2017-2018学年福建省莆田第九中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年福建省莆田第九中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省莆田第九中学高二上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．在中， ， ， ，则边的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理有： ，据此可得： .‎ 本题选择A选项.‎ ‎2．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】试题分析：∵长轴长是短轴长的两倍，∴，故选A．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程及其性质．‎ ‎3．已知函数，则的值为（ ）‎ A. 1 B. -2 C. -1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得： ，‎ 则.‎ 本题选择D选项.‎ ‎4．已知为实数，且，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】取，满足，但是此时，即充分性不满足，‎ 反之，若，结合，利用不等式的性质相加可得： ，即必要性满足，‎ 综上可得：“”是“”的必要非充分条件 .‎ 本题选择C选项.‎ ‎5．已知函数的最小正周期，把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的一个值可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由最小正周期公式可得： ，‎ 函数的解析式为： ，‎ 图象向左平移个单位长度可得函数的解析式： ，‎ 所得图象关于原点对称，则，‎ 据此可得： ，‎ 解得： ，‎ 令可得： .‎ 本题选择B选项.‎ ‎6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，直线方程为： ，即，‎ 圆的标准方程为： ，‎ 圆心到直线的距离： ，‎ 则弦长为： .‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：圆的弦长的常用求法 ‎(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；‎ ‎(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： .‎ ‎7．关于的不等式的解集为且，则（ ）‎ A. B. 3 C. D. -3‎ ‎【答案】A ‎【解析】不等式即： ，‎ 结合可得，不等式的解集为： ，‎ 据此可得： ，解得： .‎ 本题选择A选项.‎ ‎8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，是 的中点，若，则的长等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查圆锥曲线定义和平面几何知识。由得=2，所以=8-2=6。‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由程序框图得第一次运行，‎ 第二次运行x=1， ，‎ 第三次运行， ，此时，满足条件|y−x|<1终止运行，输出.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)解决程序框图问题要注意的三个常用变量 ‎①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.‎ ‎②累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i；‎ ‎③累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.‎ ‎(2)使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．‎ ‎10．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，双曲线中，虚轴： ，焦距： ，‎ 则，双曲线的渐近线为： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎11．过椭圆， 的左焦点，作轴的垂线交椭圆于点， 为右焦点.若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知点P的坐标为或，‎ ‎∵∠F1PF2=60°，∴，‎ 即.‎ ‎∴，‎ 解得： 或 (舍去).‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(‎ 或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎12．若实数满足不等式组，目标函数的最大值为2，则实数的值是（ ）‎ A. 2 B. 0 C. 1 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】实数x,y满足不等式组如图，‎ 显然当x=2, 时，‎ 目标函数t=x−2y取得最大值，‎ 即，‎ 解得：a=2‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值 二、填空题 ‎13．在中，若，则角__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在△ABC中,由余弦定理可得,‎ 且，‎ 据此可得，‎ 整理可得： ，则.‎ ‎14．数列的通项公式是，若前项和为20，则项数为__________.‎ ‎【答案】440‎ ‎【解析】由数列的通项公式可得： ,‎ 则： ，‎ 结合前n项和的结果有： ，解得： .‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎15．在锐角中，若，则的范围 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由正弦定理可知,而在锐角中，, ,所以,从而有,因此答案为.‎ ‎【考点】正弦定理与倍角公式 ‎16．已知满足约束条件若目标函数的最大值为7，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图及其内部，其中，，‎ 将直线进行平移，并观察其在轴上的截距变化 当直线经过点时，目标函数取得最大值 所以 所以 因为，，所以，当且仅当，即时等号成立 所以，当且仅当，即时等号成立 故答案为7‎ ‎【考点】1．线性规划；2．基本不等式 ‎ ‎【方法点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．‎ 三、解答题 ‎17．已知命题不等式的解集为；命题在区间上是增函数.若命题“”为假命题，求实数的取值范围 ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由题意可得： ； ，结合题意有为假命题，且假命题，则.‎ 试题解析：‎ ‎； ‎ 由题知命题“或”为假命题，即为假命题，且假命题.‎ 所以： .‎ ‎18．在中，角所对应的边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)利用二倍角公式可得： ，结合为锐角可得；‎ ‎(Ⅱ)由题意结合正弦定理得： ①‎ 结合余弦定理有②‎ 据此得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得或.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵‎ ‎∴‎ 又∵，∴为钝角， 为锐角 ‎∴‎ ‎（Ⅱ）∵，∴由正弦定理得： ①‎ 又由余弦定理得： 即②‎ ‎∴由①、②得 ‎∵，∴， ‎ ‎∴可解得或 ‎∴所求的值为或 ‎19．如图，已知矩形，过作平面，再过作于点，过作于点．‎ ‎（Ⅰ）求证： ．‎ ‎（Ⅱ）若平面交于点，求证： ．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）本题需经过多次线面垂直与线线垂直的转化：由平面，得，再得平面，即得，可得平面，即得，因此平面，即得结论（2）本题仍需经过多次线面垂直与线线垂直的转化：由平面，得，再得平面，即得，可得平面，即得结论 试题解析：（Ⅰ）∵在矩形中，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵点，‎ ‎、平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ 点，‎ ‎、平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ 点，‎ ‎、平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）∵在矩形中，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵点，‎ ‎、平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵点，‎ ‎、平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴．‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎20．已知满足约束条件 ‎（1）求的取值范围. ‎ ‎（2）若目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，求的值；‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)目标函数可看作区域内的点与连线的斜率，结合可行域可得 ‎(2)直线平行于边界直线，即直线平行于直线时，线段上的任意一点均使取得最大值.据此解方程可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1），可看作区域内的点与连线的斜率，‎ 由图可知， ，即 ‎（2）一般情况下，当取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线平行于直线时，线段上的任意一点均使取得最大值.‎ 此时满足条件的点即最优解有无数个.‎ 又，∴，‎ ‎∴.‎ 点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．‎ ‎(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ ‎21．已知函数 ‎（1）若是的极值点，求在上的最小值和最大值；‎ ‎（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ， ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得，则函数的解析式，利用导函数研究函数的最值可得， ‎ ‎(2)原问题等价于在上恒成立，据此可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题知： ，得.‎ 所以 令，得或（舍去），‎ 又， ， ，‎ 所以， ‎ ‎（2）可知： 在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 所以 ‎22．已知椭圆， 的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线（斜率存在时）与椭圆交于两点，设为椭圆与轴负半轴的交点，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意求得，则椭圆的方程为 ‎(2)分类讨论，当时， ，当时， ，据此可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可得： ，解得： ，‎ 据此可得，椭圆的方程为 ‎（2）时， ‎ 时， ， ①，‎ 取中点， ‎ 由得②‎ 由①②可得∴‎ 综上， .‎