高中数学讲义微专题11 函数零点的性质问题

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高中数学讲义微专题11 函数零点的性质问题

微专题 11 函数零点的性质 一、基础知识: 1、函数零点,方程,图像交点的相互转化:有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转 化,且这三者各具特点: (1)函数的零点:有“零点存在性定理”作为理论基础,可通过区间端点值的符号和函数 的单调性确定是否存在零点 (2)方程:方程的特点在于能够进行灵活的变形,从而可将等号两边的表达式分别构造为 两个可分析的函数,为作图做好铺垫 (3)图像的交点:通过作图可直观的观察到交点的个数,并能初步判断交点所在区间。 三者转化:函数 的零点 方程 的根 方程 的根 函数 与 的交点 2、此类问题的处理步骤: (1)作图:可将零点问题转化成方程,进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题, 并作出函数图像 (2)确定变量范围:通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 (3)观察交点的特点(比如对称性等)并选择合适的方法处理表达式的值, 3、常见处理方法: (1)代换法:将相等的函数值设为 ,从而用 可表示出 ,将关于 的表达 式转化为关于 的一元表达式,进而可求出范围或最值 (2)利用对称性解决对称点求和:如果 关于 轴对称,则 ;同理, 若 关于 中心对称,则也有 。将对称的点归为一组,在求和时可与 对称轴(或对称中心)找到联系 二、典型例题: 例 1:已知函数 ,若 ,且 ,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.  f x    0f x  方程变形    g x h x   g x  h x t t 1 2, ,x x  1 2, ,x x  t 1 2,x x x a 1 2 2x x a  1 2,x x  ,0a 1 2 2x x a    lgf x x 0 a b     f a f b 2a b  2 2, 2 2,   3,  3, 思路:先做出 的图像,通过图像可知,如果 ,则 ,设 ,即 ,由 范围 可得: ,从而 , 所 以 , 而 , 所 以 答案:C 小炼有话说:(1)此类问题如果 图像易于作出,可先作图以便于观察函数特点 (2)本题有两个关键点,一个是引入辅助变量 ,从而用 表示出 ,达到消元效果,但 是要注意 是有范围的(通过数形结合 需与 有两交点);一个是通过图像判 断出 的范围,从而去掉绝对值。 例 2:已知函数 ,若有三个不同的实数 ,使得 ,则 的取值范围是 ________ 思路: 的图像可作,所以考虑作出 的图 像 , 不 妨 设 , 由 图 像 可 得 : ,且关于 轴 对称,所以有 ,再观察 ,且 , 所以 ,从而 答案: 小炼有话说:本题抓住 关于 对称是关键,从而可由对称求得 ,使得所 求式子只需考虑 的范围即可  f x    f a f b 0 1a b      f a f b t   lg 0 lg a t t b t    ,a b lg 0,lg 0a b  lg lg t t a t a e b t b e        12 2 t ta b ee   0te   12 3,t te e    f x t t ,a b t y t  y f x ,a b      2015 cos , 0,2 log , , x x f x x x               , ,a b c      f a f b f c  a b c   f x  f x a b c       0,1f a f b   , 0,a b  2x  2 2 a b a b      c       2015log 0,1cf c f a   20150 log 1 2015c c         2 ,2016a b c c        2 ,2016  ,a b 2x  a b   c 例 3:定义在 上的奇函数 ,当 时, ,则关于 的函数 的所有零点之和为( ) A. B. C. D. 思路: 为奇函数,所以考虑先做出正半轴的 图像,再利用对称作出负半轴图像,当 时, 函数图象由两部分构成,分别作出各部分图像。 的 零 点 , 即 为 方 程 的 根 , 即 图像与直线 的交点。观察图像可得有 5 个 交 点 : 关 于 对 称 , , 且 满 足 方 程 即 ,解得: , 关于 轴对称, 答案:B 例 4 : 已 知 , 函 数 的 零 点 分 别 为 , 函 数 的零点分别为 ,则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 思路:从 解析式中发现 可看做 与 的交点, 可看做 与 的 交点,且 ,从而 均可由 进 行表示,所以 可转化为关于 的函数, 再求最小值即可 解:由图像可得: R  f x 0x        1 2 log ( 1), 0,1 1 3 , 1, x x f x x x          x     (0 1)F x f x a a    2 1a  1 2a 2 1a  1 2 a  f x 0x   F x   0f x a   f x y a 1 2,x x 3x   1 2 6x x   3 0x       3 3 3f x a f x a f x a          1 3 2 log 1x a   3 1 2ax   4 5,x x 3x  4 5 6x x   1 2 3 4 5 1 2ax x x x x       1 13 k    2 1xf x k    1 2 1 2,x x x x   2 1 2 1 x kg x k     3 4 3 4,x x x x    4 3 2 1x x x x   1 2log 3 2log 6 3    ,f x g x 1 2,x x 2 1xy   y k 3 4,x x 2 1xy   2 1 ky k  1 2 3 40 , 0x x x x    1 2 3 4, , ,x x x x k    4 3 2 1x x x x   k 1 2 3 40 , 0x x x x    答案:B 例 5:已知函数 有两个不同的零点 ,则( ) A. B. C. D. 思路:可将零点化为方程 的根,进而转化为 与 的 交 点 , 作 出 图 像 可 得 ,进而可将 中 的绝对值去掉得: , 观察选项涉及 ,故将② ① 可得: , 而 为 减 函 数 , 且 , 从 而 3 1 2 4 1 21 2 2 1, 2 1 2 1 2 1 x x x x k k k kk k                 1 2 2 2log 1 , log 1x k x k     3 2 2 4 2 2 1 3 1log 1 log , log 1 log2 1 2 1 2 1 2 1 k k k kx xk k k k                                   4 3 2 1 2 2 2 2 3 1 1 3 1 4log log log log 31 1 1 1 k k kx x x x k k k k                                     1,13k      43 3,1 k         4 3 2 1 2log 3,x x x x         3 1log 1 13 x f x x        1 2,x x 1 2 1x x  1 2 1 2x x x x   1 2 1 2x x x x   1 2 1 2x x x x    3 1log 1 13 x x          3log 1g x x    1 13 x h x      1 21 2x x    3 1log 1 13 x x           1 2 3 1 3 2 1log 1 13 1log 1 13 x x x x                   ① ② 1 2 1 2,x x x x      2 1 3 2 1 1 1log 1 1 3 3 x x x x                  1 3 x y      2 1x x , 即 答案:D 例 6:已知函数 ,存在 , , 则 的最大值为 思路:先作出 的图像,观察可得: ,所求 可先减少变 量 个 数 , 利 用 可 得 : , 从 而 只 需 求 出 在 的 最 小 值 即 可 : , 所 以 函 数 在 单 增 , 在 单 减 。 从 而 答案: 例 7 : 已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足 : , 且 , ,则方程 在区间 上的所有实根之 和为( ) A. B. C. D. 思路:先做图观察实根的特点,在 中,通过作图可 发 现 在 关 于 中 心 对 称 , 由 可得 是周期为 2 的周期函数,则 在下一个周期 中, 关于 中心对称,        3 2 1 2 1 1 2 1 2log 1 1 0 1 1 1 0x x x x x x x x             1 2 1 2x x x x       )(,3 )0(|,ln|)( 33 3 exxe exxxf 321 xxx  )()()( 321 xfxfxf  2 3 )( x xf  f x 3 1 2 30 1x x e x     2 3 )( x xf    3 2f x f x  23 2 2 2 2 ( ) lnf xf x x x x x  ln xy x  31,e ' 2 1 ln xy x  ln xy x  1,e  3,e e max ln 1ey e e  1 e R  f x       2 2 2, 0,1 2 , 1,0 x x f x x x           2f x f x    2 5 2 xg x x      f x g x  5,1 5 6 7 8  1,1  f x  1,1  0,2    2f x f x   f x  3, 1   f x  2,2 以此类推。从而做出 的图像(此处要注意区间端点值在何处取到),再看 图像, ,可视为将 的图像向左平移 2 个单位后再向上平移 2 个 单位,所以对称中心移至 ,刚好与 对称中心重合,如图所示:可得共有 3 个 交点 ,其中 , 与 关于 中心对称,所以有 。所 以 答案:C 例 8:函数 ,直线 与函数 的图像相交于四个不同 的点,从小到大,交点横坐标依次记为 ,有以下四个结论 ① ② ③ ④ 若关于 的方程 恰有三个不同实根,则 的取值唯一 则其中正确的结论是( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 思路:本题涉及到 的取值,及 4 个交点的性质,所以先 作出 的图像,从而从图上确定存在 个交点时, 的范围是 ,所以①正确。从图像上可看出 在同一 曲线, 在同一曲线上,所以②③在处理时将 放在 一组, 放在一组。 ②涉及到根的乘积,一方面 为方程 的两根,所以由韦达定理,可得 ,而 为方程 的两根,且 ,从而 , 即 ,所以有 ,②正确 ③由②中的过程可得: , ,所以 ,从 而 ,而 , 设  f x  g x   2 5 122 2 xg x x x     1y x  2,2  f x 1 2 3x x x  2 3x   1x 3x  2,2 1 3 4x x   1 2 3 7x x x      2 2 3, 0 2 ln , 0 x x xf x x x        y m  f x , , ,a b c d  3,4m 40,abcd e  5 6 2 1 12, 2a b c d e ee e            x  f x x m  m m  f x 4 m  3,4 ,a b ,c d ,a b ,c d ,a b 2 2 3x x m    3ab m  ,c d 2 ln x m  20 c e d   2 ln ln 2c d   4ln 4cd cd e     4 43 0,abcd m e e    2a b   2 ln ln 2c d m    2 2,m mc e d e   2 2 2 12 2m m m ma b c d e e e e e                  3,4m 3 4,me e e  ,则 为增函数,所以 ③正确 ④可将问题转化为 与 的交点个数问题,通过作图可得 的值不唯一 综上所述:①②③正确 答案:A 例 9 : 已 知 函 数 , 若 , 且 ,则 的值( ) A. 恒小于 2 B. 恒大于 2 C. 恒等于 2 D. 与 相关 思路:观察到当 时, 为单调函数,且 时, 的图像相当于作 时关于 对称的图像再进行上下平移,所以也为单调函数。由此可得 时, 必在两段上。设 ,可得 ,考虑使用 代换法设 ,从而将 均用 表示,再判断 与 的大小即可。 解:设 ,不妨设 ,则 若 ,则 为减函数,且 若 ,则 为增函数,且 的值恒大于 2 答案:B 例 10:定义函数 ,则函数 在区间 ( ) 内的所有零点的和为( )   2 12 m mf m e e e         f m   5 6 2 1 12, 2f m e ee e          y f x y x m   m        log 1 , 1 1 0, 1 2 1,1 3 a x x f x a a f x a x            1 2x x    1 2f x f x 1 2x x a 1 1x    f x 1 3x   f x  1,1x   1x     1 2f x f x 1 2,x x 1 2x x 1 21 1 3x x        1 2f x f x t  1 2,x x ,a t 1 2x x 2    1 2f x f x t  1 21 1 3x x     21 2 1x     1 1log 1 1t a x t x a        1 2 2log 3 1 3 t a a x a t x a         1 1 2 2 t t ax x a a       0 1a  xy a 11 t t at t a a a       1 2 2x x   1a  xy a 11 t t at t a a a       1 2 2x x   1 2x x  34 8 ,1 2,2( ) 1 ( ), 2.2 2 x x f x xf x         ( ) ( ) 6g x xf x  [1,2 ]n *Nn A. B. C. D. 思路:从 可得:函数 是以 区间为 一段,其图像为将前一段图像在水平方向上拉伸为原来的 2 倍, 同时竖直方向上缩为原来的 ,从而先作出 时的图像, 再依以上规律作出 的图像, 的 零点无法直接求出,所以将 转化为 ,即 与 的交点。通过作图可得,其交点刚好位于每一段中的极大值点位置, 可 归 纳 出 中 极 大 值 点 为 , 所 以 所 有 零 点 之 和 为 答案:D 小炼有话说:(1)本题考查了合理将 轴划分成一个个区间,其入手点在于 的出现, 体现了横坐标之间 2 倍的关系,从而所划分的区间长度成等比数列。 (2)本题有一个易错点,即在作图的过程中,没有发现 恰好与 相交在极大 值点处,这一点需要通过计算得到:当 时, , 从而归纳出规律。所以处理图像交点问题时,如果在某些细节很难通过作图直接确定,要通 过函数值的计算来确定两图像的位置 三、近年模拟题题目精选 1、(2016 四川高三第一次联考)已知函数 ,若存在 ,当 时, ,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. n 2n 3 (2 1)4 n  3 (2 1)2 n  1( ) 2 2 xf x f       f x  12 ,2n n 1 2  1,2x      12,4 , 4,8 , , 2 ,2n n    g x   0g x    6f x x  y f x   6h x x  12 ,2n n 12 2 3 22 4 n n n nx        2 2 13 3 2 14 2 1 2 n nS      x ( )2 xf   6h x x  f x 3 2x     3 34 , 3 2 32 2f h f h               1 1 1, 0,2 2 12 , ,22 x x x f x x                1 2,x x 1 20 2x x      1 2f x f x    1 2 2x f x f x 2 3 20, 4      9 2 3 2,16 4      9 1,16 2      2 3 2 1,4 2       2、(2016,苏州高三调研)已知函数 有且只有三个零点, 设此三个零点中的最大值为 ,则 _________ 3、已知函数 的零点分别为 ,则 的大小关系是_______ 4、已知函数 的零点为 ,有 使得 , 则下列结论不可能成立的是( ) A. B. C. D. 5、已知 ,若方程 有四个不同的解 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 6 、 已 知 函 数 , 若 存 在 实 数 , 满 足 ,且 ,则 的取值范围 是( ) A. B. C. D.    sin 0,f x x kx x k R    0x   0 2 0 01 sin 2 x x x        2 , ln , 1xf x x g x x x h x x x       1 2 3, ,x x x 1 2 3, ,x x x   3 1 log3 x f x x     0x 0 a b c         0f a f b f c  0x a 0x b 0x c 0x c   2 1 , 0 log , 0 x x f x x x      f x a 1 2 3 4x x x x    1 2 3 4 1 1x x x x   10, 2     10, 2      10, 2       0,1   2log ,0 2 sin ,2 104 x x f x x x            1 2 3 4, , ,x x x x 1 2 3 4x x x x          1 2 3 4f x f x f x f x     3 4 1 2 2 2x x x x    4,16  0,12  9,21  15,25 习题答案: 1、答案:C 解析:如图可知: 2、答案: 解析: ,即 与 恰有三个公共点,通 过 数 形 结 合 可 得 : 横 坐 标 最 大 值 为 直 线 与 曲 线 在 相 切 的 切 点 。 设 改 点 , 的导数为 ,所以 ,代入到 所求表达式可得: 3、答案: 解析: ,在同 一 坐 标 系 下 作 出 如 图 所 示 可 得 。令 ,解得 ,所以 ,从而 1 2 2 1 1 1, 12 2 2x x                  1 2 2 1 2 1 1 1 1 11 1 1 2x f x f x x f x x f x x x            2 2 1 1 1 1 1 1 9 2 2 4 16x x x          9 1 1 16 2 2g x g         1 2   sin 0 sinf x x kx x kx     siny x y kx 0x 3, 2       0 0,A x y siny x ' cosy x 0 0 0 00 0 0 0 sin sin cos cos y x xxyk x xx         0 0 0 22 0 0 0 0 0 sin cos 1 21 sin 2 sin1 sin 2cos x x x x x x xx            1 2 3x x x     0 2 , 0 lnxf x x g x x x        2 , ln ,xy y x y x    1 20 1x x      2 0 1 0h x x x     1 5 2x  3 3 5 12x   1 2 3x x x  4、答案:C 解 析 : 可 判 断 出 为 减 函 数 , 则 包 含 两 种 情 况 , 一 个 是 均小于零。可知当 时, 。所以 的零点必在 中 , 即 , A 选 项 可 能 ; 另 一 种 情 况 为 , 则 ,即 B,D 选项可能。当 时,由 和 为减函数即可得到 不再存在零点。 5、答案:B 解析:作出 的图像可知若 有四个不同的解,则 ,且在这四个根中, 关 于 直 线 对 称 , 所 以 , , 所 以 , 即 , 所 以 ,由 可得 的范围是 6、答案:B 解析:不妨设 ,作出 的图像可知若 与 有四个不同交点,则 ,且 关于 轴对称。所以有 即 因为 ,所以 , 求出该表达式的范围即为  f x       0f a f b f c       , ,f a f b f c  0,1x    0f x   f x  1,a 0x a      0, 0, 0f a f b f c    0 ,x b c x c   0f c   f x  f x  f x  f x a  0,1a  1 2,x x 1x   1 2 2x x   3 41x x  2 3 2 4log loga x x   3 4 1 2 2 a a x x             1 2 3 4 1 1 12 2 2 a ag a x x x x              0,1a   g a 10, 2             1 2 3 4f x f x f x f x a     f x y a  y f x  0,1a  1 2 3 41 , ,x x x x  6x  2 1 2 2 1 2 3 4 log log 1 12 x x x x x x            3 4 3 4 3 4 3 4 1 2 1 2 2 2 2 4 20x x x x x x x xx x x x         3 4 3 412 12x x x x           3 4 4 4 4 1 2 2 2 12 20, 8,10x x x x xx x        0,12
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