2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第二章 第6讲 对数与对数函数
第6讲 对数与对数函数
一、知识梳理
1．对数
概念
如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么b叫作以a为底N的对数，记作b＝loga__N．其中a叫作对数的底数，N叫作真数
性质
底数的限制：a>0，且a≠1
对数式与指数式的互化：ax＝N⇒loga__N＝x
负数和零没有对数
1的对数是零：loga1＝0
底数的对数是1：logaa＝1
对数恒等式：alogaN＝N
运算性质
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，
且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
2.对数函数的图像与性质
a>1
0
1时，y>0
当x>1时，y<0
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．换底公式的三个重要结论
①logab＝；
②logambn＝logab；
③logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．
故01.所以c>a>b.
答案：c>a>b
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．( )
(3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．( )
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只经过第一、四象限．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√
二、易错纠偏
(1)对数函数图象的特征不熟致误；
(2)忽视对底数的讨论致误；
(3)忽视对数函数的定义域致误．
1．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是________．(填序号)
解析：函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有②.
答案：②
2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当00，y>0，2x－3y>0，
所以＝，所以log＝2.
答案：2
3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________．
解析：由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝logm2＋logm5＝logm10.
因为＋＝2，所以logm10＝2.
所以m2＝10，所以m＝.
答案：
4．已知log23＝a，3b＝7，则log32的值为________．
解析：由题意3b＝7，所以log37＝b.
所以log32＝log＝＝＝＝.
答案：
对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
对数函数的图象及应用(师生共研)
(1)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
(2)已知函数f(x)＝，若存在实数a，b，c，d，满足f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围________．
【解析】 (1)对于函数y＝loga，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的图象恒过定点，排除选项A、C；函数y＝与y＝loga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.
(2)
由题意可得－log3a＝log3b＝c2－c＋8＝d2－d＋8，
可得log3(ab)＝0，故ab＝1.
结合函数f(x)的图象，在区间[3，＋∞)上，
令f(x)＝1可得c＝3、d＝7、cd＝21.
令f(x)＝0可得c＝4、d＝6、cd＝24.
故有21＜abcd＜24.
【答案】 (1)D (2)(21，24)
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
1.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1
B．a>1，01
D．01.
答案：(1，＋∞)
对数函数的性质及应用(多维探究)
角度一 比较大小
已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
【解析】 因为c＝log＝log23>log2e＝a，所以c>a.
因为b＝ln 2＝<1b.
所以c>a>b.
【答案】 D
比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1，0等中间量进行比较
角度二 解简单对数不等式
已知不等式logx(2x2＋1)logab
借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a
>1与0b
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解
[提醒] 注意对数式的真数大于零，且不等于1.
角度三 与对数函数有关的综合问题
已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
【解】 (1)因为a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．
所以3－2a>0.所以a<.
又a>0且a≠1，所以a∈(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，因为a>0，
所以函数t(x)为减函数．
因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，
所以y＝logat为增函数，
所以a>1，当x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
所以即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
1．(2019·高考天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为
( )
A．a0.51＝，故alog0.50.25＝2，而c＝0.50.2<0.50＝1，故c0，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C. D．(0，＋∞)
解析：选A.因为－10，所以0<2a<1，所以00，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上递增，
则y＝ax2－x在[3，4]上递增，
且y＝ax2－x>0恒成立，
即解得a>.
答案：
数形结合法在对数函数问题中的应用
设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2<0 B．x1x2＝0
C．x1x2>1 D．01.5，c＝ln 2<1，所以cy>1.
4．函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>0，且a≠1)的大致图象是( )
解析：选C.函数f(x)＝|loga(x＋1)|的定义域为{x|x>－1}，且对任意的x，均有f(x)≥0，结合对数函数的图象可知选C.
5．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是 ( )
A．01时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，所以2>a>1.
当00，故A＝＝7.
答案：7
8．已知函数f(x)＝|log3 x|，实数m，n满足02，不满足题意．综上可得＝9.
答案：9
9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，且a≠1)，所以a＝2.
由得－11，而x1＝log2<0，0x2>x1.故选A.
3．已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是减少的，则a的取值范围为________．
解析：令g(x)＝x2－ax＋3a，
因为f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞) 是减少的，
所以函数g(x)在区间[2，＋∞)内是增加的，且恒大于0，
所以a≤2且g(2)＞0，
所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4.
答案：(－4，4]
4．设函数f(x)＝|logax|(00时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－
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