【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版6-1数列的概念与简单表示法学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版6-1数列的概念与简单表示法学案

‎§6.1　数列的概念与简单表示法 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).‎ ‎2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.‎ 以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点.本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档.‎ ‎1.数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.‎ ‎2.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 an＋1__>__an 其中 n∈N＋‎ 递减数列 an＋1__<__an 常数列 an＋1＝an ‎3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.‎ ‎4.(选用)数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.‎ ‎5.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，‎ 则an＝ 概念方法微思考 ‎1.数列的项与项数是一个概念吗？‎ 提示　不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.‎ ‎2.数列的通项公式an＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？‎ 提示　数列的通项公式an＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N＋，而函数y＝3x＋5的定义域是R，an＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上.‎ 题组一　思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　×　)‎ ‎(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.(　×　)‎ ‎(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(　√　)‎ ‎(4)1,1,1,1，…不能构成一个数列.(　×　)‎ ‎(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　×　)‎ ‎(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N＋，都有an＝Sn－Sn－1.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2.在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝________.‎ 答案　21‎ 解析　由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.‎ ‎3.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.‎ 答案　5n－4‎ 题组三　易错自纠 ‎4.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N＋，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________.‎ 答案　(－3，＋∞)‎ 解析　因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N＋，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，‎ 整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1).(*)‎ 因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.‎ ‎5.数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N＋)，则此数列最大项的值是________.‎ 答案　30‎ 解析　an＝－n2＋11n＝－2＋，‎ ‎∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.‎ ‎6.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.‎ 答案　 解析　当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，‎ 故an＝ 题型一　由数列的前几项求数列的通项公式 例1　根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：‎ ‎(1)，，，，，…；‎ ‎(2)－1,7，－13,19，…；‎ ‎(3)，2，，8，，…；‎ ‎(4)5,55,555,5 555，….‎ 解　(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为an＝.‎ ‎(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为 an＝(－1)n(6n－5).‎ ‎(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即，，， ‎，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝.‎ ‎(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1).‎ 思维升华 求数列通项时，要抓住以下几个特征：‎ ‎(1)分式中分子、分母的特征.‎ ‎(2)相邻项的变化特征.‎ ‎(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征.‎ ‎(4)各项符号特征等.‎ ‎(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式.‎ 跟踪训练1 (1)数列－，，－，，…的一个通项公式an＝________________.‎ 答案　(－1)n 解析　这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n.‎ ‎(2)数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________.‎ 答案　 解析　数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.‎ 题型二　由an与Sn的关系求通项公式 例2　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.‎ 答案　4n－5‎ 解析　a1＝S1＝2－3＝－1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，‎ 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.‎ ‎(2)(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.‎ 答案　－63‎ 解析　∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，‎ 即an＝2an－1(n≥2).‎ 当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.‎ ‎∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，‎ ‎∴Sn＝＝＝1－2n，‎ ‎∴S6＝1－26＝－63.‎ ‎(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.‎ 答案　 解析　当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，‎ ‎∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①‎ 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②‎ 由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，‎ ‎∴an＝.‎ 显然当n＝1时不满足上式，‎ ‎∴an＝ 思维升华 已知Sn求an的常用方法是利用an＝一定要检验a1的情况.‎ 跟踪训练2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.‎ 答案　 解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝‎ ‎2×3n－1.‎ 当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，‎ 所以an＝ ‎(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝________.‎ 答案　 解析　因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①‎ 则当n≥2时，‎ a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②‎ ‎①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2).‎ 由题意知a1＝符合上式，所以an＝.‎ ‎(3)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.‎ 答案　(－2)n－1‎ 解析　当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，即a1＝1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，‎ 故＝－2，故an＝(－2)n－1.‎ 题型三　由数列的递推关系求通项公式 例3　设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.‎ 答案　 解析　由条件知an＋1－an＝n＋1，‎ 则an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝.‎ 引申探究 ‎1.若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝an”，如何求解？‎ 解　∵an＋1＝an，a1＝2，∴an≠0，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴an＝···…···a1‎ ‎＝···…··2＝.‎ ‎2.若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？‎ 解　设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝5，且＝＝2.所以{bn}是以5为首项，2为公比的等比数列.‎ 所以bn＝5×2n－1，故an＝5×2n－1－3.‎ ‎3.若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝”，如何求解？‎ 解　∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，‎ ‎∴＝＋，即－＝，‎ 又a1＝2，则＝，‎ ‎∴是以为首项，为公差的等差数列.‎ ‎∴＝＋(n－1)×＝.∴an＝.‎ ‎4.若将本例条件换为“a1＝1，an＋1＋an＝2n”，如何求解？‎ 解　∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2.‎ 即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.‎ 当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2＝n－1.‎ 当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.‎ 综上所述，an＝n∈N＋.‎ 思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 ‎(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列.‎ ‎(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列.‎ ‎(3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解.‎ ‎(4)当出现＝f(n)时，用累乘法求解.‎ 跟踪训练3　(1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式an＝______________.‎ 答案　3×2n－1－2‎ 解析　由an＋2＋2an－3an＋1＝0，‎ 得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，‎ ‎∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，‎ ‎∴当n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，‎ 将以上各式累加，得 an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，‎ ‎∴an＝3×2n－1－2(当n＝1时，也满足).‎ ‎(2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.‎ 答案　4－ 解析　原递推公式可化为an＋1＝an＋－，‎ 则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，‎ a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，‎ an＝an－1＋－，逐项相加得an＝a1＋1－，‎ 故an＝4－，经验证a1，a2也符合.‎ 题型四　数列的性质 命题点1　数列的单调性 例4　已知an＝，那么数列{an}是(　　)‎ A.递减数列 B.递增数列 C.常数列 D.摆动数列 答案　B 解析　an＝1－，将an看作关于n的函数，n∈N＋，易知{an}是递增数列.‎ 命题点2　数列的周期性 例5　(2019·包头质检)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝，则S2 020＝________.‎ 答案　0‎ 解析　∵a1＝0，an＋1＝，‎ ‎∴a2＝＝，a3＝＝＝－，‎ a4＝＝0，‎ 即数列{an}的取值具有周期性，周期为3，‎ 且a1＋a2＋a3＝0，‎ 则S2 020＝S3×673＋1＝a1＝0.‎ 命题点3　数列的最值 例6　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为(　　)‎ A.－3 B.－5 C.－6 D.－9‎ 答案　D 解析　由Sm－1＝－2，Sm＝0，‎ Sm＋1＝3(m≥2)可知am＝2，am＋1＝3，‎ 设等差数列{an}的公差为d，则d＝1，‎ ‎∵Sm＝0，∴a1＝－am＝－2，‎ 则an＝n－3，Sn＝，nSn＝.‎ 设f(x)＝，x>0，f′(x)＝x2－5x，x>0，‎ ‎∴f(x)的极小值点为x＝，‎ ‎∵n∈N＋，且f(3)＝－9，f(4)＝－8，‎ ‎∴f(n)min＝－9.‎ 思维升华 应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断.‎ 跟踪训练4　(1)(2018·葫芦岛模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 020的值为(　　)‎ A.2 B.－3 C.－ D. 答案　D 解析　因为a1＝2，an＋1＝，‎ 所以a2＝＝－3，a3＝＝－，‎ a4＝＝，a5＝＝2，‎ 故数列{an}是以4为周期的周期数列，‎ 故a2 020＝a505×4＝a4＝.‎ ‎(2)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N＋)，则数列{nan}中数值最小的项是(　　)‎ A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 答案　B 解析　∵Sn＝n2－10n，‎ ‎∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；‎ 当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式.‎ ‎∴an＝2n－11(n∈N＋).‎ 记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，‎ 此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N＋，‎ ‎∴当n＝3时，f(n)取最小值.‎ ‎∴数列{nan}中数值最小的项是第3项.‎ ‎1.已知数列，，，，，…，则5是它的(　　)‎ A.第19项 B.第20项 C.第21项 D.第22项 答案　C 解析　数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，‎ 所以通项公式为an＝＝，‎ 令＝5，得n＝21.‎ ‎2.记Sn为数列{an}的前n项和.“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵“an>0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，‎ ‎∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件.‎ 如数列{an}为－1,1,3,5,7,9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，‎ ‎∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”，‎ ‎∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件.‎ ‎∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件.‎ ‎3.(2018·锦州质检)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S8等于(　　)‎ A.255 B.256 C.510 D.511‎ 答案　C 解析　当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，据此可得a1＝2，‎ 当n≥2时，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，‎ 两式作差可得an＝2an－2an－1，则an＝2an－1，‎ 据此可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 其前8项和为S8＝＝29－2＝512－2＝510.‎ ‎4.(2018·呼和浩特模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则数列的前6项和为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，Sn－1＝n2－1，两式作差得到an＝2n＋1(n≥2)，‎ 又当n＝1时，a1＝S1＝12＋2×1＝3，符合上式，所以an＝2n＋1，‎ ＝＝ 裂项求和得到S6＝＝，故选A.‎ ‎5.在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an等于(　　)‎ A.2＋nln n B.2n＋(n－1)ln n C.2n＋nln n D.1＋n＋nln n 答案　C 解析　由题意得－＝ ln(n＋1)－ln n，n分别用1,2,3，…，(n－1)取代，累加得－＝ln n－ln 1＝ln n，＝2＋ln n，∴an＝(ln n＋2)n，故选C.‎ ‎6.已知数列{an}的通项公式an＝，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak对n∈N＋恒成立，则正整数k的值为(　　)‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ 答案　A 解析　an＝，当n≤5时，an>1；当n≥6时，an<1，‎ 由题意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n项乘积的最大值，所以k＝5.故选A.‎ ‎‎ ‎7.若数列{an}满足关系an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝________.‎ 答案　 解析　借助递推关系，由a8递推依次得到a7＝，a6＝，a5＝.‎ ‎8.若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ 答案　 解析　当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式.‎ 故数列{an}的通项公式为an＝ ‎9.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.‎ 答案　－ 解析　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，‎ ‎∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，‎ 又由a1＝－1，知Sn≠0，‎ ‎∴－＝1，‎ ‎∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，‎ ‎∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，‎ ‎∴Sn＝－.‎ ‎10.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，则an＝__________.‎ 答案　 解析　由an－an＋1＝nanan＋1，‎ 得－＝n，‎ 则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝，‎ 又因为a1＝1，‎ 所以＝＋1＝，‎ 所以an＝(n∈N＋).‎ ‎11.已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ 解　(1)由S2＝a2，‎ 得3(a1＋a2)＝4a2，‎ 解得a2＝3a1＝3；‎ 由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，‎ 解得a3＝(a1＋a2)＝6.‎ ‎(2)由题设知a1＝1.‎ 当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，‎ 整理，得an＝an－1.‎ 于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，‎ an－1＝an－2，an＝an－1，‎ 将以上n个等式两端分别相乘，‎ 整理，得an＝，‎ 经检验n＝1时，也满足上式.‎ 综上，{an}的通项公式an＝.‎ ‎12.已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N＋).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围.‎ 解　(1)∵2Sn＝(n＋1)an，‎ ‎∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，‎ ‎∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，‎ 即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，‎ ‎∴＝＝…＝＝1，‎ ‎∴an＝n(n∈N＋).‎ ‎(2)bn＝3n－λn2.‎ bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)‎ ‎＝2·3n－λ(2n＋1).‎ ‎∵数列{bn}为递增数列，‎ ‎∴2·3n－λ(2n＋1)>0，‎ 即λ<.‎ 令cn＝，‎ 即＝·＝>1.‎ ‎∴{cn}为递增数列，‎ ‎∴λm，则Sn－Sm的最小值为(　　)‎ A.－ B.－ C.－14 D.－28‎ 答案　C 解析　根据题意可知 ‎(2n－5)an＋1＝(2n－3)an＋(2n－5)(2n－3)，‎ 式子的每一项都除以(2n－5)(2n－3)，‎ 可得＝＋1，‎ 即－＝1，‎ 所以数列是以＝－5为首项，以1为公差的等差数列，‎ 所以＝－5＋(n－1)·1＝n－6，‎ 即an＝(n－6)(2n－5)，由an<0，解得

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