【数学】广东省茂名市2020届高三第二次综合测试(理)(解析版)

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【数学】广东省茂名市2020届高三第二次综合测试(理)(解析版)

广东省茂名市2020届高三第二次综合测试(理)‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分,共5页,23小题,满分150分,考试时间120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎5.考试结束后,请将答题卡上交.‎ 第一部分 选择题(共60分)‎ ‎1. 若,则复数的虚部为( )‎ A.2 B‎.1 C. D.-1‎ ‎2.已知集合,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知,且则( )‎ A.0 B. C.1 D.‎ ‎4. 下列命题错误的是( )‎ A.“x=‎2”‎是“x2−4x+4=‎0”‎的充要条件 B.命题“若,则方程x2+x−m=0有实根”的逆命题为真命题 C.在△ABC中,若“A>B”,则“sinA>sinB”‎ D.命题p:“$x0∈R,x02−2x0+4>‎0”‎,则﹁p:“"x∈R,x2−2x+4<‎‎0”‎ ‎5. 《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化阴阳术数之源。河图的排列结构如图所示,一与六共宗居下,二与七为朋居上,三与八为友居左,四与九同道居右,五与十相守居中,其中白圈为阳数,黑点为阴数,若从阳数和阴数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6. “辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法,是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的,因而又叫欧几里得算法.如图所示一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图. 当输入m=1995,n=228,输出的m是( )‎ A. 3 B. ‎19 C. 57 D. 114‎ ‎7.如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为‎8cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).当细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此沙堆的侧面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设偶函数满足,则使不等式成立的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.圆M:与双曲线(,)的两条渐近线相切于A、B两点,若,则C的离心率为( )‎ A. B. C. 2 D.‎ ‎10.某贫困县为了实施精准扶贫计划,使困难群众脱贫致富,对贫困户实行购买饲料优惠政策如下:‎ ‎(1)若购买饲料不超过2000元,则不给予优惠;‎ ‎(2)若购买饲料超过2000元但不超过5000元,则按标价给予9折优惠;‎ ‎(3)若购买饲料超过5000元,其5000元内的给予9折优惠,超过5000元的部分给予7折优惠.‎ 某贫穷户购买一批饲料,有如下两种方案:‎ 方案一:分两次付款购买,分别为2880元和4850元;‎ 方案二:一次性付款购买.‎ 若取用方案二购买此批饲料,则比方案一节省( )元 A.540 B‎.620 C.640 D.800‎ ‎11. 已知六棱锥的底面是正六边形,平面,.则下列命题中正确的有( ).‎ ‎①平面PAB⊥平面PAE;‎ ‎②PB⊥AD;‎ ‎③直线CD与PF所成角的余弦值为;‎ ‎④直线PD与平面ABC所成的角为45°;‎ ‎⑤CD∥平面PAE.‎ A. ①④ B. ①③④ C. ②③⑤ D. ①②④⑤‎ ‎12.若关于x的方程在上有唯一实数解,则实数m的取值范围( )‎ ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ部分非选择题(共90分)‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题 5分,共20分.‎ ‎13.已知向量,,若(),则 . ‎ ‎14.的展开式中,常数项是 .‎ ‎15.已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则 .‎ ‎16.在中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且,则的a,b的等量关系式为 ,其面积的最大值为 .(本题第一空2分,第二空3分)‎ 三.解答(本大题共5小题,每题12分共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.设,数列的前项和为,已知,且,正项的等差数列的首项为2,且成等比数列.‎ (1) 求和的通项公式;‎ (2) 求证:.‎ ‎18.如图,已知内接于圆,是圆的直径,四边形为平行四边形,是的中点,‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若四边形为矩形,且四边形所在的平面与圆所在的平面互相垂直,,AE与圆O所在的平面的线面角为600.求二面角D-AE-B的平面角的余弦值.‎ ‎19.已知椭圆右焦点与抛物线的焦点重合,以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线:相切.‎ ‎(1)求椭圆的方程 ‎(2)若直线:与y轴交点为P,A、B是椭圆上两个动点,它们在y轴两侧,,的平分线与y轴重合,则直线AB是否过定点,若过定点,求这个定点坐标,若不过定点说明理由.‎ ‎20.2020年初全球爆发了新冠肺炎疫情,为了防控疫情,某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品,该产品的成本由原料成本及非原料成本组成,每件产品的非原料成本(元)与生产该产品的数量(千件)有关,根据已经生产的统计数据,绘制了如下的散点图.‎ 观察散点图,两个变量不具有线性相关关系,现考虑用函数对两个变量的关系进行拟合。参考数据(其中):‎ ‎0.41‎ ‎0.1681‎ ‎1.492‎ ‎306‎ ‎20858.44‎ ‎173.8‎ ‎50.39‎ ‎(1)求关于的回归方程,并求y关于u的相关系数(精确到0.01).‎ ‎(2)该产品采取订单生产模式(根据订单数量进行生产,即产品全部售出).根据市场调研数据,若该产品单价定为80元,则签订9千件订单的概率为0.7,签订10千件订单的概率为0.3;若单价定为70元,则签订10千件订单的概率为0.3,签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元,根据(1)的结果,要想获得更高利润,产品单价应选择80元还是70元,请说明理由.‎ 参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,,相关系数.‎ ‎21. 已知函数,.‎ ‎(1)若,求证:有且只有两个零点 ‎(2)有两个极值点,,且不等式恒成立,试求实数的取值范围.‎ ‎(二)选考部分:共10分 请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C: (q为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程,点M().在直线l上,直线l与曲线C交于A,B两点.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程及直线l的参数方程;‎ ‎(2)求△OAB的面积.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|−|x−2|.‎ ‎(1)若f(x)≤1,求x的取值范围;‎ ‎(2)若f(x)最大值为M,且a+b+c=M,求证:a2+b2+c2≥3.‎ 参考答案 一、选择题:本大题共12小题,每小题 5分,共60分.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D C D A C D A A C B A ‎2.【解析】因为,,所以. 故选D.‎ ‎3.【解析】法一:由且,得,‎ 法二:由,所以,‎ 所以.故选C.‎ ‎4.【解析】由 x2−4x+4=0Û(x−2)2=0Û x−2=0Û x=2,∴A正确;‎ 命题“若,则方程x2+x−m=0有实根”的逆命题为命题“若方程x2+x−m=0有实根,则”, 若方程x2+x−m=0有实根Þ△=1+‎4m≥0Þ,∴B正确;‎ 在△ABC中,若A>BÞa>bÞsinA>sinB(根据正弦定理)∴C正确,故选D.‎ ‎5.【解析】因为阳数为:1,3,5,7,9;阴数为:2,4,6,8,10,所以从阴数和阳数中各取一数的所有组合共有:个,满足差的绝对值为5的有:(1,6),(3,8),(5,10),(7,2),(9,4)共5个,则p= 故选A ‎6. 【解析】输入m=2020,n=303,又r=1.‎ ‎①r=1>0,2020÷303=6··············202,‎ r=202,m=303,n=202;‎ ‎②r=202>0,303÷202=1············101‎ r=101,m=202,n=101;‎ ‎③r=101>0,202÷101=2··············0.‎ r=0,m=101,n=0;‎ ‎④r=0,则r>0否,输出m=101,故选C.‎ ‎7. 【解析】细沙在上部容器时的体积为,流入下部后的圆锥形沙锥底面半径为4,设高为h,则,,‎ 下部圆锥形沙锥的母线长,此沙锥的侧面积.故选D.‎ ‎8. 【解析】易知在上为单调递减,且,由得,,‎ 又因为为偶函数,所以,所以.故选A.‎ A B M o x y ‎9. 【解析】如图所示,,‎ 所示 故选A 10. ‎【解析】【解析】依题意可得,方案一:第一次付款2880元时,因为,所以该款的原价享受了9折优惠,则其原价为元;第二次付款4850元时,因为,所以其原来的价格为元.所以分两次购买饲料的原价为3200+5500=8700元.‎ 方案二:若一次性付款,则应付款为:元,所以节省元. 故选C ‎11.【解析】∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,在正六边形ABCDEF中,AB⊥AE,PAAE=A,∴AB⊥平面PAE,且AB面PAB,∴平面PAB⊥平面PAE,故①成立;‎ ‎∵AD与PB在平面的射影AB不垂直,∴②不成立;‎ ‎∵CD//AF, 直线CD与PF所成角为∠PFA,在Rt△PAF中, ,∴,∴③成立 在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,故④成立.‎ ‎∵CD∥AF∥平面PAF,平面PAF平面PAE=PA,∴直线CD∥平面PAE也不成立,即⑤不成立.故选B ‎12.【答案】‎ ‎【解析】设,所以当时,,‎ 此时,由题意得,有唯一实数解,有唯一实数解, 令,由对勾函数的性质可知 时,在单调递减,在上单调递增,‎ 所以在单调递增,在上单调递减,‎ 且当时,,当时,结合的图象可知,‎ 若与的图象有唯一交点,‎ 即方程在上有唯一实数解,此时m的取值范围是.故选A 二.填空题:本大题共4小题,每小题 5分,共20分.‎ ‎13.【答案】3‎ 解析:∵ ,∴,即,‎ 由已知得,∴‎ ‎14.【答案】60‎ ‎【解析】试题分析:的展开式的通项为(,1,2,…,5),令得,所以常数项是60.‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】由 ,在点处切线斜率 ,即 ‎ 所以 ‎ 16. ‎【答案】b=‎2a ; 12‎ ‎【解析】等式中 6换为c得:由正弦定理有:,移项整理得:,即,所以,以为轴,的中垂线为轴建立平面直角坐标系,则,设,则化简得: 如图,顶点C在圆上,记圆心为 显然当时,三角形ABC的面积最大, 这时 .‎ 三.解答(本大题共5小题,每题12分共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.解:(1)由得, …………1分 ‎ 即 ……………………2分 是以首项,公比为的等比数列 …………3分 ‎ ‎ …………………………4分 设等差数列的公差为d,由,且成等比数列.‎ ‎ 即…………5分 ‎ …………………………6分 ‎ …………………………… ………7分 (2) 由(1)得 ……………………8分 ‎=………………9分 ‎= ………………10分 ‎=……… ………………11分 ‎= ……………12分 ‎18.证明:(1)连结BE,DBCE平行四边形且F为CD中点 F为BE中点 ……………………………………………… ………………1分 又O为AB的中点AE ……………………… ………………2分 AE平面ADE,OF平面ADE ……………………… ……… ……3分 平面 ……………………………………………… ………4分 ‎(2)矩形平面ABC,平面DBCE平面ABC=BC,ECBC,EC平面DBCE EC平面ABC ……………………………5分 又AB为圆O的直径 ACBC 以C点为原点建立如图所示的空间直角坐标系 BC=,AC=1‎ 由EC平面ABC得,∠EAC就是AE与平面ABC所成的角 由tan600=得,CE= …………………………………6分 A(1,0,0),E(0,0,),D(0,,),B(0,,0)…………7分 ‎=(-1,0,),=(-1,,),=(-1,,0) …………8分 设平面AED的一个法向量,‎ 由得 即,所以……9分 同理可得,平面AEB的一个法向量 …………10分 ‎ ……………………11分 二面角D-AE-B二面角D-AE-B的平面角的余弦值为 …………12分 ‎19.解:(1)抛物线的焦点为,所以 c= …………1分 ‎ ‎∵直线:与圆相切,‎ ‎∴ …………………2分 ‎ ∴ ………………………………3分 ‎∵椭圆的方程是 …………………4分 ‎(2)b=1,直线与y轴交点P(0,2),………………5分 设椭圆上A、B两个动点的坐标为:. AB方程为: ‎ 由 ‎ …………………………6分 ‎ ……………8分 又的平分线在y轴上 ‎ ‎ ‎.........10分 m=, ……11分 直线恒过定点 …………… …12分 ‎20.【解析】(1)令,则可转化为,‎ 因为, ……………………1分 所以,…………2分 则,…………………3分 所以,因此y关于的回归方程为; ……………4分 与u的相关系数为:‎ ‎,……6分 ‎(2)法一:(i)若产品单价为80元,记企业利润为(元),‎ 订单为9千件时,每件产品的成本为元,‎ 企业的利润为(元),……7分 订单为10千件时,每件产品的成本为元,‎ 企业的利润为(元),…………8分 企业利润(元)的分布列为 ‎260000‎ ‎300000‎ ‎0.7‎ ‎0.3‎ 所以(元);……9分 ‎(ii)若产品单价为70元,记企业利润为(元),‎ 订单为10千件时,每件产品的成本为元,‎ 企业的利润为(元),‎ 订单为11千件时,每件产品的成本为元,‎ 企业的利润为(元),……10分 企业利润(元)的分布列为 ‎200000‎ ‎230000‎ ‎0.3‎ ‎0.7‎ 所以(元),……………………… …………………11分 ‎ 故企业要想获得更高利润,产品单价应选择80元. …12分 法二:(i)若产品单价为80元,记企业的产量为(千件),其分布列为 ‎9‎ ‎10‎ ‎0.7‎ ‎0.3‎ 所以 ……………………8分 企业的利润为: ……………………………… …………………9分 ‎ ‎(ii)若产品单价为70元,记企业的产量为(千件),其分布列为 ‎10‎ ‎11‎ ‎0.3‎ ‎0.7‎ 所以 ………………………10分 企业的利润为: ………………11分 ‎ ‎ 故企业要想获得更高利润,产品单价应选择80元.……12分 21. 解:(1)定义域为,‎ ‎,又 ……………………………1分 所以在是减函数,在是增函数 ………………2分 又, ‎ 所以在有唯一零点,且在也有且只有唯一零点,…………3分 同理,‎ 所以在有唯一零点,且在也有且只有唯一零点 ……4分 所以有且只有两个零点 ………………………5分 ‎(2)定义域为,‎ ‎ 有两个极值点,,即 ‎,有两不等实根…… 6分 ‎, ‎ 且, ………………7分 从而, ………………8分 由不等式 恒成立,得 ‎ ‎ ‎ 恒成立 ………………10分 令,‎ 当时恒成立,所以函数在上单调递减,, ……………11分 故实数的取值范围是 …………………12分 ‎(二)选考部分: ‎ ‎22.解:(Ⅰ)将曲线C: 消去参数得,曲线C的普通方程为:.…1分 ‎∵点M()在直线上,∴a==. ………2分 ‎∴,展开得(rcosq+rsinq)=, 又x=rcosq,y=rsinq,‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x+y−2=0, …………………4分 显然l过点(1, 1), 倾斜角为.‎ ‎∴直线l的参数方程为(t为参数). ………………5分 ‎(Ⅱ)法一:由(Ⅰ),将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得:‎ ‎, ……………………6分 整理得,显然△>0‎ 设A, B对应的参数为t1, t2, 则由韦达定理得,.……7分 由参数t的几何意义得|AB|=| t1−t2|==,…8分 又原点O到直线l的距离为d=. …………9分 因此,△OAB的面积为S=. …………10分 法二:由(Ⅰ)可知,直线l的直角坐标方程为x+y−2=0,‎ 联立,整理得,显然△>0 ………6分 设A, B对应的坐标为t1则由韦达定理得,. ……7分 所以 …………8分 又原点O到直线l的距离为d=. …………………9分 因此,△OAB的面积为S=. ……………10分 法三:由(Ⅰ)可知,直线l的直角坐标方程为x+y−2=0,‎ 联立,整理得,显然△>0 …………6分 设A, B对应的坐标为则由韦达定理得,.……7分 因为直线l过椭圆右顶点(2,0),所以,…………………8分 把代入直线l的方程得…………………9分 因此,△OAB的面积为S=. ………………10分 ‎23.解:(Ⅰ)由已知 ………………1分 当x≥2时,f(x)=3,不符合; …………………………………2分 当−1≤x<2时,f(x)=2x−1,由f(x)≤1,即2x−1≤1,解得x≤1;…………………3分 当x<−1时,f(x)= −3,f(x)≤1恒成立. ……………………4分 综上,x的取值范围是. ………………………………5分 ‎(Ⅱ) ,‎ 由(Ⅰ)知当且仅当x≥2时,f(x)=3, …………………6分 所以M= f(x)Max=3.即a+b+c=3, …………………………7分 因为a2+b2≥2ab,a2+c2≥‎2ac,c2+b2≥2cb, …………………8分 所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+ac+cb)‎ 所以3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+‎2ac+2cb=(a+b+c)2=9 …………9分 因此(a2+b2+c2)≥3 ……………………………10分
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