【数学】广东省茂名市2020届高三第二次综合测试（理）（解析版）

【数学】广东省茂名市2020届高三第二次综合测试（理）（解析版）

广东省茂名市2020届高三第二次综合测试（理）‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，23小题，满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎5．考试结束后，请将答题卡上交.‎ 第一部分 选择题(共60分）‎ ‎1. 若，则复数的虚部为（ ）‎ A.2 B‎.1 C. D.-1‎ ‎2．已知集合,，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 已知，且则（ ）‎ A.0 B. C.1 D.‎ ‎4. 下列命题错误的是（ ）‎ A．“x＝‎2”‎是“x2−4x+4＝‎0”‎的充要条件 B．命题“若，则方程x2+x−m＝0有实根”的逆命题为真命题 C．在△ABC中，若“A＞B”，则“sinA＞sinB”‎ D．命题p：“$x0∈R，x02−2x0+4＞‎0”‎，则﹁p：“"x∈R，x2−2x+4＜‎‎0”‎ ‎5. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6. “辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.如图所示一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图. 当输入m=1995，n=228，输出的m是( )‎ A. 3 B. ‎19 C. 57 D. 114‎ ‎7.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为‎8cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设偶函数满足，则使不等式成立的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.圆M:与双曲线（，）的两条渐近线相切于A、B两点，若，则C的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D.‎ ‎10.某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下：‎ ‎(1)若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠；‎ ‎(2)若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠；‎ ‎(3)若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠．‎ 某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：‎ 方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元；‎ 方案二：一次性付款购买.‎ 若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（ ）元 A.540 B‎.620 C.640 D.800‎ ‎11. 已知六棱锥的底面是正六边形，平面，.则下列命题中正确的有( )．‎ ‎①平面PAB⊥平面PAE；‎ ‎②PB⊥AD；‎ ‎③直线CD与PF所成角的余弦值为；‎ ‎④直线PD与平面ABC所成的角为45°;‎ ‎⑤CD∥平面PAE.‎ A. ①④ B. ①③④ C. ②③⑤ D. ①②④⑤‎ ‎12.若关于x的方程在上有唯一实数解，则实数m的取值范围（ ）‎ ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ部分非选择题（共90分）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.‎ ‎13．已知向量，，若()，则 . ‎ ‎14．的展开式中，常数项是 .‎ ‎15.已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则 .‎ ‎16．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，则的a，b的等量关系式为 ，其面积的最大值为 .(本题第一空2分，第二空3分）‎ 三.解答（本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.设，数列的前项和为，已知，且，正项的等差数列的首项为2，且成等比数列.‎ (1) 求和的通项公式；‎ (2) 求证：.‎ ‎18.如图，已知内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，是的中点，‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若四边形为矩形，且四边形所在的平面与圆所在的平面互相垂直，，AE与圆O所在的平面的线面角为600．求二面角D-AE-B的平面角的余弦值.‎ ‎19.已知椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线:相切.‎ ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）若直线：与y轴交点为P，A、B是椭圆上两个动点，它们在y轴两侧,,的平分线与y轴重合，则直线AB是否过定点，若过定点，求这个定点坐标，若不过定点说明理由.‎ ‎20.2020年初全球爆发了新冠肺炎疫情，为了防控疫情，某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品，该产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，根据已经生产的统计数据，绘制了如下的散点图.‎ 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数对两个变量的关系进行拟合。参考数据（其中）：‎ ‎0.41‎ ‎0.1681‎ ‎1.492‎ ‎306‎ ‎20858.44‎ ‎173.8‎ ‎50.39‎ ‎（1）求关于的回归方程，并求y关于u的相关系数（精确到0.01）.‎ ‎（2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为80元，则签订9千件订单的概率为0.7，签订10千件订单的概率为0.3；若单价定为70元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元，根据（1）的结果，要想获得更高利润，产品单价应选择80元还是70元，请说明理由.‎ 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.‎ ‎21. 已知函数，.‎ ‎（1）若,求证：有且只有两个零点 ‎（2）有两个极值点,,且不等式恒成立，试求实数的取值范围.‎ ‎(二)选考部分：共10分 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C: (q为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程，点M().在直线l上，直线l与曲线C交于A，B两点.‎ ‎（1）求曲线C的普通方程及直线l的参数方程；‎ ‎（2）求△OAB的面积.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|−|x−2|.‎ ‎（1）若f(x)≤1，求x的取值范围；‎ ‎（2）若f(x)最大值为M，且a+b+c=M，求证：a2+b2+c2≥3.‎ 参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D C D A C D A A C B A ‎2．【解析】因为，，所以. 故选D.‎ ‎3.【解析】法一：由且，得，‎ 法二：由，所以，‎ 所以.故选C.‎ ‎4.【解析】由 x2−4x+4＝0Û(x−2)2=0Û x−2=0Û x＝2，∴A正确；‎ 命题“若，则方程x2+x−m＝0有实根”的逆命题为命题“若方程x2+x−m＝0有实根，则”， 若方程x2+x−m＝0有实根Þ△=1+‎4m≥0Þ，∴B正确；‎ 在△ABC中，若A＞BÞa＞bÞsinA＞sinB(根据正弦定理)∴C正确,故选D.‎ ‎5.【解析】因为阳数为：1，3，5，7，9；阴数为：2，4，6，8，10，所以从阴数和阳数中各取一数的所有组合共有：个,满足差的绝对值为5的有:(1，6)，(3，8)，(5，10)，(7，2)，（9，4)共5个,则p= 故选A ‎6. 【解析】输入m=2020，n=303，又r=1.‎ ‎①r=1＞0，2020÷303=6··············202，‎ r=202，m=303，n=202；‎ ‎②r=202＞0，303÷202=1············101‎ r=101，m=202，n=101；‎ ‎③r=101＞0，202÷101=2··············0.‎ r=0，m=101，n=0；‎ ‎④r=0，则r＞0否，输出m=101，故选C.‎ ‎7. 【解析】细沙在上部容器时的体积为，流入下部后的圆锥形沙锥底面半径为4，设高为h，则，，‎ 下部圆锥形沙锥的母线长，此沙锥的侧面积.故选D.‎ ‎8. 【解析】易知在上为单调递减，且，由得，，‎ 又因为为偶函数，所以，所以.故选A.‎ A B M o x y ‎9. 【解析】如图所示，,‎ 所示 故选A 10. ‎【解析】【解析】依题意可得，方案一：第一次付款2880元时，因为，所以该款的原价享受了9折优惠，则其原价为元；第二次付款4850元时，因为，所以其原来的价格为元．所以分两次购买饲料的原价为3200+5500=8700元.‎ 方案二：若一次性付款，则应付款为：元，所以节省元. 故选C ‎11.【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，在正六边形ABCDEF中，AB⊥AE，PAAE=A，∴AB⊥平面PAE，且AB面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故①成立；‎ ‎∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴②不成立；‎ ‎∵CD//AF, 直线CD与PF所成角为∠PFA，在Rt△PAF中, ,∴,∴③成立 在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故④成立．‎ ‎∵CD∥AF∥平面PAF，平面PAF平面PAE=PA，∴直线CD∥平面PAE也不成立，即⑤不成立．故选B ‎12.【答案】‎ ‎【解析】设，所以当时，，‎ 此时，由题意得，有唯一实数解，有唯一实数解, 令，由对勾函数的性质可知 时，在单调递减，在上单调递增，‎ 所以在单调递增，在上单调递减，‎ 且当时，，当时，结合的图象可知，‎ 若与的图象有唯一交点，‎ 即方程在上有唯一实数解，此时m的取值范围是.故选A 二．填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.‎ ‎13．【答案】3‎ 解析：∵ ，∴，即，‎ 由已知得，∴‎ ‎14．【答案】60‎ ‎【解析】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以常数项是60.‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】由 ，在点处切线斜率 ，即 ‎ 所以 ‎ 16． ‎【答案】b=‎2a ; 12‎ ‎【解析】等式中 6换为c得：由正弦定理有：，移项整理得：，即，所以，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，设，则化简得： 如图，顶点C在圆上,记圆心为 显然当时，三角形ABC的面积最大, 这时 .‎ 三.解答（本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.解：（1）由得， …………1分 ‎ 即 ……………………2分 是以首项，公比为的等比数列 …………3分 ‎ ‎ …………………………4分 设等差数列的公差为d，由，且成等比数列.‎ ‎ 即…………5分 ‎ …………………………6分 ‎ …………………………… ………7分 （2） 由（1）得 ……………………8分 ‎=………………9分 ‎= ………………10分 ‎=……… ………………11分 ‎= ……………12分 ‎18.证明：（1）连结BE，DBCE平行四边形且F为CD中点 F为BE中点 ……………………………………………… ………………1分 又O为AB的中点AE ……………………… ………………2分 AE平面ADE，OF平面ADE ……………………… ……… ……3分 平面 ……………………………………………… ………4分 ‎（2）矩形平面ABC，平面DBCE平面ABC=BC，ECBC，EC平面DBCE EC平面ABC ……………………………5分 又AB为圆O的直径 ACBC 以C点为原点建立如图所示的空间直角坐标系 BC=，AC=1‎ 由EC平面ABC得，∠EAC就是AE与平面ABC所成的角 由tan600=得，CE= …………………………………6分 A（1，0，0），E（0，0，），D（0，，），B（0，，0）…………7分 ‎=（-1，0，），=(-1,,),=(-1,,0) …………8分 设平面AED的一个法向量，‎ 由得 即，所以……9分 同理可得，平面AEB的一个法向量 …………10分 ‎ ……………………11分 二面角D-AE-B二面角D-AE-B的平面角的余弦值为 …………12分 ‎19.解：（1）抛物线的焦点为，所以 c= …………1分 ‎ ‎∵直线:与圆相切，‎ ‎∴ …………………2分 ‎ ∴ ………………………………3分 ‎∵椭圆的方程是 …………………4分 ‎（2）b=1，直线与y轴交点P（0，2），………………5分 设椭圆上A、B两个动点的坐标为：. AB方程为： ‎ 由 ‎ …………………………6分 ‎ ……………8分 又的平分线在y轴上 ‎ ‎ ‎.........10分 m=, ……11分 直线恒过定点 …………… …12分 ‎20.【解析】（1）令，则可转化为，‎ 因为， ……………………1分 所以，…………2分 则，…………………3分 所以，因此y关于的回归方程为； ……………4分 与u的相关系数为：‎ ‎，……6分 ‎（2）法一：（i）若产品单价为80元，记企业利润为（元），‎ 订单为9千件时，每件产品的成本为元，‎ 企业的利润为（元），……7分 订单为10千件时，每件产品的成本为元，‎ 企业的利润为（元），…………8分 企业利润（元）的分布列为 ‎260000‎ ‎300000‎ ‎0.7‎ ‎0.3‎ 所以（元）；……9分 ‎（ii）若产品单价为70元，记企业利润为（元），‎ 订单为10千件时，每件产品的成本为元，‎ 企业的利润为（元），‎ 订单为11千件时，每件产品的成本为元，‎ 企业的利润为（元），……10分 企业利润（元）的分布列为 ‎200000‎ ‎230000‎ ‎0.3‎ ‎0.7‎ 所以（元），……………………… …………………11分 ‎ 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元. …12分 法二：（i）若产品单价为80元，记企业的产量为（千件），其分布列为 ‎9‎ ‎10‎ ‎0.7‎ ‎0.3‎ 所以 ……………………8分 企业的利润为： ……………………………… …………………9分 ‎ ‎（ii）若产品单价为70元，记企业的产量为（千件），其分布列为 ‎10‎ ‎11‎ ‎0.3‎ ‎0.7‎ 所以 ………………………10分 企业的利润为： ………………11分 ‎ ‎ 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元.……12分 21. 解:(1)定义域为，‎ ‎，又 ……………………………1分 所以在是减函数，在是增函数 ………………2分 又， ‎ 所以在有唯一零点，且在也有且只有唯一零点，…………3分 同理，‎ 所以在有唯一零点，且在也有且只有唯一零点 ……4分 所以有且只有两个零点 ………………………5分 ‎（2）定义域为，‎ ‎ 有两个极值点，，即 ‎，有两不等实根…… 6分 ‎， ‎ 且， ………………7分 从而, ………………8分 由不等式 恒成立，得 ‎ ‎ ‎ 恒成立 ………………10分 令,‎ 当时恒成立，所以函数在上单调递减，， ……………11分 故实数的取值范围是 …………………12分 ‎(二)选考部分： ‎ ‎22.解：（Ⅰ）将曲线C: 消去参数得，曲线C的普通方程为：.…1分 ‎∵点M()在直线上，∴a==. ………2分 ‎∴，展开得(rcosq+rsinq)=, 又x＝rcosq，y＝rsinq，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x+y−2=0, …………………4分 显然l过点(1, 1), 倾斜角为.‎ ‎∴直线l的参数方程为(t为参数). ………………5分 ‎（Ⅱ）法一：由（Ⅰ），将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得：‎ ‎， ……………………6分 整理得，显然△＞0‎ 设A, B对应的参数为t1, t2, 则由韦达定理得，.……7分 由参数t的几何意义得|AB|=| t1−t2|==，…8分 又原点O到直线l的距离为d=. …………9分 因此，△OAB的面积为S=. …………10分 法二：由（Ⅰ）可知，直线l的直角坐标方程为x+y−2=0,‎ 联立,整理得，显然△＞0 ………6分 设A, B对应的坐标为t1则由韦达定理得，. ……7分 所以 …………8分 又原点O到直线l的距离为d=. …………………9分 因此，△OAB的面积为S=. ……………10分 法三：由（Ⅰ）可知，直线l的直角坐标方程为x+y−2=0,‎ 联立,整理得，显然△＞0 …………6分 设A, B对应的坐标为则由韦达定理得，.……7分 因为直线l过椭圆右顶点（2,0），所以，…………………8分 把代入直线l的方程得…………………9分 因此，△OAB的面积为S=. ………………10分 ‎23．解：(Ⅰ)由已知 ………………1分 当x≥2时，f(x)=3，不符合； …………………………………2分 当−1≤x＜2时，f(x)=2x−1，由f(x)≤1，即2x−1≤1，解得x≤1；…………………3分 当x＜−1时，f(x)= −3，f(x)≤1恒成立. ……………………4分 综上，x的取值范围是. ………………………………5分 ‎(Ⅱ) ,‎ 由(Ⅰ)知当且仅当x≥2时，f(x)=3， …………………6分 所以M= f(x)Max=3.即a+b+c=3， …………………………7分 因为a2+b2≥2ab，a2+c2≥‎2ac，c2+b2≥2cb， …………………8分 所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+ac+cb)‎ 所以3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+‎2ac+2cb=(a+b+c)2=9 …………9分 因此(a2+b2+c2)≥3 ……………………………10分