2018-2019学年湖北省十堰市高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年湖北省十堰市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省十堰市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合A={x|1＜x≤4}，B={1，2，3，4，5}，则A∩B=（　　）‎ A．2，3， B．2， C． D．3，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据交集的定义写出结果．‎ ‎【详解】‎ 集合A＝{x|1＜x≤4}，B＝{1，2，3，4，5}，‎ 则A∩B＝{2，3，4}．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．‎ ‎2．sin（）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用诱导公式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式化简，意在考查学生对于诱导公式的应用.‎ ‎3．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据奇偶性、周期性的定义，结合函数图像，进行逐项分析即可.‎ ‎【详解】‎ 对A：是偶函数，故不正确；‎ 对B：是偶函数，故不正确；‎ 对C：是奇函数，且最小正周期为.‎ 对D: 是奇函数，但不是周期函数，故不正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本初等函数，以及三角函数的周期性、奇偶性，涉及幂函数和三角函数.‎ ‎4．幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），B（8，m），则m=（　　）‎ A．4 B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设出幂函数的解析式，把点A的坐标代入解析式求出幂指数，然后直接求解f（8）的值．‎ ‎【详解】‎ 因为函数f（x）为幂函数，设f（x）＝xα．‎ 由函数f（x）的图象经过点A（4，2），‎ 所以4α＝2，得α 所以f（x），‎ 故f（8）m＝2，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义，考查了函数值的求法，是基础题．‎ ‎5．若函数f（2x）=x-3，则f（4）=（　　）‎ A． B．1 C． D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数f（2x）＝x﹣3，利用f（4）＝f（22），能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数f（2x）＝x﹣3，‎ ‎∴f（4）＝f（22）＝2﹣3＝﹣1．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】化简,利用三角函数图象的平移变换法则可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 要得到函数图象，‎ 只需将函数的图象向左平移个单位长度，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.‎ ‎7．方程log2x+3x-2=0的根所在的区间为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】构建函数，判断函数在定义域上为单调增函数，再用零点存在定理判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：构建函数f（x）＝log2x+3x﹣2，函数在R上连续单调增函数，‎ ‎∵f（1）＝3﹣2＞0，f（）＝﹣12＜0，‎ ‎∴f（x）＝log2x+3x﹣2的零点所在区间为（，1），‎ ‎∴方程log2x+3x﹣2＝0的根所在的区间为（，1），‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方程与函数之间的联系，考查零点存在定理的运用，属于基础题．‎ ‎8．如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用中线所在向量结合向量加减法，不难把转化为，得解．‎ ‎【详解】‎ 解：∵‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用基底表示向量，考查平面向量线性运算，属于基础题.‎ ‎9．已知函数f（x）=sinx+2x3-1．若f（m）=6，则f（-m）=（　　）‎ A． B． C．6 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，由函数的解析式可得f（m）与f（﹣m）的解析式，相加可得f（m）+f（﹣m）＝﹣2，结合f（m）的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，函数f（x）＝sinx+2x3﹣1，‎ 则f（m）＝sinm+2m3﹣1，f（﹣m）＝sin（﹣m）+2（﹣m）3﹣1＝﹣（sinm+2m3）﹣1，‎ 则有f（m）+f（﹣m）＝﹣2，‎ 又由f（m）＝6，则f（﹣m）＝﹣8；‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是分析f（m）与f（﹣m）的关系．‎ ‎10．函数的部分图象大致是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的奇偶性及时，进行排除即可得解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以B，D错误，‎ 当时，，所以C错误.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了识别函数图像，一般从以下几个方面进行选择即可：奇偶性，定义域，特殊值，极限值，属于基础题.‎ ‎11．已知函数f（x）=-cos（4x-），则（　　）‎ A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的单调递增区间为 D．的图象关于点对称 ‎【答案】D ‎【解析】由题意利用余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：对于函数f（x）＝﹣cos（4x），它的最小正周期为，故A错误；‎ 当x时，f（x）＝0，故f（x）的图象关于点（，0）对称，故D正确，而B错误；‎ 令2kπ≤4x2kπ+π，求得x，故函数的增区间为[，]，k∈Z，‎ 故C错误，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．‎ ‎12．定义新运算：当时，；当时，.设函数，则在上值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，求得函数 ，分别求得分段函数各段的值域，进而求得函数的值域，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，函数 ，‎ 当时，；‎ 当时，，令，则，‎ 故在上的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的值域的求解问题，其中解答中根据题意准确得出函数的解析式，熟练应用指数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13．已知正方形ABCD的边长为1，，，，则=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由向量的加法可得，再求解正方形的对角线即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，是正方形的对角线长，故，‎ 又 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的加法，以及模长的求解，属向量基础题.‎ ‎14．已知角的终边上有一点，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出点的坐标，再利用正切函数的定义，求正切值.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 根据正切函数的定义：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义，涉及正切的定义，属三角定义基础题.‎ ‎15．已知汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为______米．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设y＝kv2，由汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米，可求出k，再代值计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，设y＝kv2，‎ 当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米，‎ ‎∴20＝3600k，‎ 解得k，‎ ‎∴yv2，‎ 当v＝90千米/时，‎ ‎∴y902＝45米，‎ 故答案为45‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数模型的选择和应用，考查了运算能力和转化能力，属于基础题．‎ ‎16．已知函数，若函数存在5个零点，则a的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将零点问题转化为图像交点问题，数形结合，求参数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为函数存在5个零点，‎ 所以方程有5个不同的解，‎ 即或共有5个不同的实数解.‎ 结合函数的图象可知，‎ 方程有两个不同的实数解；‎ 方程有三个不同的实数解，‎ 即，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点与图像交点的转化，涉及指数和对数函数图像的绘制，属综合基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由同角三角函数关系，利用正弦值，求解正切值即可；‎ ‎（2）用诱导公式对代数式进行化简，再用同角商数关系，转化为齐次式求值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，则.‎ 故.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数关系的应用，涉及由正弦求解正切，以及已知正切求齐次式的值，属基础题.‎ ‎18．已知集合A={x|y=lg（x+3）+ln（2-x）}，B={x|≤2x＜8}，C={x|2a-1＜x≤a+5}．‎ ‎（1）求A∩B；‎ ‎（2）若B∩C=B，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）求解不等式组确定集合A、B，然后直接利用交集运算得答案；‎ ‎（2）由B∩C＝B，得即可求a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，∴-3＜x＜2，∴A=（-3，2）‎ ‎∵≤2x＜8，∴-1≤x＜3，∴B=[-1，3）‎ ‎∴A∩B=[-1，2）．‎ ‎（2）∵B∩C=B，∴B⊆C，‎ ‎∴∴-2≤a＜0，‎ ‎∴a的取值范围为[-2，0）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了交集及其运算，考查子集关系，是基础题．‎ ‎19．经统计分析，我市城区某拥挤路段的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当该路段的车流密度达到180辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为40千米/小时；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.‎ ‎（1）当时，求函数的表达式；‎ ‎（2）当车流密度x为多大时，该拥挤路段车流量（单位时间内通过该路段某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.‎ ‎【答案】（1）（2）当车流密度为时，车流量可以达到最大，最大值为2025辆/小时 ‎【解析】（1）根据自变量的取值不同，根据题意，写成分段函数；‎ ‎（2）由（1）求得，从而得到，考虑其单调性，从而求解最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，当时，；‎ 当时，设.‎ 由已知得，‎ 解得.‎ 故函数的表达式为 ‎.‎ ‎（2）依题意及（1）可得，‎ ‎.‎ 当时，为增函数，‎ 故当时，其最大值为；‎ 当时，‎ ‎.‎ 所以当时，‎ 在区间上取得最大值2025.‎ 综上，当时，‎ 在区间上取得最大值，‎ 即当车流密度为90辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值为2025辆/小时.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的应用，涉及分段函数的解析式求解，以及分段函数单调性及最值求解.‎ ‎20．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）求在上的值域.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为（2）‎ ‎【解析】（1）根据图像变换求得的解析式，再求解单调区间；‎ ‎（2）由的取值范围，求解的范围，再求函数值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得.‎ 令，‎ 解得，‎ 则的单调递增区间为.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以，‎ 从而，‎ 则.‎ 故在上的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦型函数的性质，涉及图像的变换，单调区间的求解，值域的求解.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）用定义证明：不论为何实数在上为增函数；‎ ‎（2）若为奇函数，求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求在区间[1，5]上的最小值.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)；(3) .‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎(1)的定义域为R, 任取,‎ 则=.‎ ‎,∴.‎ ‎∴，即.‎ 所以不论为何实数总为增函数. ‎ ‎(2)在上为奇函数,‎ ‎∴,即.‎ 解得. ‎ ‎(3)由(2)知，,‎ 由(1) 知，为增函数,‎ ‎∴在区间上的最小值为.‎ ‎　 ∵，‎ ‎　∴在区间上的最小值为.‎ ‎22．已知函数的图象经过点，，且函数与函数的图象只有一个交点.‎ ‎（1）求函数与的解析式；‎ ‎（2）设，解关于x的方程.‎ ‎【答案】（1）；；（2）当时，原方程有一解；当时，原方程有两解，；当时，原方程有一解；当或时，原方程无解.‎ ‎【解析】（1）由待定系数法求解的解析式，由联立方程组，，求解；‎ ‎（2）将（1）中的结果代入方程，对参数进行分类讨论，数形结合求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由函数的图象经过点，，‎ 得，‎ 解得，从而.‎ 由函数与函数的图象只有一个交点，‎ 得，，‎ 又，从而，‎ ‎.‎ ‎（2）原方程可化为，‎ 即.‎ 该方程等价于 ‎，‎ 令，作出该函数图象，如图所示，‎ 当时，原方程有一解；‎ 当时，原方程有两解，；‎ 当时，原方程有一解；‎ 当或时，原方程无解.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式的求解，以及方程根的计算，涉及幂函数、对数函数、对数运算的知识点，用到了数形结合的思想.‎