数学卷·2018届广东省珠海市高二上学期期末数学试卷（理科）（a卷） （解析版）

数学卷·2018届广东省珠海市高二上学期期末数学试卷（理科）（a卷） （解析版）

‎2016-2017学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　）‎ A．￢p：∃x0∈A，2x0∈B B．￢p：∃x0∉A，2x0∈B C．￢p：∃x0∈A，2x0∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B ‎2．下列命题错误的是（　　）‎ A．命题“若lgx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则lgx≠0”‎ B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 C．命题p：∃x0∈R，使得sinx0＞1，则￢p“∀x∈R，均有sinx≤1‎ D．“x＞2”是“＜”的充分不必要条件 ‎3．已知，，若，则常数m=（　　）‎ A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9‎ ‎4．在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=400，则a2+a8=（　　）‎ A．40 B．80 C．160 D．320‎ ‎5．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设两点A、B的坐标为A（﹣1，0）、B（1，0），若动点M满足直线AM与BM的斜率之积为﹣2，则动点M的轨迹方程为（　　）‎ A．x2﹣=1 B．x2﹣=1（x≠±1）‎ C．x2+=1 D．x2+=1（x≠±1）‎ ‎7．在等比数列{an}中，若a6=6，a9=9，则a3为（　　）‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎8．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（　　）‎ A．1+++…+=2﹣ B． ++…+＜1‎ C． ++…+=1 D． ++…+＞1‎ ‎9．若m＜n，p＜q，且（p﹣m）（p﹣n）＜0，（q﹣m）（q﹣n）＜0，则m，n，p，q从小到大排列顺序是（　　）‎ A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜q＜n C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜n＜q ‎10．△ABC的三边长分别是a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的面积为（　　）‎ A．25π B．5π C． D．‎ ‎11．已知lg（x+y）=lgx+lgy，则x+y的取值范围是（　　）‎ A．（0，1] B．[2，+∞） C．（0，4] D．[4，+∞）‎ ‎12．已知P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+S△IF1F2成立，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A．4 B． C．2 D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎13．已知抛物线的方程为y=ax2，且经过点（1，4），则焦点坐标为　　．‎ ‎14．已知关于x的不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集为P，若1∉P，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎15．如图，某农户计划在自家后院，背靠院墙用篱笆围出一块约8m2的矩形空地用来养鸡，所需篱笆总长度最小为　　m．‎ ‎16．若命题：“∀x∈R，ax2﹣ax﹣1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎17．已知点P在圆x2+y2=1运动，点M的坐标为M（2，0），Q为线段PM的中点，则点Q的轨迹方程为　　．‎ ‎18．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为　　．‎ ‎19．四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG=2GD， =， =， =，用基底{，， }表示向量=　　．‎ ‎20．定义：为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}通项公式为an=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，每小题10分，共50分）‎ ‎21．（10分）已知△ABC中，点D为BC中点，AB=2，AC=4．‎ ‎（1）若B=，求sinA；‎ ‎（2）若AD=，求BC．‎ ‎22．（10分）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要运送不少于900人从甲地去乙地的旅客，并于当天返回，为使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？营运成本最小为多少元？‎ ‎23．（10分）数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．‎ ‎（1）求c的值；‎ ‎（2）求{an}的通项公式；‎ ‎（3）设数列的前n项之和为Tn，求Tn．‎ ‎24．（10分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．‎ ‎（1）求证：A1D⊥DC；‎ ‎（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；‎ ‎（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1‎ BC？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．‎ ‎25．（10分）过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；‎ ‎（3）当点P异于点B时，求证： •为定值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　）‎ A．￢p：∃x0∈A，2x0∈B B．￢p：∃x0∉A，2x0∈B C．￢p：∃x0∈A，2x0∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】命题p是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词变化．‎ ‎【解答】解：命题p∈A，2x∈B是全称命题，‎ 否定时将量词对任意的x变为∃x，再将不等号∈变为∉即可，‎ 即为：￢p：∃x0∈A，2x0∉B，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化．属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．下列命题错误的是（　　）‎ A．命题“若lgx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则lgx≠0”‎ B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 C．命题p：∃x0∈R，使得sinx0＞1，则￢p“∀x∈R，均有sinx≤1‎ D．“x＞2”是“＜”的充分不必要条件 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】写出原命题的逆否命题，可判断A；根据复合命题真假判断的真值表，可判断B；写出原命题的否定命题，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．‎ ‎【解答】解：命题“若lgx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则lgx≠‎ ‎0”，故A正确；‎ 若p∧q为假命题，则p，q存在假命题，但不一定均为假命题，故B错误；‎ 命题p：∃x0∈R，使得sinx0＞1，则￢p“∀x∈R，均有sinx≤1，故C正确；‎ ‎“＜”⇔“x＞2，或x＜0”，故“x＞2”是“＜”的充分不必要条件，故D正确；‎ 故选：B ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，复合命题，充要条件，特称命题等知识点，难度中档．‎ ‎　‎ ‎3．已知，，若，则常数m=（　　）‎ A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9‎ ‎【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．‎ ‎【分析】根据时， •=0，列出方程求出m的值．‎ ‎【解答】解：，，‎ 当时， •=0，‎ 即﹣3×1+2m+5×3=0，‎ 解得m=﹣6．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了空间向量的数量积的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎4．在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=400，则a2+a8=（　　）‎ A．40 B．80 C．160 D．320‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】运用等差数列的性质，求得a5=80，即可得到所求．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=400，‎ 由a3+a7=a2+a8=2a5，‎ 可得5a5=400，a5=80，‎ 则a2+a8=160，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．‎ ‎【解答】解：如图 先将F1D平移到AF，再平移到E1E，‎ ‎∠EE1B为BE1与DF1所成的角 设边长为4则，E1E=E1B=，BE=2‎ cos∠EE1B=，故选A ‎【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．设两点A、B的坐标为A（﹣1，0）、B（1，0），若动点M满足直线AM与BM的斜率之积为﹣2，则动点M的轨迹方程为（　　）‎ A．x2﹣=1 B．x2﹣=1（x≠±1）‎ C．x2+=1 D．x2+=1（x≠±1）‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】由题意可得：设M（x，y），写出直线AM与直线BM的斜率分别为，，结合题意得到x与y的关系，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得：设M（x，y），‎ 所以直线AM与直线BM的斜率分别为，，x≠±1．‎ 因为直线AM与直线BM的斜率之积为﹣2，‎ 所以•=﹣2，化简得：x2+=1．x≠±1‎ 所以动点M的轨迹E的方程为x2+=1（x≠±1）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查求曲线轨迹方程的方法，注意x的范围，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．在等比数列{an}中，若a6=6，a9=9，则a3为（　　）‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由已知结合等比数列的性质求解．‎ ‎【解答】解：在等比数列{an}中，由a6=6，a9=9，‎ 得．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎8．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（　　）‎ A．1+++…+=2﹣ B． ++…+＜1‎ C． ++…+=1 D． ++…+＞1‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，但累加和小于1，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎∵++…+=1﹣＜1，‎ 故反映这个命题本质的式子是++…+＜1，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是等比数列的前n项和公式，数列的应用，难度中档．‎ ‎　‎ ‎9．若m＜n，p＜q，且（p﹣m）（p﹣n）＜0，（q﹣m）（q﹣n）＜0，则m，n，p，q从小到大排列顺序是（　　）‎ A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜q＜n C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜n＜q ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】把p、q看成变量，则由（q﹣m）（q﹣n）＜0，知m，n一个大于q，一个小于q．由m＜n，知m＜q＜n；由（p﹣m）（p﹣n）＜0，知m，n一个大于p，一个小于p，由m＜n，知m＜p＜n．由p＜q，知m＜p＜q＜n．‎ ‎【解答】解：∵（q﹣m）（q﹣n）＜0，‎ ‎∴m，n一个大于q，一个小于q．‎ ‎∵m＜n，‎ ‎∴m＜q＜n．‎ ‎∵（p﹣m）（p﹣n）＞0，‎ ‎∴m，n一个大于p，一个小于p．‎ ‎∵m＜n，‎ ‎∴m＜p＜n．‎ ‎∵p＜q，‎ ‎∴m＜p＜q＜n．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查不等式大小的比较，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎10．△ABC的三边长分别是a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的面积为（　　）‎ A．25π B．5π C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用三角形面积公式可求c的值，进而利用余弦定理可求b的值，再利用正弦定理可求三角形外接圆的半径，利用圆的面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵S△ABC=2，a=1，B=45°，‎ ‎∴acsinB==2，解得：c=4，‎ ‎∴由余弦定理可得：b===5，‎ ‎∴2R=，‎ ‎∴S外接圆=πR2=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．已知lg（x+y）=lgx+lgy，则x+y的取值范围是（　　）‎ A．（0，1] B．[2，+∞） C．（0，4] D．[4，+∞）‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】化简构造基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：由题意，lg（x+y）=lgx+lgy，得lg（x+y）=lg（xy）∴x+y=xy，且x＞0，y＞0．‎ ‎∴y=＞0，‎ ‎∴x＞1‎ 那么：x+y=x+=（x﹣1）++2≥=4‎ 当且仅当x=2时取等号．‎ ‎∴x+y的取值范围是[4，+∞），‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了“对数的运算”和构造基本不等式的性质的运用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．已知P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+S△IF1F2成立，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A．4 B． C．2 D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据题意作出示意图，如图所示，利用平面几何的知识利用三角形面积公式，代入已知式S△IPF1=S△IPF2+S△IF1F2，化简可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、‎ PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，‎ 则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，‎ 它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，‎ ‎∴S△IPF1=|PF1|•|IF|=|PF1|r，‎ S△IPF2=|PF2|•|IG|=|PF2|r，‎ S△IF1F2=|F1F2|•|IE|=|F1F2|r，‎ 其中r是△PF1F2的内切圆的半径．‎ ‎∵S△IPF2=S△IPF1﹣S△IF1F2，‎ ‎∴|PF2|=|PF1|﹣|F1F2|，‎ 两边约去得：|PF2|=|PF1|﹣|F1F2|，‎ ‎∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|‎ 根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，‎ ‎∴2a=c⇒离心率为e==．‎ 故选B．‎ ‎【点评】‎ 本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎13．已知抛物线的方程为y=ax2，且经过点（1，4），则焦点坐标为　（0，）　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用点的坐标满足方程求出a，化简抛物线方程，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线的方程为y=ax2，且经过点（1，4），可得a=4，抛物线的标准方程为：x2=y，则焦点坐标为：（0，）．‎ 故答案为：（0，）．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．已知关于x的不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集为P，若1∉P，则实数a的取值范围为　（1，2）　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法；其他不等式的解法．‎ ‎【分析】根据题意，1∉P时（1﹣a）（1+1﹣a）＜0成立，求出解集即可．‎ ‎【解答】解：不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集为P，‎ 当1∉P时，（1﹣a）（1+1﹣a）＜0，‎ 即（a﹣1）（a﹣2）＜0，‎ 解得1＜a＜2；‎ 所以实数a的取值范围是（1，2）．‎ 故答案为：（1，2）．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎15．如图，某农户计划在自家后院，背靠院墙用篱笆围出一块约8m2的矩形空地用来养鸡，所需篱笆总长度最小为　8　m．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】设矩形的长为：x，宽为：y，则xy=8，且x＞0，y＞0，篱笆总长度为L=x+2y利用基本不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：设矩形的长为：x，宽为：y，则xy=8，且x＞0，y＞0，篱笆总长度为L=x+2y≥2=8，当且仅当x=2y=4时取等号；篱笆总长度最小为：8m．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查函数的实际问题的应用，基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎16．若命题：“∀x∈R，ax2﹣ax﹣1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是　[﹣4，0]　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据全称命题的性质及一元二次不等式的性质，分类进行求解即可．‎ ‎【解答】解：当a=0时，﹣1≤0 成立；‎ 当a≠0时，则⇒﹣4≤a＜0‎ 综上：实数a的取值范围是[﹣4，0]‎ 故答案为：[﹣4，0]．‎ ‎【点评】本题主要考查命题的真假应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键，同时考查了分类讨论思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎17．已知点P在圆x2+y2=1运动，点M的坐标为M（2，0），Q为线段PM的中点，则点Q的轨迹方程为　（x﹣1）2+y2=　．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】本题宜用代入法求轨迹方程，设Q（x，y），P（a，b），由中点坐标公式得到a=2x﹣2，b=2y，代入x2+y2‎ ‎=16到Q（x，y）点的坐标所满足的方程，整理即得点Q的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设Q（x，y），P（a，b）‎ ‎ 由M（2，0），Q为线段PM的中点 ‎ 故有a=2x﹣2，b=2y 又P为圆x2+y2=1上一动点，‎ ‎∴（2x﹣2）2+（2y）2=16，‎ 整理得（x﹣1）2+y2=，‎ 故Q的轨迹方程是（x﹣1）2+y2=．‎ 故答案为：（x﹣1）2+y2=．‎ ‎【点评】本题的考点是轨迹方程，考查用代入法求支点的轨迹方程，代入法适合求动点与另外已知轨迹方程的点有固定关系的点的轨迹方程，用要求轨迹方程的点的坐标表示出已知轨迹方程的点的坐标，再代入已知的轨迹方程，从而求出动点的坐标所满足的方程．‎ ‎　‎ ‎18．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为　y=±2x　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：∵焦点F（c，0）到渐近线y=x的距离等于实轴长，‎ ‎∴=2a，‎ ‎∴b=2a，‎ 即有双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 即为y=±2x．‎ 故答案为：y=±2x．‎ ‎【点评】‎ 本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线的求法，通过a，b，c的比例关系，可以求渐近线方程，也可以求离心率．‎ ‎　‎ ‎19．四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG=2GD， =， =， =，用基底{，， }表示向量=　　．‎ ‎【考点】平行向量与共线向量．‎ ‎【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出．‎ ‎【解答】解： ====+=+=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．定义：为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}通项公式为an=　6n﹣4　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】设数列{an}的前n项和为 sn，由已知可得，可求得sn，再利用 an=sn﹣sn﹣1求得通项 ‎【解答】解：设数列{an}的前n项和为 sn，‎ 由已知可得，‎ ‎∴，‎ 当n≥2时，；‎ 当n=1时，a1=s1=2适合上式，‎ ‎∴an=6n﹣4．‎ 故答案为：6n﹣4‎ ‎【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，利用an与Sn的关系是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，每小题10分，共50分）‎ ‎21．（10分）（2016秋•珠海期末）已知△ABC中，点D为BC中点，AB=2，AC=4．‎ ‎（1）若B=，求sinA；‎ ‎（2）若AD=，求BC．‎ ‎【考点】三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】（1）若B=，求出sinC，cosC，即可求sinA；‎ ‎（2）若AD=，利用余弦定理建立方程，即可求BC ‎【解答】解：（1）由正弦定理，可得sinC==，‎ ‎∵0＜C＜π，‎ ‎∴cosC=，‎ ‎∴sinA=sin（B+C）==；‎ ‎（2）设BC=2x，在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=，‎ ‎△ACD中，由余弦定理可得cos∠ADC=，‎ ‎∴=﹣，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴BC=2．‎ ‎【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查方程思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2016秋•珠海期末）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要运送不少于900人从甲地去乙地的旅客，并于当天返回，为使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？营运成本最小为多少元？‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】设应配备A型车、B型车各x辆，y辆，营运成本为z元；从而可得；z=1600x+2400y；利用线性规划求解．‎ ‎【解答】解：设应配备A型车、B型车各x辆，y辆，营运成本为z元；‎ 则由题意得，；z=1600x+2400y；‎ 故作平面区域如下，‎ 故联立，解得，x=5，y=12；‎ 此时，z=1600x+2400y有最小值1600×5+2400×12=36800元．‎ 答：应配备A型车5辆、B型车12辆，营运成本最小，36800元．‎ ‎【点评】本题考查线性规划的应用，列出约束条件画出可行域，求解目标函数的最值是解题的关键，考查数形结合以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2012•广州一模）数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．‎ ‎（1）求c的值；‎ ‎（2）求{an}的通项公式；‎ ‎（3）设数列的前n项之和为Tn，求Tn．‎ ‎【考点】等比数列的性质；数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）先根据a1=2，an+1=an+cn，令n=2得到a2，令n=3得到a3．因为a1，a2，a3成等比数列，所以a22=a1•a3，代入即可求出c的值；（2）当n≥2时，a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，…，an﹣an﹣1=（n﹣1）c，等号左边相加等于等号右边相加，并根据等差数列的前n项和的公式得到an即可；‎ ‎（3）设．然后列举出Tn的各项得①，都乘以得Tn②，利用①﹣②即可得到Tn的通项．‎ ‎【解答】解：（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c．‎ ‎∵a1，a2，a3成等比数列，‎ ‎∴（2+c）2=2（2+3c），‎ 解得c=0或c=2．‎ ‎∵c≠0，∴c=2．‎ ‎（2）当n≥2时，由于a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，an﹣an﹣1=（n﹣1）c，‎ ‎∴an﹣a1=[1+2+…+（n﹣1）]c=．‎ 又a1=2，c=2，故有an=2+n（n﹣1）=n2﹣n+2（n=2，3，）．‎ 当n=1时，上式也成立．‎ ‎∴an=n2﹣n+2（n=1，2）．‎ ‎（3）令．Tn=b1+b2+b3+…+bn=0++2×+3×+…+（n﹣1）①‎ Tn=0++2×+…+（n﹣2）+（n﹣1）②‎ ‎①﹣②得．‎ ‎【点评】考查学生灵活运用等比数列性质的能力，灵活运用等差数列的前n项和公式求数列的通项公式，会利用错位相减法求数列的通项．以及灵活运用数列递推式解决数学问题．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2016秋•珠海期末）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．‎ ‎（1）求证：A1D⊥DC；‎ ‎（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；‎ ‎（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）由题意知EA1，EB，ED两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1D⊥DC．‎ ‎（2）求出平面A1BE的一个向量和平面A1BC的一个法向量，利用向量法能求出二面角E﹣A1B﹣C的余弦值．‎ ‎（3）设=λ（0≤λ≤1），===（﹣2，2λ，0），求出平面A1DP的法向量和平面A1BC法向量，利用向量法能求出在线段EB上存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．‎ ‎【解答】证明：（1）∵在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，‎ 将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．‎ ‎∴由题意知EA1，EB，ED两两垂直，建立空间直角坐标系，‎ 由题意得DE=2，从而A1（2，0，0），B（0，2，0），C（0，4，2），D（0，0，2），‎ ‎∴=（﹣2，0，2），=（0，4，0），‎ ‎∵•=0，∴A1D⊥DC．‎ 解：（2）平面A1BE的一个向量=（0，0，1），‎ ‎=（2，﹣2，0），=（0，2，2），‎ 设平面A1BC的一个法向量为=（x，y，z），‎ 则，令z=1，则=（﹣，﹣，1），‎ ‎∴cos＜＞==，‎ ‎∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣．‎ ‎（3）若存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，‎ 设=λ（0≤λ≤1），===（﹣2，2λ，0），‎ ‎=（﹣2，0，2），‎ 设平面A1DP的法向量=（a，b，c），‎ 则，令c=λ，则=（），‎ 则平面A1BC法向量=（﹣，1），‎ ‎∵平面A1DP⊥平面A1BC，‎ ‎∴=﹣3λ﹣3+λ=0，‎ 解得λ=﹣，与0≤λ≤1矛盾，‎ ‎∴在线段EB上存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．‎ ‎【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2016秋•珠海期末）过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；‎ ‎（3）当点P异于点B时，求证： •为定值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的方程．‎ ‎（2）椭圆的右焦点为（，0），直线l的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程化简，得，由此能求出|CD|．‎ ‎（3）当直线l与x轴垂直时，与题意不符．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+，（k≠0，且k≠），代入椭圆方程，化简得（2k2+1）x2+4=0，求出D（），从而得到kBD，进而求出直线BD的方程，再由直线AC的方程联立，求出Q（﹣2，2k+），由l方程得P（﹣，0），由此能证明•为定值．‎ ‎【解答】解：（1）∵过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，‎ ‎∴，解得a=2，b=，c=，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）椭圆的右焦点为（，0），‎ 此时直线l的方程为y=﹣x+，‎ 代入椭圆方程化简，得，‎ 解得，‎ 代入直线l的方程，得，y2=﹣，‎ ‎∴|CD|==．‎ 证明：（3）当直线l与x轴垂直时，‎ ‎∵椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），∴AC∥BD，与题意不符．‎ 设直线l的方程为y=kx+，（k≠0，且k≠），‎ 代入椭圆方程，化简得（2k2+1）x2+4=0，‎ 解得，‎ 代入直线l的方程，得，，‎ ‎∴D（），‎ ‎∴kBD===‎ ‎==，‎ ‎∴直线BD的方程为y=（x+2），‎ 又直线AC的方程为，‎ 联立，得，∴Q（﹣2，2k+），‎ 又由l方程得P（﹣，0），‎ ‎∴=（﹣）•（﹣2，2k+）=4‎