2021高考数学一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案文北师大版

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2021高考数学一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案文北师大版

第四节 数系的扩充与复数的引入 ‎[最新考纲] 1.理解复数的概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、减的几何意义.‎ ‎(对应学生用书第91页)‎ ‎1.复数的有关概念 ‎(1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数,若b≠0,则a+bi为虚数,若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数.‎ ‎(2)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c,b=d(a,b,c,d∈R).‎ ‎(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).‎ ‎(4)复数的模:向量的模r叫做复数z=a+bi的模,即|z|=|a+bi|=.‎ ‎2.复数的几何意义 复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b) 平面向量=(a,b).‎ ‎3.复数的运算 ‎(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ‎①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;‎ ‎②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;‎ ‎③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;‎ ‎④除法:===+i(c+di≠0).‎ ‎(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).‎ ‎1.(1±i)2=±2i;=i;=-i.‎ ‎2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).‎ - 7 -‎ ‎3.z·=|z|2=||2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,=,|zn|=|z|n.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)若a∈C,则a2≥0. (  )‎ ‎(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数. (  )‎ ‎(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi. (  )‎ ‎(4)方程x2+x+1=0没有解. (  )‎ ‎[答案](1)× (2)× (3)× (4)×‎ 二、教材改编 ‎1.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为(  )‎ A.-1     B.0‎ C.1 D.-1或1‎ A [∵z为纯虚数,∴∴x=-1.]‎ ‎2.在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是-1-3i,则向量对应的复数是(  )‎ A.1-2i B.-1+2i C.3+4i D.-3-4i D [∵=+=-=-1-3i-2-i=-3-4i,故选D.]‎ ‎3.设复数z满足=i,则|z|等于(  )‎ A.1    B.    C.    D.2‎ A [=i,则z==i,∴|z|=1.]‎ ‎4.已知(1+2i)=4+3i,则z=________.‎ ‎2+i [由(1+2i)=4+3i得===2-i.‎ ‎∴z=2+i.]‎ ‎(对应学生用书第91页)‎ ‎⊙考点1 复数的概念 ‎ 复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)‎ - 7 -‎ 的形式,再根据题意列方程(组)求解.‎ ‎ 1.若复数(m2-m)+mi为纯虚数,则实数m的值为(  )‎ A.-1    B.0    C.1    D.2‎ C [由纯虚数的概念得得m=1,故选C.]‎ ‎2.(2019·长沙模拟)已知i为虚数单位,若复数z=+i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,则a=(  )‎ A.-5 B.-1 ‎ C.- D.- D [z=+i=+i=+i,‎ 因为复数z=+i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,所以-=,解得a=-.故选D.]‎ ‎3.(2019·唐山模拟)已知=2+i,则(z的共轭复数)为(  )‎ A.-3-i B.-3+i C.3+i D.3-i C [由题意得z=(2+i)(1-i)=3-i,‎ 所以=3+i,故选C.]‎ ‎4.设z=+2i,则|z|=(  )‎ A.0 B. ‎ C.1 D. C [法一:因为z=+2i=+2i=-i+2i=i,所以|z|=1,故选C.‎ 法二:因为z=+2i==,所以|z|====1,故选C.]‎ ‎ 解决此类时,一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.‎ ‎⊙考点2 复数的运算 ‎ 复数代数形式运算问题的解题策略 - 7 -‎ ‎(1)复数的加、减、乘法:复数的加、减、乘法类似于多项式的运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.‎ ‎(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式.‎ ‎(1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z=(  )‎ A.-1-i B.-1+i ‎ C.1-i D.1+i ‎(2)计算:=(  )‎ A.2 B.-2 ‎ C.2i D.-2i ‎(3)(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为,若(1-i)=2i(i为虚数单位),则z=(  )‎ A.i B.i-1 ‎ C.-i-1 D.-i ‎(4)[一题多解](2019·武汉调研)已知复数z满足z+|z|=1+i,则z=(  )‎ A.-i B.i ‎ C.1-i D.1+i ‎(1)D (2)A (3)C (4)B [(1)由题意得z===1+i,故选D.‎ ‎(2)===2,故选A.‎ ‎(3)由已知可得===-1+i,则z=-1-i,故选C.‎ ‎(4)法一:设z=a+bi(a,b∈R),则z+|z|=(a+)+bi=1+i,所以解得所以z=i,故选B.‎ 法二:把各选项代入验证,知选项B满足题意.]‎ ‎(1)在只含有z的方程中,z类似于代数方程中的x,可直接求解;‎ ‎(2)在含有z,,|z|中至少两个的复数方程中,可设z=a+bi,a,b∈R,变换方程,利用两复数相等的充要条件得出关于a,b的方程组,求出a,b,从而得出复数z.‎ ‎ 1.(1+i)(2-i)=(  )‎ A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i D [(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.]‎ - 7 -‎ ‎2.对于两个复数α=1-i,β=1+i,有下列四个结论:①αβ=1;②=-i;③=1;④α2+β2=0.其中正确结论的个数为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ C [αβ=(1-i)(1+i)=2,①不正确;===-i,②正确;=|-i|=1,③正确;α2+β2=(1-i)2+(1+i)2=-2i+2i=0,④正确.]‎ ‎3.(2019·贵阳模拟)设i为虚数单位,复数z满足i(z+1)=1,则复数z=(  )‎ A.1+i B.1-i C.-1-i D.-1+i C [由题意,得z=-1=-1-i,故选C.]‎ ‎4.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则=(  )‎ A.1 B.0‎ C.1+i D.1-i D [z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,‎ 则有a2-1=0,a+1≠0,‎ 得a=1,‎ 则有===1-i.]‎ ‎⊙考点3 复数的几何意义 ‎ 与复数几何意义相关的问题的一般解法 第一步,进行简单的复数运算,将复数化为标准的代数形式;‎ 第二步,把复数问题转化为复平面的点之间的关系,依据是复数a+bi与复平面上的点(a,b)一一对应.‎ ‎(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(  )‎ A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1‎ C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1‎ ‎(2)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 - 7 -‎ ‎(3)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(  )‎ A.(-3,1) B.(-1,3)‎ C.(1,+∞) D.(-∞,-3)‎ ‎(1)C (2)C (3)A [(1)设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P,则P(0,1),且|z-i|表示复平面内点Z与点P之间的距离,所以点Z(x,y)到点P(0,1)的距离为定值1,所以Z的轨迹是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,故选C.‎ ‎(2)∵z=-3+2i,∴=-3-2i,‎ ‎∴在复平面内,对应的点为(-3,-2),此点在第三象限.‎ ‎(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m+3,m-1),所以解得-3<m<1,故选A.]‎ ‎ 复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个复数对应的点,只需确定复数的实部和虚部即可.‎ ‎ 1.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1·z2对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D [由已知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,z1z2=1-2i,‎ 它所对应的点为(1,-2),在第四象限.]‎ ‎2.若复数z满足|z-i|≤(i为虚数单位),则z在复平面内所对应的图形的面积为________.‎ ‎2π [设z=x+yi(x,y∈R),由|z-i|≤得|x+(y-1)i|≤,所以≤,所以x2+(y-1)2≤2,所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心,以为半径的圆及其内部,它的面积为2π.]‎ ‎3.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面内对应的点分别为A,‎ - 7 -‎ B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值是________.‎ ‎1 [由条件得=(3,-4),=(-1,2),‎ =(1,-1),‎ 根据=λ+μ得 ‎(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),所以解得所以λ+μ=1.]‎ - 7 -‎
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