【物理】2018届二轮复习万有引力在天体运动中的应用学案（全国通用）

【物理】2018届二轮复习万有引力在天体运动中的应用学案（全国通用）

万有引力在天体运动中的应用 一、内容概述：‎ 卫星在不同轨道上运动时卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系，根据万有引力提供卫星绕地球运动的向心力，即有：‎ ＝man＝m＝mω2r＝mr an＝，r越大，an越小．‎ v＝ ，r越大，v越小．‎ ω＝ ，r越大，ω越小．‎ T＝2π ，r越大，T越大．‎ 在天体运动中要注意几个题型 ‎1. 利用已知天体的运动求中心天体的质量和密度 ‎2. 卫星的变轨运动，在变轨中要注意一下几点 这是卫星变轨图：卫星先在较低的圆轨道1上做圆周运动，当运动到近地点A时，经过点火加速，会使得卫星做离心运动，运动轨道变成了椭圆轨道2，在远地点在再次点火加速，上到预定轨道3，然后卫星绕地球再次做匀速圆周运动，这样就达到了发射卫星的目的，对于此类问题，A和B的速度和加速度之间的关系：‎ 卫星在轨道1上经过A点到达轨道2上的B点时，引力做负功，所以动能减小，所以卫星在轨道1上运行的速率大于在轨道2上经过B点时的速率；因为G＝ma 即a＝卫星在轨道2上经过A点时的向心加速度大于在轨道2上经过B点时的向心加速度，卫星在B点时，距离地球的距离相同，万有引力相同，根据牛顿第二定律，加速度相同 ‎3.双星和多星问题，‎ 特点：‎ ‎①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 ＝m1ωr1，＝m2ωr2‎ ‎②两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2‎ ‎③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L ‎(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.‎ ‎4.天体的追赶问题 两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上另一卫星，我们称之为追及问题。两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圈周运动，当两星某时相距最近时我自们称之为两卫星相遇问题。找同一中心天体运动的运行天体，由于 ，所以在同一轨道在不可能发生相遇，只有在不同轨道上的运行天体才能发生追赶现象，相遇时是指运行天体相距最近的现象。‎ 二、典例分析 ‎1、估算中心天体质量和密度 典例1：假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为；地球自转的周期为，引力常量为。地球的密度为（  ）。‎ A:  B: ‎ C:  D: ‎ ‎【答案】：B 典例2：某火星探测实验室进行电子计算机模拟实验,结果为:探测器在近火星表面轨道做圆周运动的周期是T;探测器着陆过程中,第一次接触火星表面后,以的初速度竖直反弹上升,经t时间再次返回火星表面,设这一过程只受火星的重力作用,且重力近似不变.已知万有引力常量为G,试求:‎ ‎(1)火星的密度;‎ ‎(2)火星的半径.‎ ‎【答案】:(1)火星的密度; (2)火星的半径.‎ 点睛： (1)已知探测器在火星表面轨道做圆周运动的周期T根据万有引力提供向心力可以求出火星的质量,再根据密度定义可以求出火星的密度; (2)根据竖直上抛工作可以求出火星表面的重力加速度,根据火星表面万有引力与重力相等求出火星的半径R. 围绕万有引力提供圆周运动的向心力和星球表面重力和万有引力相等求解即可.‎ ‎2、卫星变轨：‎ 典例1：2013年5月2日凌晨0时06分，我国“中星11号”通信卫星发射成功．“中星11号”是一颗地球同步卫星，它主要用于为亚太地区等区域用户提供商业通信服务．图为发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(　　)‎ A． 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B． 卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度 C． 卫星在轨道1上经过Q点时的速度大于它在轨道2上经过Q点时的速度 D． 卫星在轨道2上经过P点时的速度小于它在轨道3上经过P点时的速度 ‎【答案】：D 典例2： 如图是“嫦娥一号”奔月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测．下列说法正确的是(　　)‎ A． 发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B． 在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关 ‎ C． 卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D． 在绕月轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力 ‎【答案】：C ‎3、天体的追及相遇问题 例如：两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为 ，b卫星的角速度为 ，若某时刻两卫星正好同时通过地球同一点正上方，相距最近（如图甲所示），当它们转过的角度之差，即满足时，两卫星第一次相距最远 ，‎ 当它们转过的角度之差，即满足 时，两卫星第一次相距最近（如图乙所示），‎ 两卫星相距最近的条件：‎ 两卫星相距最远的条件： ‎ 典例1、如图所示,有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动,旋转方向相同,A行星的周期为,B行星周期为,在某一时刻两行星相距最近,则:‎ ‎(1)何时两行星再次相距最近 ‎(2)何时两行星相距最远.‎ ‎【答案】详解 ‎【解析】(1)卫星绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力有:‎ 可得周期为:,半径越大周期越大,故根据题意知,两卫星周期满足 名师点睛:‎ 两行星相距最近时,两行星应该在同一半径方向上;两行星相距最远时,两行星应该在同一直径上;因为A的轨道半径小,所以A的角速度大,即A转得较快;当A比B多转一圈时两行星再次相距最近;当A比B多转半圈时两行星相距最远.‎ 典例2：如图所示,地球质量为M,绕太阳做匀速圆周运动,半径为R.有一质量为m的飞船,由静止开始从P点在恒力F的作用下,沿PD方向做匀加速直线运动,一年后在D点飞船掠过地球上空,再过三个月,又在Q处掠过地球上空.根据以上条件可以得出(    )‎ A.DQ的距离为  ‎ B.PD的距离为  ‎ C.地球与太阳的万有引力的大小  ‎ D.地球与太阳的万有引力的大小 ‎ ‎【答案】ABC 名师点睛：根据DQ的时间与周期的关系得出D到Q所走的圆心角,结合几何关系求出DQ的距离.抓住飞船做匀加速直线运动,结合PD的时间和PQ的时间之比得出位移之比,从而得出PD的距离.根据位移时间公式和牛顿第二定律,结合地球与太阳之间的引力等于地球的向心力求出引力的大小.‎ ‎4、双星及三星问题：‎ 典例1、由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m、B、C 两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：‎ ‎(1)A星体所受合力大小FA；‎ ‎(2)B星体所受合力大小FB；‎ ‎(3)C星体的轨道半径RC；‎ ‎(4)三星体做圆周运动的周期T.‎ ‎【答案】　(1)2G　(2)G　(3)a　(4)π ‎【解析】　(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝G＝G＝FCA 方向如图所示 则合力大小为FA＝FBA·cos 30°＋FCA·cos 30°＝2G ‎(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为 FAB＝G＝G FCB＝G＝G ‎(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝G＝m()2RC，可得T＝π .‎ 典例2：宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法错误的是(　　)‎ A． 四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B． 四颗星的轨道半径均为 C． 四颗星表面的重力加速度均为 D． 四颗星的周期均为2πa ‎【答案】：B ‎【解析】：其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力：G＝m′g，得g＝，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得＋＝m，T＝2πa，故D正确． ‎ 三、总结归纳：‎ 掌握万有引力公式，并且要知道万有引力在圆周运动中充当的角色，把握住变轨中同一点的速度如何比较，同一点的加速度如何比较大小，以及知道在多星问题中各天体运动的轨道半径如何求出，每一个题型都有一套做题方法，认真审题代入合适的物理方法就能解决我们遇到的问题。‎ 四、强化练习:‎ ‎1、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示．当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，设卫星在1轨道和3轨道正常运行的速度和加速度分别为v1、v3和a1、a3，在2轨道经过P点时的速度和加速度为v2和a2，且当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时周期分别为T1、T2、T3，以下说法正确的是(　　)‎ A． v1＞v2＞v3 B． v1＞v3＞v2‎ C． a1＞a2＞a3 D． T1＞T2＞T3‎ ‎【答案】：B ‎2、宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则(　　)‎ A．每颗星做圆周运动的线速度为 B．每颗星做圆周运动的角速度为 C．每颗星做圆周运动的周期为2π D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 ‎【答案】　ABC ‎3、北斗导航系统中有“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．有两颗工作卫星均绕地心O在同一轨道上做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻，两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置，如图所示．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．下列说法中正确的是(　　)‎ A． 卫星1的线速度一定比卫星2的大 B． 卫星1向后喷气就一定能追上卫星2‎ C． 卫星1由位置A运动到位置B所需的时间为t＝‎ D． 卫星1所需的向心力一定等于卫星2所需的向心力 ‎【答案】：C ‎【解析】：根据万有引力提供向心力G＝m，得v＝，轨道半径相同，线速度相等，故A错误．卫星向后喷气，速度增大，万有引力不够提供向心力，做离心运动，会离开原来的圆轨道，在原轨道加速不会追上卫星2.故B错误．根据万有引力提供向心力G＝mω2r，得ω＝‎ ‎.又因为在地球表面的物体受到的重力等于万有引力mg＝G，得GM＝R2g，所以ω＝.故卫星1由位置A运动到位置B所需的时间t＝＝.故C正确．两卫星的做圆周运动所需要的向心力等于万有引力F＝G，由于不知道两卫星的质量关系，故两卫星的向心力大小不能确定，故D错误．‎ ‎4、如图所示是“嫦娥三号”环月变轨的示意图．在Ⅰ圆轨道运行的“嫦娥三号”通过变轨后绕Ⅱ圆轨道运行，则下列说法中正确的是(　　)‎ A． “嫦娥三号”在Ⅰ轨道的线速度大于在Ⅱ轨道的线速度 B． “嫦娥三号”在Ⅰ轨道的角速度大于在Ⅱ轨道的角速度 C． “嫦娥三号”在Ⅰ轨道的运行周期大于在Ⅱ轨道的运行周期 D． “嫦娥三号”由Ⅰ轨道通过加速才能变轨到Ⅱ轨道 ‎【答案】：C ‎5、地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动.地球的轨道半径为,运转周期为.地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角(简称视角),如图甲或图乙所示.当行星处于最大视角处时,是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期.已知某行星的最大视角为.求该行星的轨道半径和运转周期.最终计算结果保留两位有效数字) ‎ ‎【答案】该行星的轨道半径是,运转周期是.‎ ‎6、宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．已知引力常量为G，每个星体的质量均为m.‎ ‎(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．‎ ‎(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？‎ ‎【答案】：(1) 　4πR 　(2) R ‎7、如图所示.地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动.地球的轨道半径为R,运转周期为T.地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角(简称视角).已知该行星的最大视角为,当 行星处于最大视角处时,是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期.若某时刻该行星正处于最佳观察期,问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间? ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意可得行星的轨道半径 设行星绕太阳的转动周期为T'由开普勒第三定律有:‎ 设行星最初处于最佳观察时期前,其位置超前于地球,且经时间t地球转过角后,该行星再次处于最佳