2019届二轮复习（理）专题一第四讲不等式学案
第四讲 不等式
年份
卷别
考查角度及命题位置
命题分析
2018
Ⅰ卷
线性规划求最值·T13
1.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查．
2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查．
3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.
Ⅱ卷
线性规划求最值·T14
2017
Ⅰ卷
线性规划求最值·T14
Ⅱ卷
线性规划求最值·T5
Ⅲ卷
线性规划求最值·T13
2016
Ⅰ卷
一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1
不等式比较大小、函数的单调性·T8
线性规划的实际应用·T16
Ⅱ卷
一元二次不等式的解法、集合的并集运算·T2
Ⅲ卷
一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1
不等式比较大小、函数的单调性·T6
线性规划求最值·T13
不等式性质及解法
授课提示：对应学生用书第9页
[悟通——方法结论]
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．
2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
3．解含参数不等式要正确分类讨论．
[全练——快速解答]
1．(2018·深圳一模)已知a>b>0，c<0，下列不等关系中正确的是( )
A．ac>bc B．ac>bc
C．loga(a－c)>logb(b－c) D.>
解析：法一：(性质推理法)A项，因为a>b，c<0，由不等式的性质可知ac
0，又a>b>0，由不等式的性质可得a－c>b－c>0，即>>0，
再由反比例函数的性质可得ac 1＝0，即loga(a－c)b>0，c<0，所以a－c>b－c>0，b－a<0，
所以>0，即－>0，
所以>，故D正确．
综上，选D.
法二：(特值验证法)由题意，不妨取a＝4，b＝2，c＝－2.
则A项，ac＝－8，bc＝－4，所以ac0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，所以x≥4；②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，所以0≤x<2.综上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．
答案：B
4．已知x∈(－∞，1]，不等式1＋2x＋(a－a2)·4x>0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：根据题意，由于1＋2x＋(a－a2)·4x>0对于一切的x∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(00⇔a－a2>－，故只要求解h(t)＝－(0－，所以4a2－4a－3<0，解得－0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．
(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．
2．掌握不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a；f(x)g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．
基本不等式
授课提示：对应学生用书第10页
[悟通——方法结论]
求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立．
[全练——快速解答]
1．(2018·长春模拟)已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为( )
A．8 B．9 C．12 D．16
解析：由4x＋y＝xy得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.
答案：B
2．(2017·高考天津卷)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
解析：因为ab>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当时取等号，
故的最小值是4.
答案：4
3．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，
当且仅当x＝30时取等号，
故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
答案：30
掌握基本不等式求最值的3种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
简单的线性规划问题
授课提示：对应学生用书第10页
[悟通——方法结论]
平面区域的确定方法
解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
[全练——快速解答]
1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件
则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3,0] B．[－3,2]
C．[0,2] D．[0,3]
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．
答案：B
2．已知平面上的单位向量e1与e2 的起点均为坐标原点O，它们的夹角为.平面区域D由所有满足＝λe1＋μe2的点P组成，其中那么平面区域D的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e1＝(1,0)，e2＝，设向量＝(x，y)，因为＝λe1＋μe2，所以即因为所以表示的平面区域D如图中阴影部分所示，所以平面区域D的面积为，故选D.
答案：D
3．(2018·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一张桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．
解析：设该厂每个月生产x把椅子，y张桌子，利润为z元，则得约束条件
画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x＋4y＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P时，z取得最大值．由得即P(200,900)，所以zmax＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．
答案：2 100 000
解决线性规划问题的3步骤
[练通——即学即用]
1．(2018·湘东五校联考)已知实数x，y满足且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为( )
A．5 B．3
C. D.
解析：作出不等式组
表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图形可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z的纵截距最大，此时z最大，最大值为6，即x＋y＝6.由得A(3,3)，∵直线y＝k过点A，∴k＝3.(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x＋2y＝0的距离最小，可得(x＋5)2＋y2的最小值为2＝
5.故选A.
答案：A
2．已知变量x，y满足约束条件记z＝4x＋y的最大值是a，则a＝________.
解析：如图所示，变量x，y满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x＋y＝0，平移直线，知当直线经过点A时，z取得最大值，由解得所以A(1，－1)，此时z＝4×1－1＝3，故a＝3.
答案：3
3．(2018·高考全国卷Ⅰ)若x、y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．
由z＝3x＋2y得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
答案：6
授课提示：对应学生用书第118页
一、选择题
1．已知互不相等的正数a，b，c满足a2＋c2＝2bc，则下列等式中可能成立的是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>a>b
解析：若a>b>0，则a2＋c2>b2＋c2≥2bc，不符合条件，排除A，D；
又由a2－c2＝2c(b－c)得a－c与b－c同号，排除C；
当b>a>c时，a2＋c2＝2bc有可能成立，例如：取a＝3，b＝5，c＝1.故选B.
答案：B
2．已知b>a>0，a＋b＝1，则下列不等式中正确的是( )
A．log3a>0 B．3a－b<
C．log2a＋log2b<－2 D．3≥6
解析：对于A，由log3a>0可得log3a>log31，所以a>1，这与b>a>0，a＋b＝1矛盾，所以A不正确；对于B，由3a－b<可得3a－b<3－1，所以a－b<－1，可得a＋1a>0，a＋b＝1矛盾，所以B不正确；对于C，由log2a＋log2b<－2可得log2(ab)<－2＝log2，所以ab<，又b>a>0，a＋b＝1>2，所以ab<，两者一致，所以C正确；对于D，因为b>a>0，a＋b＝1，所以3>3×2＝6, 所以D不正确，故选C.
答案：C
3．在R上定义运算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x－b)>0的解集是(2,3)，则a＋b＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：由题知(x－a)(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]>0，即(x－a)[x－(b＋1)]<0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.
答案：C
4．已知a∈R，不等式≥1的解集为P，且－2∉P，则a的取值范围为( )
A．(－3，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
解析：∵－2∉P，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.
答案：D
5．已知x，y满足则z＝8－x·y的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·y＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由图知当x＝1，y＝2时，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为.故选D.
答案：D
6．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.当x<0时，x＋6>3，解得－33，解得x>3或0≤x<1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
答案：A
7．已知实数x，y满足如果目标函数z＝3x－2y的最小值为0，则实数m等于( )
A．4 B．3
C．6 D．5
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝3x－2y所对应的直线经过点A时，z取得最小值0.
由
求得A.
故z的最小值为3×－2×＝－＋，
由题意可知－＋＝0，解得m＝5.
答案：D
8．若对任意正实数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：因为≤，即a≥，而＝≤(当且仅当x＝1时取等号)，所以a≥.
答案：C
9．(2018·太原一模)已知实数x，y满足条件则z＝x2＋y2的取值范围为( )
A．[1,13] B．[1,4]
C. D.
解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值为点O到直线BC：2x－y＋2＝0的距离的平方，所以zmin＝2＝，最大值为点O与点A(－2,3)的距离的平方，所以zmax＝|OA|2＝13，故选C.
答案：C
10．(2018·衡水二模)若关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：∵关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，∴Δ＝16a2－12a2＝4a2>0，
又x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，
∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，当且仅当a＝时取等号．
∴x1＋x2＋的最小值是.
答案：C
11．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为
作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．
答案：C
12．(2018·淄博模拟)已知点P(x，y)∈{(x，y)|M(2，－1)，则·(O为坐标原点)的最小值为( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析：由题意知＝(2，－1)，＝(x，y)，设z＝·＝2x－y，显然集合{(x，y)|对应不等式组所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝2x－y对应的直线经过点A时，z取得最小值．由得A(－2,2)，所以目标函数的最小值zmin＝2×(－2)－2＝－6，即·的最小值为－6，故选C.
答案：C
二、填空题
13．(2018·青岛模拟)若a>0，b>0，则(a＋b)·的最小值是________．
解析：(a＋b)＝2＋＋＋1＝3＋＋，因为a>0，b>0，所以(a＋b)≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立．所以所求最小值为3＋2.
答案：3＋2
14．(2018·高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看做常数)的横截距最大，
由图可得直线x＋y＝z过点C时z取得最大值．
由得点C(5,4)，
∴zmax＝5＋4＝9.
答案：9
15．(2018·石家庄模拟)若x，y满足约束条件则z＝的最小值为________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝表示区域内的点与点P(－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有＝2，解得k＝－或k＝0(舍去)，所以zmin＝－.
答案：－
16．已知a>b>1，且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为________．
解析：令logab＝t，由a>b>1得0
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