【数学】2019届一轮复习人教A版第7章推理与证明第2课时直接证明与间接证明学案

【数学】2019届一轮复习人教A版第7章推理与证明第2课时直接证明与间接证明学案

第2课时　直接证明与间接证明(对应学生用书(文)、(理)104 105页)‎ 了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单问题．‎ ‎① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.② 了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．‎ ‎1. 已知向量m＝(1，1)与向量n＝(x，2－2x)垂直，则x＝________．‎ 答案：2‎ 解析：m·n＝x＋(2－2x)＝2－x.∵ m⊥n，∴ m·n＝0，即x＝2.‎ ‎2. 用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应为______________．‎ 答案：＝或< 解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即＝或<.‎ ‎3. －2与－的大小关系是______________．‎ 答案：－2>－ 解析： 由分析法可得，要证－2>－，只需证＋>＋2，即证13＋2>13＋4，即>2.因为42>40，所以－2>－成立．‎ ‎4. 定义集合运算：A·B＝{ | ＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A·B的所有元素之和为________．‎ 答案：0‎ 解析：依题意知α≠ π＋， ∈ .‎ ‎① α＝ π＋( ∈ )时，B＝，‎ A·B＝；‎ ‎② α＝2 π或α＝2 π＋( ∈ )时，B＝{0，1}，A·B＝{0，1，－1}；‎ ‎③ α＝2 π＋π或α＝2 π－( ∈ )时，B＝{0，－1}，A·B＝{0，1，－1}；‎ ‎④ α≠且α≠ π＋( ∈ )时，B＝{sin α，cos α}，A·B＝{0，sin α，cos α，－sin α，－cos α}．‎ 综上可知，A·B中的所有元素之和为0.‎ ‎5. 设a，b为两个正数，且a＋b＝1，则使得＋≥μ恒成立的μ的取值范围是________．‎ 答案：(－∞，4]‎ 解析：∵ a＋b＝1，且a，b为两个正数，∴ ＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.要使得＋≥μ恒成立，只要μ≤4.‎ ‎1. 直接证明 ‎(1) 定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．‎ ‎(2) 一般形式 ⇒A⇒B⇒C⇒…⇒本题结论．‎ ‎(3) 综合法 ‎① 定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．‎ ‎② 推证过程 ⇒…⇒…⇒ ‎(4) 分析法 ‎① 定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止．这种证明方法称为分析法．‎ ‎② 推证过程 ⇐…⇐…⇐ ‎2. 间接证明 ‎(1) 常用的间接证明方法有反证法、正难则反等．‎ ‎(2) 反证法的基本步骤 ‎① 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．‎ ‎② 归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．‎ ‎③ 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.‎ ‎,　　　　　　　　　1　直接证明(综合法和分析法))‎ ‎,　　　　　1)　对于定义域为[0，1]的函数f(x)，如果同时满足：‎ ‎① 对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；‎ ‎② f(1)＝1；‎ ‎③ 若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．‎ ‎(1) 若函数f(x)为理想函数，求证：f(0)＝0；‎ ‎(2) 试判断函数f(x)＝2x(x∈[0，1])，f(x)＝x2(x∈[0，1])，f(x)＝(x∈[0，1])是否为理想函数？‎ ‎(1) 证明：取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，∴ f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴ f(0)≤0.‎ 又对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0，∴ f(0)≥0.于是f(0)＝0.‎ ‎(2) 解：对于f(x)＝2x，x∈[0，1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，‎ ‎∴ f(x)＝2x(x∈[0，1])不是理想函数．‎ 对于f(x)＝x2，x∈[0，1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.对任意的x1，x2∈[0，1]，x1＋x2≤1，‎ f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x－x＝2x1x2≥0，即f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．‎ ‎∴ f(x)＝x2(x∈[0，1])是理想函数．‎ 对于f(x)＝(x∈[0，1])，显然满足条件①②.‎ 对任意的x1，x2∈[0，1]，x1＋x2≤1，‎ 有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2＋x2)＝－2≤0，‎ 即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.‎ ‎∴ f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.‎ ‎∴ f(x)＝(x∈[0，1])不是理想函数．‎ 综上，f(x)＝x2(x∈[0，1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0，1])与f(x)＝(x∈[0，1])不是理想函数．‎ 设首项为a1的正项数列{an}的前n项和为Sn，q为非零常数，已知对任意正整数n，m，Sn＋m＝Sm＋qmSn总成立．求证：数列{an}是等比数列．‎ 证明：因为对任意正整数n，m，Sn＋m＝Sm＋qmSn总成立，令n＝m＝1，得S2＝S1＋qS1，则a2＝qa1.令m＝1，得Sn＋1＝S1＋qSn　①， 从而Sn＋2＝S1＋qSn＋1　②，②－①得an＋2＝qan＋1(n≥1)，综上得an＋1＝qan(n≥1)，所以数列{an}是等比数列．‎ ‎,　　　　　2)　已知m>0，a，b∈R，求证：≤.‎ 证明：因为m>0，所以1＋m>0，所以要证原不等式成立，‎ 只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，‎ 即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，‎ 故原不等式得证．‎ 变式训练 已知函数f(x)＝3x－2x，试求证：对于任意的x1，x2∈R，均有≥f.‎ 证明：要证明≥f，‎ 只要证明≥3－2·，‎ 因此只要证明－(x1＋x2)≥3－(x1＋x2)，‎ 即证明≥3，‎ 因此只要证明≥，‎ 由于x1，x2∈R时，3x1>0，3x2>0, ‎ 由基本不等式知≥显然成立，故原结论成立．‎ ‎,　　　　　　　　　2　间接证明(反证法))‎ ‎,　　　　　3)　设{an}是公比为q的等比数列．‎ ‎(1) 推导{an}的前n项和公式；‎ ‎(2) 设q≠1，求证：数列{an＋1}不是等比数列．‎ ‎(1) 解：设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，‎ 因为{an}是公比为q的等比数列，所以当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1.当q≠1时，‎ Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，　①‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，　②‎ ‎①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，‎ 所以Sn＝，所以Sn＝ ‎(2) 证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的 ∈N ，‎ ‎(a ＋1＋1)2＝(a ＋1)(a ＋2＋1)，a＋2a ＋1＋1＝a a ＋2＋a ＋a ＋2＋1，‎ aq2 ＋‎2a1q ＝a1q －1·a1q ＋1＋a1q －1＋a1q ＋1，‎ 因为a1≠0，所以2q ＝q －1＋q ＋1.因为q≠0，所以q2－2q＋1＝0，‎ 所以q＝1，这与已知矛盾．所以假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．‎ 变式训练 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.‎ ‎(1) 求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2) 求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．‎ ‎(1) 解：当n＝1时，a1＋S1＝‎2a1＝2，则a1＝1.‎ 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，‎ 两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.‎ ‎(2) 证明：反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(pc恒成立．而a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥16，∴ c<16.又>，>，∴ <＋＝1，∴ c>10，∴ 100，求证：－≥a＋－2.‎ 证明：要证－≥a＋－2，只需要证＋2≥a＋＋.‎ 因为a>0，故只需要证≥，‎ 即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，‎ 从而只需要证2≥，只需要证4≥2，‎ 即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．‎ ‎4. 若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1) 由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为直线x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，‎ 即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.因为b>1，所以b＝3.‎ ‎(2) 假设函数h(x)＝在区间[a，b] (a>－2)上是“四维光军”函数，‎ 因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，‎ 所以有即解得a＝b，这与已知矛盾，故不存在．‎ ‎1. 用反证法证明结论“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”，应假设______________．‎ 答案：三角形的三个内角都大于60°‎ 解析：“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”，其否定为“三角形的三个内角都大于60°”．‎ ‎2. 凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f.已知函数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．‎ 答案： 解析：∵ f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，且A，B，C∈(0，π)，∴ ≤f＝f，‎ 即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝，‎ ‎∴ sin A＋sin B＋sin C的最大值为.‎ ‎3. 定义：若存在常数 ，使得对定义域D内的任意两个x1，x2(x1≠x2)，均有|f(x1)－f(x2)|≤ |x1－x2| 成立，则称函数f(x)在定义域D上满足利普希茨条件．若函数f(x)＝(x≥1)满足利普希茨条件，则常数 的最小值为________．‎ 答案： 解析：若函数f(x)＝(x≥1)满足利普希茨条件，则存在常数 ，使得对定义域[1，＋∞)内的任意两个x1，x2(x1≠x2)，均有|f(x1)－f(x2)|≤ |x1－x2| 成立，设x1>x2，则 ≥＝.而0<<，所以 的最小值为.‎ ‎4. 设函数f(x)＝x3＋，x∈[0，1]．求证：‎ ‎(1) f(x)≥1－x＋x2；‎ ‎(2) ＜f(x)≤.‎ 证明：(1) 因为1－x＋x2－x3＝＝，由于x∈[0，1]，有≤，即1－x＋x2－x3≤，所以f(x)≥1－x＋x2.‎ ‎(2) 由0≤x≤1得x3≤x，故f(x)＝x3＋≤x＋＝x＋－＋＝＋≤，所以f(x)≤.由(1)得f(x)≥1－x＋x2＝＋≥，又f＝＞，‎ 所以f(x)＞.‎ 综上，＜f(x)≤.‎ ‎5. 已知数列{an}满足a1＝，＝，anan＋1<0(n≥1)，数列{bn}满足bn＝a－a(n≥1)．‎ ‎(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2) 求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．‎ ‎(1) 解：由题意可知，1－a＝(1－a)．‎ 令cn＝1－a，则cn＋1＝cn.‎ 又c1＝1－a＝，则数列{cn}是首项为，公比为的等比数列，即cn＝·.‎ 故1－a＝·⇒a＝1－·.‎ 又a1＝>0，anan＋1<0，‎ 故an＝(－1)n－1.‎ bn＝a－a ‎＝－ ‎＝·.‎ ‎(2) 证明：用反证法证明．‎ 假设数列{bn}中存在三项br，bs，bt(rbs>bt，则只能有2bs＝br＋bt成立．‎ 即2·＝＋，‎ 两边同乘3t－121－r，‎ 化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s.‎ 由于r

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