- 2021-04-17 发布 |
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文档介绍
甘肃省白银市会宁县第二中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学(理)试卷
会宁二中2019-2020学年度第二学期高二第一次月考数学(理)试卷 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题(本大题共12道小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知,且,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出导函数,再代入可求得值. 【详解】因为,,,解得, 故选:A. 【点睛】本题考查导函数的计算,关键在于正确地求出函数的导函数,注意复合函数的导函数的求解,属于基础题. 2.曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将点代入解析式确定参数值,结合导数的几何意义求得切线斜率,即可由点斜式求的切线方程. 【详解】曲线,即, 当时,代入可得,所以切点坐标为, 求得导函数可得, 由导数几何意义可知, 由点斜式可得切线方程为,即, 故选:A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,在曲线上一点的切线方程求法,属于基础题. 3.下列推理是类比推理的是( ) A. ,为定点,动点满足,则点的轨迹为椭圆 B. 由,,求出,,,猜想出数列的前项和的表达式 C. 由圆的面积,猜想出椭圆的面积 D. 以上均不正确 【答案】C 【解析】 A选项用的双曲线的定义进行推理,不符合要求. B选项根据前3个S1,S2,S3的值,猜想出Sn的表达式,属于归纳推理,符合要求. C选项由圆x2+y2=r2的面积S=πr2,猜想出椭圆 的面积S=πab,用的是类比推理,不符合要求. 本题选择C选项. 点睛:合情推理包括归纳推理和类比推理,所得到的结论都不一定正确,其结论的正确性是需要证明的.在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑;否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误. 4.有一段演绎推理是这样的:“若函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线,且,则在点处取得极值;己知函数在上是一条连续不断的曲线,且,则在点处取得极值”.对于以上推理,说法正确的是( ) A. 大前提错误,结论错误 B. 小前提错误,结论错误 C. 推理形式错误,结论错误 D. 该段演绎推理正确,结论正确 【答案】A 【解析】 ∵大前提是:“若函数图象在区间上是一条连续不断的曲线,且,则在点处取得极值”,不是真命题,因为对于可导函数,如果,且满足当附近的导函数值异号时,那么 是函数的极值点,∴大前提错误,导致结论错误,故选A. 5.设函数,则等于( ) A. -2 B. 0 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 ,.故选D. 6.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,如“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,这位公公的长儿的年龄为( ) A. 岁 B. 岁 C. 岁 D. 岁 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,得到数列是等差数列,由,求得数列的首项,即可得到答案. 【详解】设这位公公的第个儿子的年龄为, 由题可知是等差数列,设公差为,则, 又由,即,解得, 即这位公公的长儿的年龄为岁. 故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式的应用,其中解答中认真审题,熟练应用等差数列的前n项和公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 7.如图,两曲线与所围成的图形面积是( ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 求出两个函数的交点坐标,根据定积分的计算公式即可求得. 【详解】由得或 故两曲线所围成的阴影部分的面积 故选:B. 【点睛】本题考查利用定积分求解曲边梯形的面积,属中档题. 8.已知函数在上单调递增,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,上恒成立,,分离常数得 在上恒成立,只需,利用三角函数值域,即可求解. 【详解】因为在上单调递增, 所以恒成立, 即.令, 又, 即,所以. 故选:C. 【点睛】本题以函数的单调性为背景,考查不等式恒成立求参数的范围,分离常数是解题的关键,转化为求三角函数的最值,属于中档题. 9.如图是导函数的图象,在标记的点( )处,函数有极大值( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据导函数的图象,利用极值点的定义求解. 【详解】如图所示:当时,, 当时,, 当时,, 所以当时,函数有极大值. 故选:B 【点睛】本题主要考查函数的极值点,还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力,属于基础题. 10.设为正实数,函数,若,,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据,求导,由为正实数,得到在上单调性,再根据 ,成立,由求解. 【详解】因为, 所以, 因为为正实数, 所以当或时,,当时,, 所以在上递减,所以, 因为,成立, 所以, 解得, 所以的取值范围是. 故选:A 【点睛】本题主要考查导数与不等式恒成立问题,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 11.用数学归纳法证明不等式“(,)”的过程中,由推导时,不等式的左边增加的式子是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 把用替换后两者比较可知增加的式子. 【详解】当时,左边, 当时,左边, 所以由推导时,不等式的左边增加的式子是, 故选:D. 【点睛】本题考查数学归纳法,掌握数学归纳法的概念是解题基础.从到时,式子的变化是数学归纳法的关键. 12.设是函数的导函数,且,(为自然对数的底数),则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数F(x)=,求出导数,判断F(x)在R上递增.原不等式等价为F(lnx)<F(),运用单调性,可得lnx<,运用对数不等式的解法,即可得到所求解集. 【详解】可构造函数F(x)=, F′(x)==, 由f′(x)>2f(x),可得F′(x)>0,即有F(x)在R上递增. 不等式f(lnx)<x2即为<1,(x>0),即<1,x>0. 即有F()==1,即为F(lnx)<F(), 由F(x)在R上递增,可得lnx<,解得0<x<. 故不等式的解集为(0,), 故选B. 【点睛】利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行:如构造, 构造, 构造, 构造等 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.) 13.__________. 【答案】 【解析】 【分析】 将,转化为,再利用定积分的几何意义及函数的奇偶性求解. 【详解】, 因为表示以原点为圆心,1为半径的圆的半圆面积, 所以, 令,因为,所以为奇函数, 所以, 而, 所以. 故答案为: 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和几何意义求定积分,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 14.观察下列式子,,,,……,根据上述规律,第个不等式应该为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意,依次分析不等式的变化规律,综合可得答案. 【详解】解:根据题意,对于第一个不等式,,则有, 对于第二个不等式,,则有, 对于第三个不等式,,则有, 依此类推: 第个不等式为:, 故答案为. 【点睛】本题考查归纳推理的应用,分析不等式的变化规律. 15.如图所示,在著名的汉诺塔问题中,有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘,三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有个圆盘,较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上,规则如下:每次只能移动一个圆盘,且每次移动后,每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面,规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为,则__________,__________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 根据移动方法和规律发现,随着盘子的数目的增多,都是分两个阶段移动,用盘子数目减1的移动次数都移动辅助柱上,然后把最大的盘子移动到目标柱上,再用同样的次数从辅助柱移动到目标柱,从而完成,然后根据移动次数的数据找出总的规律求解. 【详解】将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为, 当时,, 当 时,小盘移动到辅助柱,大盘移动到目标柱,小盘从辅助柱移动到目标柱,完成,所以, 当时,小盘移动到目标柱,中盘移动到辅助柱,小盘从目标柱移动辅助柱,即用种方法把中,小盘移动到辅助柱,然后大盘从起始柱移动到目标柱,再用种方法把中,小盘从辅助柱移动到目标柱. 所以的方法, 依次类推,, 故答案为:(1). (2). 【点睛】本题主要考查合情推理和演绎推理,还考查了逻辑辨析推理的能力,属于中档题. 16.已知函数,则的单调递减区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据的解析式,求出,再根据导函数求出,再利用导数来判断的减区间即可. 【详解】由题意,, , 所以,故, , 所以,解得, 故, ,即,解得,, 故的单调递减区间为. 故答案为: 【点睛】本题主要考查函数值的求法、利用导数研究函数的单调性,属于基础题. 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.请在综合法,分析法,反证法中选择两种不同的方法证明: (1)如果,则; (2) 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)运用分析法和综合法,结合基本不等式即可得证; (2)运用分析法,考虑移项和平方,可得证明;运用分子有理化和不等式的性质,即可得证. 【详解】(1)方法一、(综合法)因为,所以, 所以. 因为, 所以. 方法二、(分析法)要证, 即为≥=, 即证≥,由>0,上式显然成立, 则原不等式成立; (2)方法一(分析法)要证, 即证, 即证. 即证, 即证, 即证. 因为,所以成立. 由上述分析可知成立. 方法二、由2﹣=,且﹣3=, 由2<,<3,可得<+3, 可得>,即2﹣>﹣3成立. 【点睛】本题考查不等式的证明,注意运用分析法和综合法,考查化简运算能力和推理能力,属于基础题. 18.已知函数在和处取得极值. (1)求,的值. (2)求在内的最值. 【答案】(1),(2); 【解析】 【分析】 (1)首先求出函数的导函数,利用在和处取得极值, 可得,-1和3是的两个根,利用韦达定理即可求解. (2)由(1)求出导函数,利用导函数求出函数的单调区间,进而可求出最值. 【详解】(1). 由题可得的根为-1和3, ∴, 解得. (2)由(1)得,, ∴和内单调递增; 在内单调递减; 又∵,,,, ∴;. 【点睛】本题考查了函数的极值、利用函数的导函数求最值,解题的关键是求出导函数,属于基础题. 19.随着人们生活水平的不断提高,人们对餐饮服务行业的要求也越来越高,由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味,这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量(单位:千盒)与销售价格(单位:元/盒)满足关系式其中,为常数,已知销售价格为14元/盒时,每月可售出21千盒. (1)求的值; (2)假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元(只考虑销售出的便当盒数),试确定销售价格的值,使该店每月销售便当所获得的利润最大.(结果保留一位小数) 【答案】(1)10;(2)当销售价格为元/盒时,商家每日销售所获得的利润最大 【解析】 【分析】 (1)时,,代入关系式得, 解得. (2) 先求出每日销售外卖便当所获得的利润,再利用导数求它的最大值. 【详解】(1)因为时,,代入关系式,得, 解得. (2)由(1)可知,外卖便当每日的销售量, 所以每日销售外卖便当所获得的利润 从而. 令,得, 且在上,,函数f(x)单调递增;在上,,函数f(x)单调递减,所以是函数f(x)在内的极大值点,也是最大值点, 所以当时,函数f(x)取得最大值. 故当销售价格为元/盒时,商家每日销售所获得的利润最大. 【点睛】(1)本题主要考查导数的应用,考查利用导数求函数的最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.(2) 利用导数解应用题的步骤:①读题和审题,主要是读懂那些字母和数字的含义;②分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系(注意确定函数的定义域);③求函数的导数,解方程;④如果函数的定义域是闭区间,可以比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;如果函数的定义域不是闭区间,又只有一个解,则该函数就在此点取得函数的最大(小)值,但是要进行必要的单调性说明. 20.已知函数,(其中,且), (1)若,求实数的值; (2)能否从(1)的结论中获得启示,猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想. 【答案】(1)(2)猜想:;证明见解析 【解析】 【分析】 (1)分别代入并化简,可得,即可求出答案;(2)猜想:;分别代入表达式,化简并整理即可证明. 【详解】解:(1) . 因为函数与具有相同单调性,且都是单调函数,所以是单调函数. . (2)由, 猜想:. 证明: . 所以. 【点睛】本题考查了归纳推理,考查了学生的推理能力,属于中档题. 21.已知数列满足,. (1)求、、; (2)猜想数列通项公式,并用数学归纳法给出证明. 【答案】(1),;(2),证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据数列满足,令求解. (2)根据、、,猜想数列通项公式.用数学归纳法证明:第一步,验证时是否成立,第二步,假设时成立,.再论证时,成立即可. 【详解】(1)数列满足,. 则,. (2)猜想数列通项公式. 用数学归纳法证明:(ⅰ)时,成立, (ⅱ)假设时成立,. 则时,. 因此时,猜想成立. 综上可得:数列通项公式,. 【点睛】本题主要考查数学归纳法,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 22.已知函数. (1)求函数的单调递减区间; (2)当时,的最小值是,求实数的值. 【答案】(1)答案见解析;(2) 【解析】 试题分析:(1)求出函数导数,通过讨论的取值范围,即可求出函数的单调区间; (2)通过讨论的的取值范围,求出函数在上的单调区间,从而求出函数的最小值,确定实数的值. 试题解析: (1),, 当时,在上恒成立, 则的单调递减区间为; 当时,令,得,则的单调递减区间为. (2)当a≤1时,f(x)在上单调递减,则; 当a≥2时,f(x)在上单调递增, 则,解得 当时,在上单调递减,在上单调递增, 则,解得,舍去. 综上,得. 点睛:本题主要考查导数在函数中的应用,考查了数形结合思想和推理能力与计算能力,导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、圆等知识联系; (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数; (3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题; (4)考查数形结合思想的应用.查看更多