浙江省之江教育评价2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

浙江省之江教育评价2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

浙江省之江教育评价2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共10小题）‎ 1. 已知集合A={1，3，5}，B={3，6，9}，则A∪B=（　　）‎ A. B. 5, C. 3,5,6, D. 3,5,3,6,‎ 2. 下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知函数f（x+1）=（x-1）2，则f（x）的解析式为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 设a=log43，b=log0.43，c=30.4，则实数a，b，c的大小关系是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 函数y=的图象是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 已知函数（a＞0，且a≠1）的图象经过定点P，且点P在幂函数h（x）的图象上，则h（x）的表达式为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 函数f（x）=2x-的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（　　）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ 9. 用[x]表示x的整数部分，即[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2]=2，[2.3]=2，[-2.3]=-3，设函数，则函数f（x）=[h（x）]+[h（-x）]的值域为（　　）‎ A. B. 0, C. D. ‎ 10. 设函数f（x）=x-1，，若存在m，n∈[0，2]，使得f（m）=g（n）成立，则实数t的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共7小题）‎ 11. 计算：=______，lg4+2lg5=______．‎ 12. 已知函数，则f（2）=______，f（-1）=______．‎ 13. 已知函数f（x）是定义在[-1，a]上的奇函数，则a=______，f（0）=______．‎ 14. 函数f（x）=（-x2+2x+3）的单调递减区为______，值域为______．‎ 15. 浙江省之江教育评价2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共10小题）‎ 1. 已知集合A={1，3，5}，B={3，6，9}，则A∪B=（　　）‎ A. B. 5, C. 3,5,6, D. 3,5,3,6,‎ 2. 下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知函数f（x+1）=（x-1）2，则f（x）的解析式为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 设a=log43，b=log0.43，c=30.4，则实数a，b，c的大小关系是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 函数y=的图象是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 已知函数（a＞0，且a≠1）的图象经过定点P，且点P在幂函数h（x）的图象上，则h（x）的表达式为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 函数f（x）=2x-的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（　　）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ 9. 用[x]表示x的整数部分，即[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2]=2，[2.3]=2，[-2.3]=-3，设函数，则函数f（x）=[h（x）]+[h（-x）]的值域为（　　）‎ A. B. 0, C. D. ‎ 10. 设函数f（x）=x-1，，若存在m，n∈[0，2]，使得f（m）=g（n）成立，则实数t的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共7小题）‎ 11. 计算：=______，lg4+2lg5=______．‎ 12. 已知函数，则f（2）=______，f（-1）=______．‎ 13. 已知函数f（x）是定义在[-1，a]上的奇函数，则a=______，f（0）=______．‎ 14. 函数f（x）=（-x2+2x+3）的单调递减区为______，值域为______．‎ 15. 设全集U是实数集R，M={x|-2≤x≤2}，N={x|1≤x≤3}，则图中阴影部分所表示的集合是______． ‎ 1. 若x∈[-1，+∞），不等式4x-m•2x+1＞0恒成立，则实数m的取值范围是______．‎ 2. 已知λ∈R，函数，若f（x）恰有两个不同的零点，则λ的取值范围为______．‎ 三、解答题（本大题共5小题）‎ 3. 设集合A={x|x2≤9}，B={x|a-1≤x≤a+3}． （Ⅰ）若a=1，求A∩B； （Ⅱ）若B⊆A，求实数a的取值范围． ‎ 4. 已知函数． （Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明； （Ⅱ）求方程的实数解． ‎ 5. 设函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知当x≥0时，f（x）=lg（x+1）． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若函数y=f（x）+t在x∈[-2，3]上有两个零点，求实数t的取值范围． ‎ 6. 已知函数，其中a∈R． （Ⅰ）若a∈（0，1]，判断函数f（x）在（0，1]上的单调性，并用定义加以证明； （Ⅱ）若a=1，不等式mf（x2）-f（x）＞0在上恒成立，求实数m的取值范围． ‎ 7. 已知函数f（x）=x|x+2|-ax2（a∈R）． （Ⅰ）若a=0，写出函数f（x）的单调递增区间（不需要证明）； （Ⅱ）若a＞0，求函数f（x）在区间[-3，1]上的最大值g（a）． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵A={1，3，5}，B={3，6，9}， ∴A∪B={1，3，5，6，9}． 故选：C． 进行并集的运算即可． 本题考查了列举法的定义，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：函数的定义域是{x|x＞0}， 对于A：定义域是{x|x＞0}， 对于B：定义域是{x|x≠0}， 对于C：定义域是R， 对于A：定义域是R， 故选：A． 分别求出各个函数的定义域，从而选出答案． 本题考察了求函数的定义域问题，是一道基础题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：令x+1=t，则x=t-1，∴f（t）=（t-2）2，即f（x）的解析式为：f（x）=（x-2）2． 故选：B． 用换元法，令x+1=t，则x=t-1，代入原来的解析式，得到f（t）的表达式，即得到f（x）的解析式． 本题考查了函数解析式的求法之一，换元法求函数解析式，属于基础题． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：a=log43∈（0，1），b=log0.43＜0，c=30.4＞1． 则实数a，b，c的大小关系为：c＞a＞b． 故选：C． 利用指数函数、对数函数的单调性与0，1比较即可得出． 本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：函数y==1-， 则y=的图象是由y=-的图象先向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到的， 故选：A 根据图象的平移法则即可得到． 本题考查了图象的变化，属于基础题． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：函数中， 令x-=0，解得x=， 此时y=f（）=1+2-1=2‎ ‎； 所以函数f（x）的图象过定点P（，2）． 设幂函数y=h（x）=xα． 则=2， 解得α=3， 所以h（x）=x3． 故选：D． 根据指数函数的性质求出定点P，用待定系数法求出幂函数h（x）的解析式． 本题考查了指数函数与幂函数的应用问题，是基础题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由题意可得f（1）f（2）=（0-a）（3-a）＜0，解得  0＜a＜3， 故实数a的取值范围是（0，3）， 故选：C． 由题意可得f（1）f（2）=（0-a）（3-a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围． 本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 ​本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题． 由函数y=f（x）+x是偶函数，得f（-2）-2=f（2）+2，得f（-2）=f（2）+2+2=5． 【解答】 解：∵函数y=f（x）+x是偶函数， ∴f（-2）-2=f（2）+2， ∴f（-2）=f（2）+2+2=5． 故选：D． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：函数h（x）的定义域为R，则h（x）+h（-x）=ln（x+）+ln（-x）=ln（-x）（+x）=ln（1+x2-x2）=ln1=0， 即h（-x）=-h（x），则h（x）是奇函数， 则f（x）=[h（x）]+[h（-x）]=[h（x）]+[-h（x）]， 若h（x）=n，n是整数，则[h（x）]+[-h（x）]=n-n=0， 如n＜h（x）＜n+1，n∈Z， 则-（n+1）＜-h（x）＜-n，n∈Z， 则[h（x）]=n，[-h（x）]=-（n+1）=-n-1， 则[h（x）]+[-h（x）]=n-n-1=-1， 综上f（x）=-1或0， 即f（x）的值域为{-1，0}， 故选：C． 根据条件先判断函数的h（x）的奇偶性，结合[x]的定义，分别讨论h（x）取整数值和非整数时对应的结果即可． 本题主要考查函数值域的求解，利用函数奇偶性的定义先判断函数的奇偶性，然后结合[x]的定义进行讨论求解即可．属于中档题． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵存在m，n∈[0，2]，使得f（m）=g（n）成立， 即f（x）和g（x）的值域有交集． ∵f（x）=x-1，x∈[0，2]，∴f（x）∈[-1，1]． ‎ ‎∵， ∴①t=0时，=-，满足题意； ②t＞0时，单调递增， ∵x∈[0，2]，∴∈[t-，4t-]． ∵f（x）和g（x）的值域有交集， ∴t-≤1，即0＜t≤； ③t＜0时，单调递减， ∵x∈[0，2]，∴∈[4t-，t-]． ∵f（x）和g（x）的值域有交集， ∴t-≥-1，即-≤t＜0； 综上：-≤t≤； 故选：D． 本题利用转化思想，将条件转化为值域有交集，然后分类讨论求出t的范围． 本题考查转化思想，以及分类讨论思想．需要学生有较好的逻辑分析能力．难度不大，属于基础题． 11.【答案】5   2 ‎ ‎【解析】解：=+1=+1=4+1=5； lg4+2lg5=lg4+lg52=lg4+lg25=lg（4×25）=lg100=lg102=2． 故答案为：5；2． 本题根据指数式及对数运算性质进行运算即可得到结果． 本题主要考查指数式的运算及对数式的运算，属基础题． 12.【答案】6   27 ‎ ‎【解析】解：∵函数， ∴f（2）=22+2=6， f（-1）=‎3f（0）=‎9f（1）=9×（1+2）=27． 故答案为：6，27． 由2＞0，得到f（2）=22+2=6，再由-1＜0，得f（-1）=‎3f（0）=‎9f（1），由此能求出结果． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13.【答案】1   0 ‎ ‎【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在[-1，a]上的奇函数，则（-1）+a=0， 解可得a=1， 即f（x）的定义域为[-1，0]，则f（0）=0， 故答案为：1，0． 根据题意，由奇偶性对定义域的要求可得（-1）+a=0，解可得a的值，进而结合奇函数的性质分析可得答案． 本题考查函数奇偶性的性质以及奇函数的性质，属于基础题． 14.【答案】（-1，1）   [-2，+∞） ‎ ‎【解析】解：由题意得-x2+2x+3＞0，解得-1＜x＜3， 令t=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， 因为函数t=-x2+2x+3在（-1，1）上递增，在（1，3）上递减， 且函数y=在定义域上递减， 所以f（x）=（-x2+2x+3）的单调减区间是（-1，1）， 因为-1＜x＜3，所以0＜t≤4‎ ‎， 则f（x）=（-x2+2x+3）≥=-2， 所以函数的值域是[-2，+∞）， 故答案为：（-1，1）；[-2，+∞）． 由对数式的真数大于0求出f（x）的定义域，由二次函数的性质求出内函数的增区间，即为复合函数的减区间；求出真数的取值范围，结合外函数是减函数可得原函数f（x）的值域． 本题考查了对数函数的定义域、单调性，二次函数的性质，与对数函数有关的复合函数的单调性，考查了对数函数值域的求法，是中档题． 15.【答案】{x|2＜x≤3} ‎ ‎【解析】解：设全集U是实数集R，M={x|-2≤x≤2}，N={x|1≤x≤3}， CUM={x|x＜-2或x＞2}， 则图中阴影部分所表示的集合为： N∩（CUM）={x|2＜x≤3}． 故答案为：{x|2＜x≤3}． 先求出CUM，图中阴影部分所表示的集合为N∩（CUM），由此能求出图中阴影部分所表示的集合． 本题考查集合的求法，考查补集、交集、维恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16.【答案】（-∞，2） ‎ ‎【解析】解：∵x∈[-1，+∞）， ∴2x=t∈[，+∞）， ∵4x-m•2x+1＞0恒成立， ∴m＜+t，t∈[，+∞）恒成立， ∵≥2，当且仅当t=1时，即x=0时，表达式取得最小值， ∴m＜2， 故答案为：（-∞，2）． 设2x=t∈[，+∞），将题目转化成m＜+t，t∈[，+∞）恒成立，从而求出m的范围． 本题主要考查了函数恒成立问题，同时考查了基本不等式求解最值，属于中档题． 17.【答案】（0，1） ‎ ‎【解析】解：根据分段函数的性质： 当λ≥2时，f（x）=2x-4无零点，则f（x）=x2-2x+λ有两个零点，对称轴x=1，则，此时无解； 当λ＜2时，f（x）=2x-4只有一个零点，则f（x）=x2-2x+λ有一个零点，对称轴x=1， 若λ≤0，没有零点，若0＜λ＜2，要使f（x）=x2-2x+λ有一个零点，即y=x2-2x与y=-λ有一个交点， 结合二次函数图象得：0＜λ＜1； 综上可得可得λ的取值范围是（0，1）． 故答案为（0，1）． 当λ≥2时，f（x）=2x-4无零点，则f（x）=x2-2x+λ有两个零点即可求解λ的取值范围，当λ≤2时，f（x）=x2-2x+λ有一个零点，结合二次函数的性质讨论即可得λ 的取值范围． 本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的单调性，二次函数的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 18.【答案】解：（Ⅰ）A={x|-3≤x≤3}，a=1时，B={x|0≤x≤4}， ∴A∩B=[0，3]； （Ⅱ）∵B⊆A， ∴，解得-2≤a≤0， ∴实数a的取值范围为[-2，0]． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）可以求出A={x|-3≤x≤3}，a=1时求出集合B，然后进行交集的运算即可； （Ⅱ）根据B⊆A即可得出，解出a的范围即可． 本题考查了描述法、区间的定义，交集的运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 19.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，函数，其定义域为R， f（-x）===-（）=-f（x）， 故函数f（x）为奇函数； （Ⅱ）根据题意，f（x）=，即=， 变形可得2x=，解可得x=log2． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据题意，求出函数的定义域，分析f（-x）与f（x）的关系，即可得答案； （Ⅱ）根据题意，由f（x）==，变形可得2x=，由对数的性质计算可得答案． 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及指数幂的计算，属于基础题． 20.【答案】解：（Ⅰ）∵x≥0时，f（x）=lg（x+1）， 令x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=lg（-x+1）， ∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（-x）=lg（-x+1）， ∴f（x）=． （Ⅱ）∵y=f（x）+t在x∈[-2，3]上有两个零点， ∴y=f（x）和y=-t图象有两个交点，画出f（x）的图象如下： f（3）=2lg2，f（-2）=lg3，∴0＜-t≤lg3， ∴t的范围为[-lg3，0）． ‎ ‎【解析】本题（Ⅰ）令x＜0，则-x＞0，带入已知解析式中，再结合偶函数性质求解． （Ⅱ）画出f（x）的图象，零点转化为交点个数求解． 本题考查了解析式的求法，结合奇偶函数的性质，以及了转化思想和数形结合思想，难度较低，属于基础题． 21.【答案】解：（Ⅰ）当a∈（0，1]，函数f（x）在（0，1]‎ 上的单调递减．用定义证明如下： 设0＜x1＜x2≤1，则f（x1）-f（x2）=-=， ∵0＜x1＜x2≤1，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1， ∵a∈（0，1]，∴0＜ax1x2＜1，∴ax1x2-1＜0， ∴f（x1）-f（x2）=-=＞0， ∴f（x1）＞f（x2）， ∴当a∈（0，1]，函数f（x）在（0，1]上的单调递减， （Ⅱ）若a=1，则f（x）=，∴f（x2）= 不等式mf（x2）-f（x）＞0在上可化为m＞， 设g（x）=，则g′（x）=， 设h（x）=-x6-3x4+3x2+1，∴h′（x）=-6x（x4+2x2-1）=-6x[（x2+1）2-2]， 在上，h′（x）＞0，∴h（x）在上单调递增， ∴h（x）≥h（）=--3×+3×+1＞0，∴g′（x）=＞0， ∴g（x）在上单调递增，∴g（x））≤g（2）=， ∴m＞， 故实数m的取值范围（，+∞）． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）当a∈（0，1]，先判断出函数f（x）在（0，1]上的单调递减．再利用定义证明即可； （Ⅱ）若a=1，由f（x）=得到f（x2）=，带入到不等式mf（x2）-f（x）＞0中，参变分 离转化为m＞，构造函数g（x）=，利用导数来求g（x）的最大值，从而求出实数m的取值范围． 本题考查了利用定义来证明函数单调性，利用导数求函数最值，利用参变分离求取值范围，属于难题． 22.【答案】解：（1）若a=0时，函数f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（-1，+∞）， 单调减区间是（-2，-1）． （2）当x≥-2时，即x∈[-2，1]，f（x）=（1-a）x2+2x=（1-a）x（x-）， 若a=1，则f（x）=0，所以g（a）=0， 若a≠1，则f（x）=（1-a）x（x-）， 若a＞1，开口向下，对称轴x=，若1＜a＜2，则，g（a）=f（1）=3-a，若a≥2，则对称轴＜1，g（a）=f（）=； 若0＜a＜1，，开口向上，对称轴在x轴负半轴，g（a）=f（1）=3-a， 当x∈[-3，-2），f（x）=-（a+1）x（x+），a＞0，开口向下，图象过点（0，0），（），对称轴x=∈（-1，0），故g（a）=f（-2）=-4a． ‎ ‎【解析】（1）写出函数的单调区间；（2）分段讨论，求出每个段上的最大值． 考查函数的单调性和分类讨论思想求最大值，中档题． ‎