专题15 不等式选讲（高考押题）-2017年高考数学（文）考纲解读与热点难点突破
1．已知函数f(x)＝k－|x－3|，k∈R，且f(x＋3)≥0的解集为－1，1]．(导学号 55460156)
(1)求k的值；
(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1.
求证：a＋2b＋3c≥9.
2．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含1，2]，求a的取值范围．
【解析】：(1)当a＝－3时，
不等式f(x)≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.①
若x≤2时，由①式，得5－2x≥3，∴x≤1.
若2
f(a)－f(－b)．
6．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)>2的解集；
(2)∀x∈R，使f(x)≥t2－t，求实数t的取值范围．
【解析】 (1)f(x)＝
当x<－时，－x－3>2⇒x<－5，∴x<－5.
当－≤x<2时，3x－1>2⇒x>1，∴12⇒x>－1，∴x≥2.
综上所述，不等式f(x)>2的解集为{x|x>1或x<－5}．
(2)易得f(x)min＝－，若∀x∈R都有f(x)≥t2－t恒成立，
则只需f(x)min＝－≥t2－，
解得≤t≤5.
7．若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是( )
A．a＜－1或a＞3 B．a＜0或a＞3
C．－1＜a＜3 D．－1≤a≤3
【答案】 C
【解析】 |x－1|＋|x－3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1、3对应的两点距离之和，故它的最小值为2，
∵原不等式解集为∅，∴a2－2a－1＜2. 即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3. 故选C.
8．设f(x)＝x2－bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(－1，3)，若f(7＋|t|)>f(1＋t2)，则实数t的取值范围是________．
【答案】 (－3，3)
9．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x＋5|.
(1)试求使等式f(x)＝|2x＋1|成立的x的取值范围；
(2)若关于x的不等式f(x)0)，若任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值范围．
11．设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在0，1]上无解，求实数t的取值范围．
【解析】 (1)f(x)＝
所以原不等式转化为或或所以原不等式的解集为∪6，＋∞)．
(2)只要f(x)max＜t2－3t，
由(1)知f(x)max＝－1＜t2－3t解得t＞或t＜.
12．设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
13．已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
【解析】 (1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当20，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
15．已知关于x的不等式m－|x－2|≥1，其解集为0，4]．
(1)求m的值；
(2)若a，b均为正实数，且满足a＋b＝m，求a2＋b2的最小值．
16．已知a，b均为正数，且a＋b＝1，证明：
(1)(ax＋by)2≤ax2＋by2；
(2)＋≥.
【解析】证明：(1)(ax＋by)2－(ax2＋by2)＝a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy，
因为a＋b＝1，
所以a－1＝－b，b－1＝－a.
又a，b均为正数，
所以a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy
＝－ab(x2＋y2－2xy)
＝－ab(x－y)2≤0，当且仅当x＝y时等号成立．
所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
(2)＋＝4＋a2＋b2＋＝4＋a2＋b2＋＋＝4＋a2＋b2＋1＋＋＋＋＋1＝4＋(a2＋b2)＋2＋2＋≥4＋＋2＋4＋2＝.
当且仅当a＝b时等号成立．
17．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为－1，1]，且|f(x)|的最大值为M.
(1)证明：|1＋b|≤M；
(2)证明：M≥.
18．已知a，b，c为非零实数，且a2＋b2＋c2＋1－m＝0，＋＋＋1－2m＝0.
(1)求证：＋＋≥；
(2)求实数m的取值范围．
【解析】：(1)证明：由柯西不等式得
(a2＋b2＋c2)≥，
即(a2＋b2＋c2)≥36.
∴＋＋≥.
(2)由已知得a2＋b2＋c2＝m－1，＋＋＝2m－1，
∴(m－1)(2m－1)≥36，
即2m2－3m－35≥0，
解得m≤－或m≥5.
又a2＋b2＋c2＝m－1>0，
＋＋＝2m－1>0，
∴m≥5.
即实数m的取值范围是5，＋∞)．
19．已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x－2|，m∈R，且f(x＋1)≥0的解集为0，1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c，x，y，z∈R，且x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m，求证：ax＋by＋cz≤1.
