2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学高二10月联考数学试题 解析版

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绝密★启用前 江西省南昌市八一中学、洪都中学2018-2019学年高二10月联考数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为（ 　 　）‎ A． 150° B． 120° C． 60° D． 30°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 现求出直线的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可.‎ ‎【详解】‎ 设倾斜角为，因为直线的斜率为，‎ 所以，所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，其中熟记直线的倾斜角与斜率之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2．过点且与直线垂直的直线方程是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与已知直线垂直的直线系方程，可设直线垂直的直线方程，再把点代入，即可求出值，得到所求方程.‎ ‎【详解】‎ 因为所求直线方程与直线垂直，设所求直线的方程为，‎ 因为直线过点，代入可得，解得，‎ 所以所求直线的方程为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用两条直线的位置关系求解直线的方程，根据与已知直线垂直的直线系方程，设处所求直线方程，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎3．过点且与圆，相切的直线有几条（ ）‎ A． 0条 B． 1条 C． 2 条 D． 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点与圆心之间的距离，得出点与圆的位置关系的关系，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程，的圆心坐标为，半径为，‎ 由两点点的距离公式，可得点与圆心之间的距离为，‎ 所以过点且与圆相切的直线由2条，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了点与圆的位置关系的应用，其中准确得出点与圆的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎4．已知直线平行，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． 或 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：两条直线存在两种情况：一，两直线的斜率均不存在，且不重合，二，两直线的斜率均存在且相等但不重合．当两直线斜率均存在时，由题可知无解，当两直线斜率均存在时可知，可求得，当时，两直线方程相同，即两直线重合，当时，两直线方程为，两直线没有重合，所以本题的正确选项为A.‎ 考点：两直线平行的性质.‎ ‎5．两圆和的位置关系是（ ）‎ A． 相交 B． 内切 C． 外切 D． 外离 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径的关系，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由圆的圆心为，半径为1，‎ 圆圆心为半径为3，‎ 所以圆心距为，此时，即圆心距等于半径的差，所以两个圆相内切，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两个圆的的位置关系的判定，其中熟记两圆的位置关系的判定方法，准确作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6．若直线与互相垂直，则等于（ ）‎ A． -3 B． 1 C． 0或 D． 1或－3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两直线互相垂直，得出，即可求解答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线与互相垂直，‎ 所以，即，解得或，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两直线垂直的判定及应用，其中熟记两条直线的位置关系，列出相应的条件是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7．已知直线l：在轴和轴上的截距相等，则的值是（ ）‎ A． 1 B． －1 C． 2或1 D． －2或1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，直线方程为，显然不符合题意，所以当时，分别令，求出直线在坐标轴上的截距，根据截距相等列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 当时，直线方程为，显然不符合题意，‎ 当时，令时，得到直线在轴上的截距是，‎ 令时，得到直线在轴上的截距为，‎ 根据题意得，解得或，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线方程的应用及直线在坐标轴上的截距的应用，其中正确理解直线在坐标轴的截距的概念，利用直线方程求得直线的截距是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分类讨论的数学思想.‎ ‎8．直线截圆所得弦的长度为4，则实数的值是（ ）‎ A． －3 B． －4 C． －6 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据圆的方程，即，‎ 则圆心坐标为，半径，‎ 又由圆心到直线的距离为，‎ 所以由圆的弦长公式可得，解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎9．若变量满足约束条件，则 的最小值为（ ）‎ A． 3 B． C． D． 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出约束条件所表示的平面区域，利用在的几何意义，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 作出约束条件所表示的平面区域，‎ 如图所示，‎ 设，则，‎ 平移直线，结合图象，直线平移过点A时，此时截距最小，此时最小，‎ 由，解得，此时的最小值为，‎ 所以的最大值为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用简单的线性规划求最小值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用.‎ ‎10．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且.若AB＝6，BC＝2，则椭圆的焦距为(　 　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，设椭圆的标准方程，由条件结合条件得到点的坐标，代入椭圆的方程，求解，进而求得的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的方程为，‎ 由题意可知，得，即椭圆的方程为，‎ 因为，如图所示，可得点，‎ 代入椭圆的方程，即，解得， ‎ 所以，即，‎ 所以椭圆的焦距为，故选C.‎ ‎ 【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中根据三角形的性质，得到点的坐标，代入椭圆的方程求解得值，再借助求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎11．若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的的方程，由题意得，由此求得结果，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程，可知圆心坐标为，半径为，‎ 设直线的的方程，‎ 由题意知，圆上恰由3个点到直线的距离等于1，‎ 可得圆心到直线的距离等于1，即，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解答是要注意直线与圆的位置关系的合理应用，同时注意数形结合法在直线与圆问题的中应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎12．已知直线l：y＝x＋m与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A． ［－1,) B． (－，－1］ C． [1，) D． (－，1］‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由曲线表示一个半圆，直线表示平行于的直线，作出图象，利用数形结合思想，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，可得曲线表示一个半圆，直线表示平行于的直线，‎ 其中表示在轴上的截距，‎ 作出图象，如图所示，‎ 从图中可知之间的平行线与圆有两个交点，在轴上的截距分别为，‎ 所以实数的取值范围是，故选B.‎ ‎ 【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中作出曲线的图象和明确直线表示平行于的直线，其中表示在轴上的截距，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用，属于中档试题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．求经过圆的圆心，且与直线平行的直线的一般式方程为________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的方程求得圆心坐标，根据题意设所求直线为，代入圆心坐标，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程，可得圆心坐标，‎ 又因为所求直线与直线平行，可设所求直线为，‎ 代入圆心坐标，可得，解的，‎ 即所求直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的位置关系的应用，以及圆的标准方程的应用，其中解答中根据两直线的位置关系，合理设出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎14．平行线和的距离是_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 现根据两直线平行，求得，得到直线的方程，再利用两平行线之间的距离公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，两直线和平行，‎ 可得，解得，即，‎ 由两平行直线之间的距离公式，可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两条直线的位置关系和两平行间的距离公式的应用，其中熟记两直线的位置关系，利用两平行线之间的距离公式正确求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎15．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点．则圆C的方程为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆心的坐标为，根据直线相切于点，可求得圆心坐标，进而求得圆的半径，得到圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意，圆的圆心在直线上，可设圆心的坐标为，‎ 又由与直线相切于点，‎ 则，解集，解得，即圆心坐标为，‎ 所以圆的半径为,‎ 所以圆的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的标准方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据题意，得出，根据斜率的关系求得圆心坐标是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎16．是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是___________‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点在椭圆上，由椭圆的定义可知，再由基本不等式，即可求解得最大值.‎ ‎【详解】‎ 因为点在椭圆上，由椭圆的定义可知，‎ 又由，当且仅当时取等号，‎ 所以的最大值为5.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其定义的应用，其中解答中根据椭圆的标准方程和定义，得出，再利用基本不等式求解最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）求过点且与两坐标轴上的截距之和为1的直线方程；‎ ‎（2）求过点且与原点距离为3的直线方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可设直线方程为，代入点的坐标，求得的值，即可得到答案；‎ ‎（2）当直线的斜率为不存在时，满足题意；当直线的斜率为存在时，设直线方程为：‎ ‎，根据点到直线的距离公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可设直线方程为：‎ ‎ 代入点，即 ‎ 解得：‎ 所以直线方程为： ‎ ‎（2）当直线的斜率为不存在时： ，满足题意； ‎ 当直线的斜率为存在时，设直线方程为：，‎ 即： ，所以 ‎ 解得：，所以直线方程为：‎ 综上，直线方程为：或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中根据题意设出所求直线的方程，代入求解是解答的关键，同时注意分类讨论的应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力.‎ ‎18．已知的顶点，直角顶点为，顶点在y轴上；‎ ‎（1）求顶点的坐标；‎ ‎（2）求外接圆的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设点，由题意：，根据斜率公式，求得的值，即可得到答案.‎ ‎ (2)由的斜边的中点为圆心边，得圆心的坐标为和半径，即可得到圆的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设点，由题意：‎ ‎，所以 解得，所以点 ‎ ‎(2)因为的斜边的中点为圆心边，‎ 所以圆心的坐标为，‎ ‎ ，‎ 所以圆心的方程为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了斜率公式的应用，以及圆的标准方程的求解，其中解答中正确理解题意，合理根据条件，求解圆心坐标和圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．设椭圆C： ，，分别为左、右焦点，为短轴的一个端点，且，椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为1，为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若点P是椭圆上一点，，求点P的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程； (2)设点，由，求得，代入椭圆方程求得 的值，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可得：‎ ‎ 即： ‎ 所以椭圆的方程为： ‎ ‎(2)设点，由 ‎ 得，代入椭圆方程： 得 ‎ 所以 ‎ 所以点的坐标为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程和简单的几何性质，列出相应的方程，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20．若变量满足约束条件，求：‎ ‎（1） 的最大值；‎ ‎（2） 的取值范围；‎ ‎（3） 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）5；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，求得三点的坐标，(1)中，根据直线的几何意义，即可求解目标函数的最大值； (2) 中，转化为点与取的斜率的范围，即可求解；(3)中，转化为 与距离的平方，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 作出可行域，如图阴影部分所示．‎ ‎ ‎ 由 即 ‎ 由 即 ‎ 由 即 ‎ ‎(1)如图可知 ，在点处取得最优解，； ‎ ‎(2) ，可看作与取的斜率的范围，‎ ‎ 在点，处取得最优解，，‎ 所以 ‎ ‎(3)‎ ‎ 可看作与距离的平方，如图可知 ‎ 所以 ‎ 在点处取得最大值，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如.‎ ‎21．已知直线：，圆A：，点 ‎(1)求圆上一点到直线的距离的最大值；‎ ‎(2)从点B发出的一条光线经直线反射后与圆有交点，求反射光线的斜率的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系，求得圆心到直线的距离，即可计算最大值；‎ ‎（2）设点关于直线直的对称点为，列出方程组，求的的值，得出对称点的坐标，进而设出直线的方程，利用，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆心为，半径，‎ 由 ‎ 直线与圆的位置关系为相离，‎ 所以圆上一点到直线距离最大值为 ‎ ‎（2）设点关于直线直的对称点为 由 即反射线过点 ‎ 由题意反射线的斜率必存在，设方程为：，‎ 即： ，由得 ‎ 整理得，‎ 解得，‎ 所以斜率的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的方程应用，以及直线与圆的位置关系的应用问题，其中解答中根据题意，合理转化，建立不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，点，直线,设圆的半径为，圆心在上.‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或者；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据圆心在直线：上也在直线上，求得圆心坐标，根据圆心到直线的距离等于半径可得过的圆的切线方程；（2）设圆的方程为，再设，根据，求得圆：，根据题意，圆和圆有交点，可得，即，由此求得的范围.‎ 试题解析：（1）由得圆心C为（3,2），∵圆的半径为 ‎∴圆的方程为： ‎ 显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即 ‎∴∴∴∴或者 ‎∴所求圆C的切线方程为：或者即或者 ‎ ‎（2）∵圆的圆心在在直线上，所以设圆心C为（a,2a-4）‎ 则圆的方程为： ‎ 又∴设M为（x,y）则整理得：，设为圆D ∴点M应该既在圆C上又在圆D上即圆C和圆D有交点 ‎∴ ‎ 解得的取值范围为：‎