【数学】2020届一轮复习人教B版空间几何体的表面积与体积学案

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§8.2 空间几何体的表面积与体积 最新考纲 考情考向分析 会计算柱、锥、台、球的表面积 和体积. 本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表 面积与体积的计算．命题形式以选择题与填空题为主，涉 及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有 较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思 想. 1．多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧 面积与底面面积之和． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r1＋r2)l 3.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆 柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆 锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V＝1 3 Sh 台体(棱台和圆 台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝1 3 (S 上＋S 下＋ S 上 S 下)h 球 S＝4πR2 V＝4 3 πR3 概念方法微思考 1．如何求旋转体的表面积？ 提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之 和． 2．如何求不规则几何体的体积？ 提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为 规则的几何体求解． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积．( × ) (4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R＝ 3 2 a.( √ ) (5)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2πS.( × ) 题组二 教材改编 2．[P27 练习 T1]已知圆锥的表面积等于 12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半 径为( ) A．1cmB．2cmC．3cmD.3 2 cm 答案 B 解析 S 表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π， ∴r2＝4，∴r＝2. 3．[P28A 组 T3]如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥 的体积与剩下的几何体体积的比为________． 答案 1∶47 解析 设长方体的相邻三条棱长分别为 a，b，c，它截出棱锥的体积 V1＝1 3 ×1 2 ×1 2 a×1 2 b×1 2 c ＝ 1 48 abc，剩下的几何体的体积 V2＝abc－ 1 48 abc＝47 48 abc，所以 V1∶V2＝1∶47. 题组三 易错自纠 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋4 答案 D 解析 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为 2×2＋ 2×1 2 ×π×12＋π×1×2＝4＋3π. 5．(2018·浙江省杭州名校协作体月考)三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为 3， 2，1， 则该三棱锥的外接球的表面积是( ) A．24πB．18πC．10πD．6π 答案 D 解析 由题意得，外接球的直径是 2R＝ 3＋2＋1＝ 6， 所以表面积为 4πR2＝π( 6)2＝6π. 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________． 答案 16 3 π 解析 由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为π×22×2 －1 3 π×22×2＝16 3 π. 题型一 求空间几何体的表面积 1．(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱 所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A．12 2πB．12πC．8 2πD．10π 答案 B 解析 设圆柱的轴截面的边长为 x，则由 x2＝8，得 x＝2 2， ∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×( 2)2＋2π× 2×2 2＝12π.故选 B. 2．(2018·浙江省“七彩阳光”联盟联考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积 为( ) A．8＋4 2 B．6＋ 2＋2 3 C．6＋4 2 D．6＋2 2＋2 3 答案 A 解析 由三视图知该四棱锥是如图所示的棱长为 2 的正方体中的四棱锥 P—BCDE，其表面积 为 2×2＋2×1 2 ×2×2＋2×1 2 ×2×2 2＝8＋4 2.故选 A. 3．(2018·浙江省嘉兴一中联考)一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为 120° 的扇形，则该圆锥的高为( ) A．1B. 2C．2D．2 2 答案 B 解析 设圆锥底面半径是 r，母线长为 l， 所以πr2＋πrl＝π，即 r2＋rl＝1，根据圆心角公式2 3 π＝2πr l ， 即 l＝3r，解得 r＝1 2 ，l＝3 2 ，所以 h＝ l2－r2＝ 2. 思维升华空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量． 题型二 求空间几何体的体积 命题点 1 求以三视图为背景的几何体的体积 例 1(2018·浙江省杭州市七校联考)已知图中的网格是由边长为 1 的小正方形组成的，一个 几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为( ) A．64B.64 3 C.128 3 D．128 答案 B 解析 由三视图知该几何体是一个三棱锥，其直观图如图所示，高为 4，底面三角形一边长 为 8，对应的高为 4，则此三棱锥的体积 V＝1 3 ×1 2 ×8×4×4＝64 3 ，故选 B. 命题点 2 求简单几何体的体积 例 2 如图，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 3，D 为 BC 的中点，则三棱锥 A －B1DC1 的体积为( ) A．3 B.3 2 C．1 D. 3 2 答案 C 解析 如题图，因为△ABC 是正三角形， 且 D 为 BC 中点，则 AD⊥BC. 又因为 BB1⊥平面 ABC，AD⊂平面 ABC， 故 BB1⊥AD，且 BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面 BCC1B1， 所以 AD⊥平面 BCC1B1， 所以 AD 是三棱锥 A－B1DC1 的高． 所以 1 11 1 ·B DCA B DCV S AD三棱锥 － ＝ △ ＝1 3 × 3× 3＝1. 思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)直接利用公式进行求解． (2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3)以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图． 跟踪训练 1(1)(2018·嘉兴模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有 如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其 意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2 丈，高 1 丈， 问它的体积是多少？”已知 1 丈为 10 尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形 的边长为 1 丈，则该楔体的体积为( ) A．5000 立方尺 B．5500 立方尺 C．6000 立方尺 D．6500 立方尺 答案 A 解析 (分割法)该楔体的直观图如图中的几何体 ABCDEF. 取 AB 的中点 G，CD 的中点 H，连接 FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥 F－GBCH 与三棱 柱 ADE－GHF 的体积之和．又可以将三棱柱 ADE－GHF 割补成高为 EF，底面积为 S＝1 2 ×3×1 ＝3 2 (平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积 V＝3 2 ×2＋1 3 ×2×3×1＝5(立方丈)＝ 5000(立方尺)． (2)如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 的各条棱长均为 2，D 为棱 B1C1 上任意一点，则三棱锥 D－A1BC 的体积是________． 答案 2 3 3 解析 1 1 1 1 1 1 1 2 33 .3 3D A BC B A BC A B BC B BCV V V S  － － －＝ ＝ ＝ △ 题型三 与球有关的切、接问题 例 3 已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1 ＝12，则球 O 的半径为( ) A.3 17 2 B．2 10C.13 2 D．3 10 答案 C 解析 如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线， 则垂足为 BC 的中点 M. 又 AM＝1 2 BC＝5 2 ，OM＝1 2 AA1＝6， 所以球 O 的半径 R＝OA＝ 5 2 2＋62＝13 2 . 引申探究 1．本例若将直三棱柱改为“棱长为 4 的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多 少？ 解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球 的直径．设该正方体外接球的半径为 R，内切球的半径为 r. 又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4 3， 从而 V 外接球＝4 3 πR3＝4 3 π×(2 3)3＝32 3π， V 内切球＝4 3 πr3＝4 3 π×23＝32π 3 . 2．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积 S1 与其内切球的表面积 S2 的比值为多少？ 解 正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S1＝4× 3 4 ·a2＝ 3a2，其内切球半径 r 为正四 面体高的1 4 ，即 r＝1 4 · 6 3 a＝ 6 12 a，因此内切球表面积为 S2＝4πr2＝πa2 6 ，则S1 S2 ＝ 3a2 πa2 6 ＝6 3 π . 3．本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是 3 2的正四棱锥”，则其外接球的半径 是多少？ 解 依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为 3 2× 2＝6，高为 3 22－ 1 2 ×6 2＝3， 因此底面中心到各顶点的距离均等于 3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的 中心，其外接球的半径为 3. 思维升华“切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理 首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心． (2)“接”的处理 抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． 跟踪训练 2(1)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为( ) A．34πB．25πC．41πD．50π 答案 A 解析 根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是 4,3,3 的长方体 所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角 线就是其外接球的直径，所以有 R＝ 42＋32＋32 2 ＝ 34 2 ，从而求得其表面积为 S＝4πR2＝34π， 故选 A. (2)(2018·全国Ⅲ)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角 形且其面积为 9 3，则三棱锥 D－ABC 体积的最大值为( ) A．12 3B．18 3C．24 3D．54 3 答案 B 解析 由等边△ABC 的面积为 9 3，可得 3 4 AB2＝9 3， 所以 AB＝6， 所以等边△ABC 的外接圆的半径为 r＝ 3 3 AB＝2 3. 设球的半径为 R，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为 d，则 d＝ R2－r2＝ 16－12＝2. 所以三棱锥 D－ABC 高的最大值为 2＋4＝6， 所以三棱锥 D－ABC 体积的最大值为1 3 ×9 3×6＝18 3. 1．(2018·湖州模拟)一个棱锥的三视图如图(单位：cm)，则该棱锥的表面积是( ) A．4＋2 6cm2 B．4＋6 2cm2 C.4 3 cm2 D．2＋2 6cm2 答案 A 解析 由三视图得该几何体是底面为底为 2，高为 2 的等腰三角形，高为 2 的三棱锥，且三 棱锥的顶点在底面的投影为底面等腰三角形的底边的中点，则其表面积为1 2 ×2×2＋ 2×1 2 ×2 2× 3＋1 2 ×2×2＝4＋2 6(cm2)，故选 A. 2．(2018·浙江金华十校调研)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径 是 2 的圆，则这个几何体的表面积是( ) A．16πB．14πC．12πD．8π 答案 A 解析 根据给定的三视图可知该几何体为3 4 个球体，其半径为 2，因此该几何体的表面积为 S ＝3 4 ×4π×22＋π×22＝16π，故选 A. 3．《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系 统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成 一，该术相当于给出圆锥的底面周长 l 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V≈ 1 36 l2h，它实际 上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取 3，那么，近似公式 V≈ 25 942 l2h 相当于将圆锥体积公 式中的π近似取( ) A.22 7 B.25 8 C.157 50 D.355 113 答案 C 解析 V＝1 3 πr2h＝1 3 π× l 2π 2h＝ 1 12π l2h，由 1 12π ≈ 25 942 ，得π≈157 50 ，故选 C. 4．(2018·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是 ( ) A．2B．4C．6D．8 答案 C 解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱，直角 梯形的上、下底边长分别为 2,1，高为 2， ∴该几何体的体积为 V＝2× 1 2 ×2＋1×2 ＝6. 故选 C. 5．(2018·浙江考前热身联考)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线和虚线画出的是 某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A.2 3 B.4 3 C．2D．4 答案 B 解析 构造棱长为 2 的正方体如图所示，由三视图知该几何体是图中的四棱锥 P—ABCD，其 中 B，D 分别为棱的中点，则其体积 V＝1 3 × 2×2－2× 1 2 ×2×1 ×2＝4 3 .故选 B. 6．(2018·浙江省联盟校联考)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A．3πB.15π 4 C.3 3π 4 D．6π 答案 B 解析 由三视图还原直观图知，该几何体为底面半径为 1，高为 3的圆锥挖去一个球心为圆 锥底面圆的圆心且与圆锥相切的半球，易知圆锥的母线长为 2，则圆锥的轴截面为边长为 2 的等边三角形，球的半径为 3 2 ，故该几何体的表面积为π×1×2＋1 2 ×4π× 3 2 2＋π×12 －π× 3 2 2＝15π 4 ，故选 B. 7．(2018·浙江名校联盟联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A．8－2π B．8－π C．8－π 2 D．8－π 4 答案 A 解析 由三视图可知该几何体为一个正方体截去两个1 4 圆柱，正方体的体积为 2×2×2＝8， 截去的1 4 圆柱的底面半径为 2，高为 2，两个1 4 圆柱的体积为1 4 ×[π×( 2)2×2]×2＝2π，故 该几何体的体积为 8－2π，故选 A. 8．(2018·浙江省十校联盟高考适应性考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 等于________，侧面积等于________． 答案 4 3＋ 5＋5 2 解析 如图，构造底面边长为 3 和 2，高为 2 的长方体，由三视图可知该空间几何体为底面 边长为 3 和 2，高为 2 的四棱锥 S—ABCD，其中平面 SCD⊥底面 ABCD，所以该几何体的体积 V ＝1 3 ×3×2×2＝4，侧面积为 4 个三角形的面积之和，所以侧面积 S＝1 2 ×2×3＋1 2 ×2×2 2＋ 1 2 ×2× 5＋1 2 ×3×2 2＝3＋ 5＋5 2. 9．(2019·绍兴质检)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视 图，则该多面体的体积为______________． 答案 2 3 ＋π 12 解析 由三视图可知，该几何体由四分之一个底面半径为 1、高为 1 的圆锥与一个底面为长 方形，高为 1 的四棱锥组成，如图所示． ∴该几何体的体积 V＝1 4 ×1 3 ×π×12×1＋1 3 ×1×2×1＝2 3 ＋π 12 . 10．长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为________． 答案 14π 解析 ∵长方体的顶点都在球 O 的球面上， ∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径． 设球的半径为 R，则 2R＝ 32＋22＋12＝ 14. ∴球 O 的表面积为 S＝4πR2＝4π× 14 2 2＝14π. 11．从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的多面体，其 三视图如图，则该几何体的体积为________，表面积为______________． 答案 9 27＋9 3 2 ＋9 2 解析 由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥 P—ABCD，因此，其体积 V＝3×3×3－ 1 2 ×3×3×3－1 3 ×1 2 ×3×3×3＝9；表面积 S＝3×1 2 ×3×3＋3×3 2＋ 3 4 ×(3 2)2 ＝27 2 ＋9 3 2 ＋9 2. 12．如图，在△ABC 中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面 ABC，且 AE∥FC∥BD，BD＝3，FC ＝4，AE＝5.求此几何体的体积． 解 方法一 如图，取 CM＝AN＝BD，连接 DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个 直三棱柱和一个四棱锥． 则 V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥． 由题知三棱柱 ABC－NDM 的体积为 V1＝1 2 ×8×6×3＝72. 四棱锥 D－MNEF 的体积为 V2＝1 3 ×S 梯形 MNEF×DN ＝1 3 ×1 2 ×(1＋2)×6×8＝24， 则几何体的体积为 V＝V1＋V2＝72＋24＝96. 方法二 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使 AA′＝BB′＝CC′＝8， 所以 V 几何体＝1 2 V 三棱柱＝1 2 ×S△ABC×AA′＝1 2 ×24×8＝96. 13．(2019·宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为 120°的等 腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为________，该三棱锥的外接球的体 积为________． 答案 4＋ 3＋ 15 20 5 3 π 解析 由三视图得该几何体为一个底面是底为 2 3，高为 1 的等腰三角形，高为 2 的三棱锥， 且该三棱锥的顶点在底面的投影为底面等腰三角形的顶点，则该三棱锥的表面积为 2×1 2 ×2×2＋1 2 ×1×2 3＋1 2 × 5×2 3＝4＋ 3＋ 15.三棱锥的底面所在的截面圆的半径 为 2 3 2sin120° ＝2，则三棱锥的外接球的半径为 22＋ 2 2 2＝ 5，则该三棱锥的外接球的体积 为4 3 π×( 5)3＝20 5 3 π. 14．(2018·温州模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是 ________cm3，表面积是____________cm2. 答案 1 9＋ 5 2 ＋ 3 解析 如图，在长方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥 P—ABCD，所以该四棱锥的体 积 V＝1 3 S 梯形 ABCD×PD＝1 3 ×1 2 ×(1＋2)×1×2＝1. 因为 PB2＝PA2＋AB2＝12＋22＋12＝6，BC2＝2，PC2＝PD2＋CD2＝22＋22＝8，所以 PC2＝PB2＋BC2， 所以 PB⊥BC，所以 S△PBC＝1 2 ×PB×BC＝1 2 × 6× 2＝ 3，S 梯形 ABCD＝1 2 ×(1＋2)×1＝3 2 ， S△PAD＝1 2 ×PD×AD＝1 2 ×2×1＝1， S△PCD＝1 2 ×PD×CD＝1 2 ×2×2＝2， S△PAB＝1 2 ×PA×AB＝1 2 × 5×1＝ 5 2 ， 所以四棱锥 P—ABCD 的表面积 S＝ 3＋3 2 ＋1＋2＋ 5 2 ＝9＋ 5 2 ＋ 3. 15．(2018·浙江省联盟校联考)已知矩形 ABCD 的周长为 20 2，当矩形 ABCD 的面积最大时， 沿对角线 AC 将△ACD 折起，且二面角 B—AC—D 的大小为θ，则折叠后形成的四面体 ABCD 的 外接球的体积为( ) A.500 3 π B．100π C.1000 2 3 π D．与θ的大小有关 答案 A 解析 设矩形 ABCD 的长、宽分别为 x，y，则 2x＋2y＝20 2≥2 2x·2y，所以 xy≤50，当 且仅当 x＝y＝5 2时取等号，即当矩形 ABCD 为边长为 5 2的正方形时，矩形 ABCD 的面积最 大．由于正方形 ABCD 的外接圆的圆心即 AC 的中点，它到各个顶点的距离相等，所以沿对角 线 AC 折叠后形成的四面体 ABCD 的外接球的球心为 AC 的中点，故外接球的半径 r＝5，外接 球的体积 V＝4 3 πr3＝500 3 π，故选 A. 16．(2016·浙江)如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面 ABC 外的点 P 和线 段 AC 上的点 D，满足 PD＝DA，PB＝BA，则四面体 P—BCD 的体积的最大值是________． 答案 1 2 解析 设 PD＝DA＝x,0

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