四川省南充高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题

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四川省南充高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题

南充高中2019-2020学年度下期 高2018级期中考试数学试卷(文)‎ ‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1、已知是虚数单位,则复数的虚部是( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎2、右图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a所表示的数是( )    A. 5 B. 4 C. 6 D. 9‎ ‎3、点的极坐标是,则在以极点为原点,极轴为轴正半轴的平面直角坐标系中,点的直角坐标是( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎4、已知数列满足,若,则( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎5、已知命题,则命题的否定为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6、在三棱锥中,,且两两互相垂直,则三棱锥的外接球的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7、阅读如图的框图,运行相应的程序,若输入的值为6,则输出 的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8、已知是所在平面内一点,,现将一粒黄豆随机撒在内,则黄豆落在内的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9、过抛物线的焦点的直线交该抛物线于,两点,若两点的横坐标之和为3,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10、已知偶函数的定义域为,其导函数为,当时,有成立,则关于的不等式的解集为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11、已知离心率为2的双曲线的左、右焦点分别为,直线与双曲线在第一象限的交点为,的角平分线与交于点,若,则的值是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、已知函数,若时,恒有,则的最大值为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13、相关变量的样本数据如表:经回归分析可得与线性相关,并由最小二乘法求得回归直线方程为,则=______. ‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎20‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎14、函数的图象在处的切线方程为,则  ,     .‎ ‎15、已知是直线上的动点,是圆的两条切线,是切点,是圆心,若四边形的面积的最小值为,则的值为 .‎ ‎16、已知函数,若关于的方程有四个不相等的实数根,则实数的取值范围是 。‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17、(10分)已知命题不等式的解集是. 命题函数在定义域内是增函数. 若为真命题,为假命题,求实数的取值范围.‎ ‎18、(12分)目前,新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐,为了解新冠肺炎传播途径,采取有效防控措施,某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息,数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期不高于平均数的患者,称为“短潜伏者”,潜伏期高于平均数的患者,称为“长潜伏者”.‎ ‎(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数;‎ ‎(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样,从上述500名患者中抽取300人,得到如下表格.‎ ‎(i)请将表格补充完整;‎ 短潜伏者 长潜伏者 合计 ‎60岁及以上 ‎90‎ ‎60岁以下 ‎140‎ 合计 ‎300‎ ‎(ii)研究发现,某药物对新冠病毒有一定的抑制作用,现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验,再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验,求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率.‎ ‎19、(12分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,为的中点,底面,.‎ (1) 求证:平面;‎ (2) 求点到平面的距离. ‎ ‎20、(12分)在直角坐标系中,已知直线过点.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)求的直角坐标方程; (2)若与交于两点,求的最大值.‎ ‎21、(12分)已知椭圆经过点与两点.‎ (1) 求椭圆的方程;‎ (2) 过原点的直线与椭圆交于两点(不与椭圆的顶点重合), 椭圆上一点满足. 求证:为定值.‎ ‎22、(12分)已知函数,.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)设函数,若对任意,恒有,求的取值范围.‎ ‎ ‎ 试卷答案(文科)‎ 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D C A D C A C B C D D C 二、填空题 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎5‎ ‎3‎ 三、解答题 ‎17 解:若命题为真命题,则,解得;‎ 若命题为真命题,则,.‎ 因为 为真命题,为假命题,‎ 所以两命题一真一假 (1) p真q假,则,‎ (2) p假q真,则,‎ 综上所述,的取值范围是.‎ ‎18 (1)平均数 ‎. ‎ ‎“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5‎ 所以500人中“长潜伏者”的人数为人 ‎(2)(i)由题意补充后的表格如图:‎ 短潜伏者 长潜伏者 合计 ‎60岁及以上 ‎90‎ ‎70‎ ‎160‎ ‎60岁以下 ‎60‎ ‎80‎ ‎140‎ 合计 ‎150‎ ‎150‎ ‎300‎ ‎(ii)由分层抽样知7人中,“短潜伏者”有3人,记为,“长潜伏者”有4人,记为D,E,F,G, ‎ 从中抽取2人,共有,,,,,,,‎ ‎,,,,,,,,,‎ ‎,,,,,‎ 共有21种不同的结果,两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果. ‎ 所以所求概率.‎ ‎19 解:(1)证明:∵,∴.‎ ‎∵四边形是矩形,所以,‎ 由 ,∴.‎ ‎,为的中点,∴‎ 由 . ‎ (2) 设点到平面的距离为.‎ 由(1)知平面 ‎ (*)‎ ‎,‎ ‎∴‎ 所以(*)为,解得.‎ 20. ‎ (1)将方程两边同时乘以,‎ 得 ‎∵‎ ‎∴,即 所以曲线的直角坐标方程为.‎ (2) 设直线的倾斜角为,∵直线与抛物线有两个交点,所以 ‎∴直线的参数方程为,将其代入,‎ 得 设两点对应的参数分别是,则 由于,∴一正一负 于是 ‎∴当时,的最大值为 ‎21 (1)将与代入椭圆方程,得,解得,‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)∵直线过原点,所以两点关于原点对称.‎ ‎∵,∴在线段的中垂线上.‎ ‎∵不与椭圆的顶点重合,所以直的斜率存在且不为0,设其为.‎ 所以直线的方程为,由 所以 ,∴‎ 又直线,同理可得,‎ ‎22 解:(1),‎ ‎①当时,,;‎ ‎∴上单调递减,在上单调递增;‎ ‎②当时,,∴在上单调递增;‎ ‎③当时,,,‎ ‎,∴上单调递增,在上单调递减;‎ ‎④当时,,,‎ ‎,∴上单调递增,在上单调递减;‎ ‎ ‎ ‎(2),‎ 若,则恒成立,在上递增,‎ ‎,与已知不符合,舍去,所以 时,,‎ ‎∴在上单调递增,在上单调递减,‎ ‎∴‎ ‎∵时,恒有 ‎∴所以只需,即 设,‎ 则,所以在上单调递减 又,所以使得的.‎
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