直,即有,即.‎ ‎10．B 根据题意，可分三步进行分析：‎ ‎（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况；‎ ‎（2）将这个整体与英语全排列，有中顺序，排好后，有3个空位；‎ ‎（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，‎ 安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有种，‎ 所以不同的排课方法的种数是种，故选B。‎ ‎11．A 设剪去的正方形的边长为, 则做成的无盖的箱子的底是长为,宽为的矩形,箱子的高为, 所以箱子的容积, , 当时,只有一个解,在附近,是左正右负, 在处取得极大值即为最大值, 所以，若使箱子的容积最大,则剪去的正方形边长为.‎ ‎12．B 设，因为，所以，‎ 所以，‎ 所以是上的单调减函数，所以，即，‎ 所以.‎ ‎13． 因为为纯虚数，‎ 则，即，所以，‎ ‎14．3 由题意，式子表示3个因式的乘积，其中一个因式取，其余的2个因式取，可得的项，一个因式取，其余的2个因式取，可得的项，‎ 故含，‎ ‎15．；‎ 解：，，由题意可知：，解得：，或；‎ 检验：当时，，则，不是的极值点，故.‎ ‎16．2592‎ 在1，3，5，7这四个数字中任取3个，在0，2，4，6这四个数字中任取2个，当含0时，则有种选法，，因为0不能排在首位，共有种结果，‎ 不含0时，则有种选法，共有种结果，共2592.‎ ‎17．（1）男老师5人，女老师3人（2）见解析 ‎（1）不妨设男老师总共有人，则女老师共有人，（，）‎ 从这8位老师中选出至少1名女老师，共有种不同的方法，‎ 即有：，解得，所以该支教队共有男老师5人，女老师3人 ‎（2）的可能取值为0，1，2，‎ 表示选派2位男老师，这时， ‎ 表示选派1位男老师与1位女老师，这时， ‎ 表示选派2位女老师，这时， ‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎18．（1）;（2）11,-1‎ ‎ (1). ‎ ‎ 令, 解此不等式，得x<-1或x>1,‎ 因此，函数的单调增区间为. ‎ ‎(2) 令,得或.-‎ 当变化时，，变化状态如下表：‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎-1‎ ‎11‎ ‎-1‎ ‎11‎ 从表中可以看出，当时，函数取得最小值.‎ 当时，函数取得最大值11.‎ ‎19．（1）1；（2）．‎ 解：第四项系数为，第二项的系数为，则，‎ 化简得，即 解得，或（舍去）．‎ ‎（1）在二项式中令， 即得展开式各项系数的和为．‎ ‎（2）由通式公式得，‎ 令，得．‎ 故展开式中含的项为．‎ ‎20．（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为有5件是次品，第一次抽到次品，有5中可能，产品共有20件，不考虑限制，任意抽一件，有20中可能，所以概率为两者相除．‎ ‎（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到次品有5种可能，第二次抽到次品有4种可能，第一次和第二次都抽到次品有5×4种可能，总情况是先从20件中任抽一件，再从剩下的19件中任抽一件，所以有20×19种可能，再令两者相除即可．‎ ‎（3）因为第一次抽到次品，所以剩下的19件中有4件次品，所以，抽到次品的概率为 ‎21．（1），（2）见解析，‎ ‎（1）根据题意，三款笔记本电脑的销量比为，‎ 所以甲选购这三款笔记本电脑的概率分别为.‎ 三款笔记本电脑的用户评分减去5分别为3，1.5，4.5，‎ 三者之比为，所以乙选购这三款笔记本电脑的概率分别为.‎ 设“甲、乙两人选购不同款笔记本电脑”为事件，则.‎ ‎（2）的可能取值为6，7，8，9，10.‎ ‎，，，.所以的分布列为 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎22．（1）当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点（2）（3）证明见解析 ‎（1）解:由题,‎ 设,令,即方程,,‎ 当时,,则,此时没有极值点；‎ 当时,,设方程两根为,,不妨设,‎ 则,,则,当或时,；‎ 当时,,此时,是函数的两个极值点,‎ 当时,,设方程两根为,,‎ 则,,所以,,‎ 所以当时,,故没有极值点,‎ 综上,当时,函数有两个极值点；当时,函数没有极值点.‎ ‎（2）解:由题,在上恒成立,‎ 则在上恒成立,‎ 即在上恒成立,‎ 设,‎ 则,‎ 因为,当时,,则单调递减；当,,则单调递增；所以,所以 ‎（3）证明:由（2）知,所以恒成立,‎ 即,‎ 欲证,‎ 只需证,‎ 设,则,‎ 当时,,则单调递减；当时,,则单调递增,[来源:学科网]‎ 所以,即,‎ 所以当时,不等式成立.‎