2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第七章 第6节第1课时 利用空间向量证明平行与垂直

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第七章 第6节第1课时 利用空间向量证明平行与垂直

www.ks5u.com 多维层次练41‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则(　　)‎ A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α或l∥α D．l与α斜交 解析：因为a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，‎ 所以a·n＝0，即a⊥n，‎ 所以l∥α或l⊂α.‎ 答案：C ‎2．平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　)‎ A．2 B．－4 ‎ C．4 D．－2‎ 解析：因为α∥β，所以两平面的法向量平行，‎ 所以＝＝，所以k＝4.‎ 答案：C ‎3．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)‎ A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 解析：由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，‎ 所以＝－3，所以与共线．‎ ＝(2，0，－2)与不平行，故四点不共线，所以AB∥CD.‎ 答案：B ‎4．设u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t等于(　　)‎ A．3 B．4 ‎ C．5 D．6‎ 解析：因为α⊥β，所以u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，‎ 所以t＝5.‎ 答案：C ‎5.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)‎ A．斜交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面BB1C1C内 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 由于A1M＝AN＝，‎ 则M，N，‎ ＝.‎ 又C1D1⊥平面BB1C1C，‎ 所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．‎ 因为·＝0，‎ 所以⊥，又MN⊄平面BB1C1C，‎ 所以MN∥平面BB1C1C.‎ 答案：B ‎6．(2020·西安调研)已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________．‎ 解析：由条件得 解得x＝，y＝－，z＝4，‎ 所以x＋y＝－＝.‎ 答案： ‎7．(2020·济南质检)已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)‎ ‎，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．‎ 解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 由m·＝0，得x·0＋y－z＝0⇒即y＝z，‎ 由m·＝0，得x－z＝0即x＝z，取x＝1，‎ 所以m＝(1，1，1)，m＝－n，‎ 所以m∥n，所以α∥β.‎ 答案：平行 ‎8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面给出四个命题：‎ ‎①(＋＋)2＝3()2；‎ ‎②·(－)＝0；‎ ‎③与的夹角为60°；‎ ‎④此正方体体积为|··|.‎ 则错误命题的序号是________．‎ 解析：③异面直线AD1与A1B的夹角为60°，但与的夹角为120°，注意方向．‎ ‎④因为·＝0，正确的应是||·||·||.‎ 答案：③④‎ ‎9．(2020·韶关质检)正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.‎ 证明：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．‎ 设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，‎ 于是＝，＝(1，0，1)，‎ ＝(1，1，0)．‎ 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则n·＝0，且n·＝0，得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1.‎ 所以n＝(1，－1，－1)．‎ 又·n＝·(1，－1，－1)＝0，‎ 所以⊥n.‎ 又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.‎ ‎10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．‎ 求证：(1)AE⊥CD；‎ ‎(2)PD⊥平面ABE.‎ 证明：(1)易知AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设PA＝AB＝BC＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1)．‎ 因为∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，所以C，E.‎ 设D(0，y0，0)，由AC⊥CD，得·＝0.‎ 则·＝0，‎ 解得y0＝.‎ 所以D，所以＝.‎ 又＝，‎ 所以·＝－×＋×＋0＝0，‎ 所以⊥，即AE⊥CD.‎ ‎(2)由(1)知＝(1，0，0)，＝.‎ 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则得 令y＝2，则z＝－，所以平面ABE的一个法向量为n＝(0，2，－)．‎ 因为＝，显然＝n，所以∥n，‎ 所以⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎11．如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　)‎ A．(1，1，1) B. C. D. 解析：设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，所以AM∥EO，‎ 又O是正方形ABCD对角线交点，则O为AC中点，‎ 所以M为线段EF的中点．‎ 在空间坐标系C-xyz中，E(0，0，1)，F(，，1)．‎ 由中点坐标公式，知点M的坐标.‎ 答案：C ‎12．(2020·成都十中月考)给出下列命题：‎ ‎①直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量b＝，则l与m垂直；‎ ‎②直线l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α；‎ ‎③平面α、β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β；‎ ‎④平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1.‎ 其中真命题的是_________(把你认为正确命题的序号都填上)．‎ 解析：对于①，因为a＝(1，－1，2)，b＝，‎ 所以a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，‎ 所以a⊥b，‎ 所以直线l与m垂直，①正确；‎ 对于②，a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，‎ 所以a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，‎ 所以a⊥n，所以l∥α或l⊂α，②错误；‎ 对于③，因为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，‎ 所以n1与n2不共线，‎ 所以α∥β不成立，③错误；‎ 对于④，因为点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，‎ 所以＝(－1，1，1)，＝(－1，1，0)，‎ 向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，‎ 所以，即 则u＋t＝1，④正确．‎ 综上，以上真命题的序号是①④.‎ 答案：①④‎ ‎13．(2020·首都师范大学附中模拟)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，点D，E，F分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点．‎ ‎(1)求证：AC1∥平面DEF；‎ ‎(2)求证：平面ACB1⊥平面DEF；‎ ‎(3)在线段AA1上是否存在一点P，使得直线DP与平面ACB1所成的角为30°？如果存在，求出线段AP的长；如果不存在，说明理由．‎ ‎(1)证明：以点C为原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 由题意可得A(2，0，0)，C1(0，0，2)，D(1，0，2)，E(0，1，2)，F(0，2，1)，所以＝(－1，1，0)，＝(0，1，－1)，‎ 设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，‎ 所以即 令x＝1，则n＝(1，1，1)，‎ 又因为＝(－2，0，2)，所以·n＝0，‎ 所以⊥n，‎ 又因为AC1⊄平面DEF，‎ 所以AC1∥平面DEF.‎ ‎(2)证明：设平面ACB1的法向量为m＝(a，b，c)，＝(2，0，0)，＝(0，2，2)，‎ 则m⊥，m⊥，‎ 所以即 令b＝1，则m＝(0，1，－1)，‎ 因为n·m＝0，所以n⊥m，‎ 所以平面ACB1⊥平面DEF.‎ ‎(3)解：设直线DP与平面ACB1所成角为θ，则θ＝30°，‎ 设＝λ，0≤λ≤1，则＝(0，0，2λ)，＝(1，0，2λ－2)，‎ 所以|sin θ|＝＝＝sin 30°＝，‎ 解得λ＝或(舍)．‎ 所以存在符合题意的点P，即AA1的中点，此时AP＝1.‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎14．(2020·福州市联考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点．下列结论中，正确结论的序号是________．‎ ‎①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；‎ ‎②B1D1∥平面EFG；‎ ‎③BD1⊥平面ACB1；‎ ‎④异面直线EF与BD1所成角的正切值为；‎ ‎⑤四面体ACB1D1的体积等于a3.‎ 解析：①正确．因E，F，G为棱AB，AA1，C1D1的中点，设A1D1的中点为M，BB1的中点为N，B1C1的中点为P，连接点M，F，E，N，P，G可得截面为正六边形，所以①正确．‎ ‎②错误．通过以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，求出，面EFG法向量是n1，·n1≠0.‎ ‎③正确．同上建系，求出，平面ACB1的法向量为n2，＝λn2，所以BD1⊥平面ACB1.‎ ‎④正确．同上建系，求出，，设夹角为θ，则cos θ＝，由sin2θ＋cos2θ＝1，tan θ＝，得tan θ＝.‎ ‎⑤错误．同上建系，求出平面AB1C法向量是n3，得D1到平面AB1C距离为d＝，求出S△AB1C，由V＝Sh验证其体积不等于a3，故⑤不正确．‎ 答案：①③④‎