人教数学九上降次──解一元二次方程学案

人教数学九上降次──解一元二次方程学案

‎22.2降次——解一元二次方程 学习目标、重点、难点 ‎【学习目标】‎ ‎1、掌握一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）‎ ‎2、掌握一元二次方程的根的判别式.‎ ‎【重点难点】‎ 1、 一元二次方程的解法；‎ 2、 元二次方程的根的判别式 知识概览图 一元二次方程的解法解法 一元二次方程的解法 ‎ 直接开平方法 ‎ 配方法 ‎ 公式法 ‎ 因式分解法 ‎ 一元二次方程的根的判别式△=b2‎-4ac △＞0，有两个不等实根 ‎ ‎ △＝0，有两个相等实根 ‎ △＜0，无实根 新课导引 如下图所示，一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面（正方体的表面积为六个面面积之和），求盒子的棱长.‎ ‎【问题探究】 设盒子的棱长为x dm，可知每个正方体的表面积为6x2 dm2，10个正方体的表面积和为60x2 dm2，所以60x2＝1500，解这个方程即可.如何解这个方程呢？‎ ‎【解析】 由60x2＝1500，可得x2＝25，所以x是25的平方根，即x＝±5，但由于x表示的是正方体的棱长，故x＝5.‎ 教材精华 知识点1 解一元二次方程的基本思想 一元二次方程一元一次方程.‎ 拓展 解一元二次方程的基本思想是“降次”，通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程和解二元一次方程组的“消元”思想类似.“降次”和“消元”都是数学中重要的化归思想，即将新知识转化为旧知识解决.‎ 知识点2 利用直接开平方法解形如（ax＋b）2＝c(c≥0)的一元二次方程 一般地，运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.‎ 对形如（ax＋b）2＝c(c≥0)的一元二次方程来说，因为c≥0，所以在方程两边直接开 平方，可得ax＋b＝±，进而求得x＝ (c≥0).‎ 拓展 （1）直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它主要针对形如（ax＋b）2＝c(c≥0)的一元二次方程，它的理论依据就是平方根的意义.‎ ‎（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果后取“正、负”.‎ ‎（3）用直接开平方法解方程先要将方程化为左边是含未知数的完全平方式，右边是非负实数的形式，再利用平方根的定义求解.‎ 知识点3 利用配方法解一元二次方程 把一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)变形成左端是一个含有未知数的完全平方式，而右端是一个非负常数，进而可用直接开平方法来求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.‎ 用配方法解一元二次方程的一般步骤：第一步，把方程化为一般形式（二次项系数是1）；第二步，把常数项移到方程的右边；第三步，配方，方程的左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式；第五步，用直接开平方法解方程.‎ ‎|规律方法小结|（1）配方法是对二次项和一次项配方，所以一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方（二次项系数必须为1）.‎ ‎（2）用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式.配方是为了降次，利用平方根的定义把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.‎ 知识点4 利用公式法解一元二次方程 一般地，对于一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－‎4ac≥0时，它的根可由式子x＝得到，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.对于满足条件b2－‎4ac≥0的一元二次方程，都可用求根公式求解，求根公式是对ax2＋bx＋c＝0(a≠0)运用配方法得出来的，过程如下：‎ 因为a≠0，所以方程两边都除以a，得，‎ 移项，得，‎ 配方，得 因为 当b‎24ac≥0时，直接开平方，得x＋‎ 所以x＝.‎ ‎（或写成x1＝）‎ 拓展 利用求根公式解一元二次方程时，一定要注意以下几点：‎ ‎（1）不是一般形式的一元二次方程，首先要将其整理成一般形式.如解方程2（x－1）2＝5－2x时，需先将其整理成2x2－2x－3＝0.‎ ‎（2）确定公式中的a，b，c.如（1）的例子中，a＝2，b＝－2，c＝－3.‎ ‎（3）判定b2－‎4ac的符号，只有当b2－‎4ac≥0时，才能运用求根公式 知识点5 利用因式分解法解一元二次方程 对于一般形式的一元二次方程来说，若其左端能够因式分解成的形式，则根据乘法中一个数同零相乘积是零的性质，可得a1x＋b1＝0，或a2x＋b2＝0，进而求出方程的解，这种方法就是因式分解法.‎ 例如：解下列方程.‎ ‎（1）x2－7＝0； （2）x2－6x＋9＝0.‎ 解：（1）x2－7＝0，（x＋）(x－)＝0，‎ ‎∴x＋＝0，或x－＝0，∴x 1＝－，x2＝.‎ ‎（2）x2－6 x＋9＝0，（x－3）2＝0，∴x 1＝ x 2＝3.‎ 拓展 （1）因式分解法解一元二次方程是通过因式分解降次，把原方程转化为两个一元一次方程.‎ ‎（2）因式分解法只限方程右边为0，方程左边能因式分解的方程.‎ ‎|规律方法小结| 在没有指明一元二方程的解法的前提下，四种解法的使用顺序如下：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法（没有特别指明，一般不用配方法）.‎ ‎（2）解方程的各种方法掌握后，要结合具体问题具体分析，用最简便可行的方法解一元二次方程，一般在未指明要求用什么方法时，可以先考虑用因式分解法，如果是特殊形式（x＋a）2＝b(b≥0），可用直接开平方法，最一般的方法是公式法，配方法解方程比较烦琐，在题目没有特殊要求时，可以不用.‎ ‎（3）根据解的定义可以将所得的解代入原方程看方程是否成立，从而检验出解得的结果是否正确.‎ 知识点6 一元二次方程的根的判别式 一般地，式子的根的判别式.常用“Δ”（读作“delta”）表示b2‎-4ac，即Δ＝‎ 拓展 （1）在实数范围内，一元二次方程的根由其系数，a，b，c确定，它的根的情况（是否有实数根）由Δ确定.‎ ‎①Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根.‎ 如：方程x2-5x＋4＝0中，a＝1，b＝－5，c＝4,‎ Δ＝b2－4ac＝(－5) 2－4×1×4＝9＞0，‎ ‎∴它的根x＝，‎ ‎∴x1＝1，x2＝4.‎ ‎②当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根.‎ 如：方程4x2－12x＋9＝0中，a＝4，b＝－12，c＝9,‎ Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4×4×9＝0，‎ ‎∴它的根x＝,‎ ‎∴x1＝x2＝.‎ ‎③当Δ＝b2－4ac＜0时，方程没有实数根.‎ 如：方程x2－2x＋2＝0中，a＝1，b＝－2，c＝2，‎ Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×2＝－4＜0.‎ ‎∴此方程没有实数根.‎ ‎（2）不解方程，利用根的判别式也可以判断方程根的情况，只需根据Δ的符号得出结论即可.‎ ‎（3）用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值，上述判定方法也可以反过来使用：当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；有两个相等的实数根时，Δ＝0；没有实数根时，Δ＜0.‎ ‎（4）在用公式法解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式Δ＝b2－4ac判定方程的根的情况（有两个不相等实数根，有两个相等实数根，无实数根），然后再求解当Δ＝b2－4ac≥0时，方程的实数根.‎ 知识点7 一元二次方程根与系数的关系 如果x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，那么x1＋x2＝－，这个关系式称为一元二次方程根与系数的关系.‎ 拓展 （1）根与系数的关系是在方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有根的前提下（即b2－4ac≥0)才能成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验b2－4ac是否非负.‎ ‎（2）利用根与系数的关系可以不解方程而求出与两根有关的一些代数式的值.比如x12+x22 , 等.‎ 探究交流 ‎ 方程（x＋3）2＝0的根是x＝－3.这种说法对吗？‎ 解析 这种说法不对，因为一元二次方程如果有根就一定有两个根，所以原方程的根是x1＝x2＝－3.‎ 课堂检测 基础知识应用题 ‎1、用直接开平方法解下列方程.‎ ‎（1）9（x－1）2－4＝0；‎ ‎（2）（2x－1）2＝5.‎ ‎2、用配方法解方程3x2－2x-3=0‎ 综合应用题 ‎3、如果x＝2是方程2x2＋3ax－2a＝0的解，那么关于y的方程y2－3＝a的解是 .‎ ‎4、当x为何值时，代数式的值等于0？‎ 探索创新题 ‎5、已知一直角三角形三边长为a，b，c，∠B＝90°，请判断关于x的方程a(x2－1)－2cx＋b(x2＋1)＝0的根的情况.‎ 体验中考 ‎1、一元二次方程x2－4＝0的解是（ ）‎ A.x1＝2，x2＝－2 B.x＝－2‎ C.x＝2 D.x1＝2，x2＝0‎ ‎2、已知x＝2是一元二次方程（m－2）x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是 .‎ ‎3、解方程x(x＋8)＝16.‎ 学后反思 ‎ 附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测 ‎1、分析 本题考查的是利用直接开平方法解一元二次方程.若x2＝a(a≥0)，则x＝±,因此解本题要先将原方程为（mx＋n）2＝p(p≥0)的形式，再开平方即可.‎ 解：（1）9（x－1）2－4＝0,‎ 移项，得9（x－1）2＝4，两边同除以9，得（x－1）2＝，‎ 两边同时开平方，得x－1＝±，‎ ‎∴x－1＝，或x－1＝－，∴x1＝，x2＝.‎ ‎（2）（2x－1）2＝5，‎ 直接开平方，得2x－1＝±，‎ ‎∴2x－1＝，或2x－1＝－，‎ ‎∴x1＝，x2＝.‎ ‎【解题策略】 用直接开平方法解一元二次方程时，要注意：开平方后，等号的右边取正、负.‎ ‎|规律·方法| 利用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：（1）一化，将原方程变形为x2＝p，或（mx＋n）2＝p(p≥0)的形式；（2）二开，直接开平方，得x＝±，或mx＋n＝±；（3）三写，写出原方程的根，即下结论.‎ ‎2、分析：本题主要考查的是用配方法解一元二次方程。配方就是要将方程的左边化为 一个含有未知数的完全平方式。‎ 解：移项，得3x2-2x=3‎ 二次项系数化为1，得x2－＝1，‎ 配方，得，‎ 即 ‎∴，‎ ‎∴x1=，.‎ ‎【解题策略】 配方的关键是当方程中二次项系数为1时，方程两边都加上一次项系数一半的平方.‎ ‎|规律·方法| 用配方法解一元二次方程的一般步骤是：（1）一化，先将常数项移到方程右边，再将二次项系数化为1；（2）二配，方程左、右两边都加上一次项系数一半的平方；（3）三成方，将方程左边化为一个含有未知数的完全平方式；（4）四开，直接开平方；（5）五写，写出方程的解.‎ ‎3、分析 本题主要考查的是解含字母系数的一元二次方程，要求出关于y的方程y2－3＝a的解，必须先求出a的值，而要求a的值，必须用代入法从方程2x2＋3ax－2a＝0入手求解.把x＝2代入方程2x2＋3ax－2a＝0，得2×22＋3a×2－2a＝0，解得a＝－2，因此，方程y2－3＝a化为y2－3＝－2，解得y＝±1，即y1＝1，y2＝－1.故填y1＝1，y2＝－1.‎ ‎ 4、分析 本题考查分式的值为0的条件，易错点是易忽略分母x2－3≠0，解题关键是熟记分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0.‎ 解：依据题意，得 由①得x1＝x2＝－，由②得，‎ ‎∴无论x为何值，原代数式的值都不能为0.‎ ‎【解题策略】 （1）解决本题的关键在于弄清分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0，分母不等于0的条件易丢.‎ ‎（2）当使分式等于0的x值不存在时，下结论是原分式的值永远不能为0.‎ ‎5、分析 本题综合考查根的判别式及勾股定理，判别根的情况必须判断Δ的符号，而判断Δ的符号要利用直角三角形的三边关系.‎ 解：方程a(x2－1)－2cx＋b(x2＋1)＝0，整理为一般形式为(a＋b)x2－2cx－a＋b＝0，‎ ‎∴Δ＝(－2c) 2－4(a＋b)(－a＋b)＝4c2＋4a2－4b2＝4(a2＋c2－b2).‎ ‎∵∠B＝90°，∴a2＋c2＝b2.∴a2＋c2－b2＝0.‎ ‎∴Δ＝0.∴此方程有两个相等的实数根.‎ 体验中考 ‎1、分析 本题考查用直接开平方法解方程.x＝±2.故选A.‎ ‎2、分析 本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法.把x＝2代入方程，得（m－2）×4＋4×2－m2＝0,即4m－m2＝0，解得m＝0或m＝4.‎ 注意：本题中求m的值不要忘记m－2≠0，同时也不要把m＝0舍去.‎ ‎3、分析 本题考查用配方法或公式法解方程.‎ 解：x(x＋8)＝16可化为x2＋8x＝16，x2＋8x＋16＝32，∴(x＋4)2＝32，‎ ‎∴x＋4＝±4.∴x1＝－4＋4，x2＝―4―4.‎ ‎【注意】 不要把x2＋8x＝16，错写成(x＋4)2＝0‎