高考数学 17-18版 第4章 第19课 课时分层训练19
课时分层训练(十九)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，那么实数a的取值范围是________．
(－∞，－1) [y′＝ex＋a，由y′＝0，得x＝ln(－a)．因为x>0，所以－a>1，所以a<－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1)．]
2．已知函数f(x)＝x3－3a2x＋1的图象与直线y＝3只有一个公共点，那么实数a的取值范围是________．
(－1,1) [f′(x)＝3x2－3a2，令f′(x)＝0，则x＝±a.
由题意知当a<0时，f(a)＝a3－3a3＋1<3，即a3>－1，所以－1
0时，f(－a)＝－a3＋3a3＋1<3，即a3<1，所以00，若a＝f，b＝－2f(－2)，c＝·f，则a，b，c的大小关系是________. 【导学号：62172108】
a0时，h′(x)＝f(x)＋x·f′(x)>0，∴此时函数h(x)单调递增．
∵a＝f＝h，
b＝－2f(－2)＝2f(2)＝h(2)，
c＝f＝h
＝h(－ln 2)＝h(ln 2)，
又0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是________．
(－∞，－2)∪(0,2) [∵x>0时，′<0，
∴φ(x)＝为减函数，又φ(2)＝0，
∴当且仅当00，
此时x2f(x)>0.
又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．
故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．]
8．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是________．
[－2,0] [y＝|f(x)|的图象如图所示：
要使|f(x)|≥ax，只需找到y＝ax与y＝x2－2x相切时的临界值即可，由y′|x＝0＝－2可知a＝－2，
结合图象可知，当实数a满足－2≤a≤0时，有|f(x)|≥ax.]
9．设f(x)＝|ln x|，若函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0,4)上有三个零点，则实数a的取值范围是________．
[由题意，可知方程|ln x|＝ax在区间(0,4)上有三个根，令h(x)＝ln x，则h′(x)＝，又h(x)在(x0，ln x0)处切线y－ln x0＝(x－x0)过原点，得x0＝e，即曲线h(x)过原点的切线的斜率为，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为，所以实数a的取值范围是.]
10．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为________．
(－∞，－1)∪(1，＋∞) [令F(x)＝f(x)－x，由f′(x)<可知，F′(x)＝f′(x)－<0.
∴F(x)在R上单调递减．
又f(1)＝1，∴f(x2)<＋可化为f(x2)－x21，即x>1或x<－1.]
二、解答题
11．已知函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)若对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求实数m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m恒成立，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，
解得m≤－，即m的最大值为－.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0；当12时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝2－a.故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0有且仅有一个实数根，解得a<2或a>，即实数a的取值范围为(－∞，2)∪.
12．(2017·如皋市高三调研一)设函数f(x)＝ln x－ax2(a>0)．
(1)讨论函数f(x)零点的个数；
(2)若函数f(x)有极大值为－，且存在实数m，n，m4a. 【导学号：62172109】
[解] (1)f′(x)＝－2ax＝(x>0)．
①当a＝0，f(x)＝ln x在(0，＋∞)上有一个零点；
②当a<0，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f(1)＝－a>0，f(ea)＝a－ae2a＝a(1－e2a)<0所以f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点；
③当a>0，f(x)＝0，x＝，
x
f′(x)
＋
0
－
f(x)
f(x)max＝f＝ln－.
(ⅰ)当a>时，f(x)在(0，＋∞)上有没有零点；
(ⅱ)当a＝时，f(x)在(0，＋∞)上有一个零点；
(ⅲ)当0时，f(x)在(0，＋∞)上有没有零点；
当a＝或a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个零点；
当02－n，即m＋n>2得证．
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·南京模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋2k，若函数g(x)恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为________．
∪ [当x≤0时，f′(x)＝(2－x2)ex，当x＝－时取得极小值f＝－2(＋1)·e－，当x<0时，f(x)<0，且f(0)＝0，函数f(x)的图象如图所示，函数g(x)恰有两个不同的零点，就是f(x)的图象与直线y＝－2k有两个不同的交点，所以3<－2k<7或－2k＝0或－2k＝－2(＋1)e－，
即k∈∪.]
2．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是______________．
[由于f′(x)＝1＋＞0，因此函数f(x)在[0,1]上单调递增，
所以x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.
根据题意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，
即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，令h(x)＝＋，
则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，
又函数h(x)＝＋在x∈[1,2]上单调递减，
所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.]
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m＋2(a>0)．
(1)若f(x)在[－1,1]内没有极值点，求实数a的取值范围；
(2)当a＝2时，方程f(x)＝0有三个互不相同的解，求实数m的取值范围．
[解] (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x＋a)，
令f′(x)＝0，得x＝或－a，
因为f(x)在[－1,1]内没有极值点，而且a>0，
所以解得a>3，
故实数a的取值范围是(3，＋∞)．
(2)当a＝2时，f′(x)＝3(x＋2)＝0的两根为，－2，要使方程f(x)＝0有三个互不相同的解，需使
解得－10
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