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文档介绍
2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书:第二章 第7讲 函数的图象
第7讲 函数的图像 一、知识梳理 1.利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y=f(x)y=-f(x). ②y=f(x)y=f(-x). ③y=f(x)y=-f(-x). ④y=ax(a>0且a≠1)y=logax(x>0). (3)翻折变换 ①y=f(x)y=|f(x)|. ②y=f(x)y=f(|x|). (4)伸缩变换 ①y=f(x) → y=f(ax). ②y=f(x) → y=af(x). 常用结论 1.函数图象平移变换的八字方针 (1)“左加右减”,要注意加减指的是自变量. (2)“上加下减”,要注意加减指的是函数值. 2.函数图象对称的三个重要结论 (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称. (3)若函数y=f(x)的定义域内任意自变量x满足: f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 二、教材衍化 1.函数f(x)=x+的图象关于( ) A.y轴对称 B.x轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称 解析:选C.函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且f(-x)=-f(x),即函数f(x)为奇函数,故选C. 2.已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是( ) A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|) 解析:选C.因为题图②中的图象是在题图①的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的,所以题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|).故选C. 3. 如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是________. 解析:在同一直角坐标系内作出y=f(x)和y=log2(x+1)的图象(如图).由图象知不等式的解集是(-1,1]. 答案:(-1,1] 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( ) (2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.( ) (3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称. ( ) (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.( ) (5)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到函数y=f(-x-1)的图象.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏 (1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错; (2)不注意函数的定义域出错. 1.设f(x)=2-x,g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称,h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到,则h(x)=________. 解析:与f(x)的图象关于直线y=x对称的图象所对应的函数为g(x)=-log2x,再将其图象右移1个单位得到h(x)=-log2(x-1)的图象. 答案:-log2(x-1) 2. 已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=logf(x)的定义域是________. 解析:当f(x)>0时,函数g(x)=logf(x)有意义,由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时,x∈(2,8]. 答案:(2,8] 作函数的图像(师生共研) 作出下列函数的图像. (1)y=x2-2|x|-1. (2)y=. (3)y=|log2(x+1)|. 【解】 (1)先化简,再作图, y=图像如图所示. (2)因为y==1+,先作出y=的图象,将其图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,即得y=的图象,如图 所示. (3)利用函数y=log2x的图象进行平移和翻折变换,图象如图实线所示. 函数图象的三种画法 (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,可利用图象变换作出. [提醒] (1)画函数的图象时一定要注意定义域. (2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 函数图像的识别(多维探究) 角度一 知式选图 (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为( ) (2)(2020·淄博模拟)函数f(x)=ln(x2+2)-ex-1的图象可能是( ) 【解析】 (1)因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除A; 因为f(π)==>0,所以排除C; 因为f(1)=,且sin 1>cos 1, 所以f(1)>1,所以排除B.故选D. (2)当x→+∞时,f(x)→-∞, 故排除D; 易知f(x)在R上连续,故排除B; 且f(0)=ln 2-e-1>0,故排除C,故选A. 【答案】 (1)D (2)A 角度二 知图选式 (1)已知函数f(x)的图像如图所示,则f(x)的解析式可以是( ) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)=-1 D.f(x)=x- (2)(2020·洛阳第一次统考)已知f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的大致图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的大致图像是( ) 【解析】 (1)由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,应排除B,C.若函数为f(x)=x-,则x→+∞时,f(x)→+∞,排除D,故选A. (2)由函数f(x)的大致图象可知3<a<4,-1<b<0,所以g(x)的图象是由y=ax(3<a<4)的图象向下平移-b(0<-b<1)个单位长度得到的,其大致图象应为选项A中的图像,故选A. 【答案】 (1)A (2)A 角度三 由实际问题的变化过程探究函数图象 广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互纠在一起,因而被习称为“阴阳鱼太极图”.如图,是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”,圆心分别为O,O1,O2,若一动点P从点A出发,按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A,O,O1,O2,B五点共线),设P的运动路程为x,y=|O1P|2,y与x的函数关系式为y= f(x),则y=f(x)的大致图像为 ( ) 【解析】 根据题图中信息,可将x分为4个区间,即[0,π),[π,2π),[2π,4π),[4π,6π],当x∈[0,π)时,函数值不变,y=f(x)=1;当x∈[π,2π)时,设与的夹角为θ,因为||=1,||=2,θ=x-π,所以y=(-)2=5-4cos θ=5+4cos x,所以y=f(x)的图象是曲线,且递增;当x∈[2π,4π)时,=-,设与的夹角为α,||=2,||=1,α=2π-x,所以y=|O1P|2=(-)2=5-4cos α=5-4cos ,函数y=f(x)的图象是曲线,且递减. 【答案】 A 识别函数图象的方法技巧 函数图象的识别可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势. (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性. (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复. (5)从函数的特殊点,排除不合要求的图象. [提醒] 由实际情景探究函数图象,关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解,要注意实际问题中的定义域问题. 1.(2020·湖北七市(州)模拟)函数f(x)=的大致图象为( ) 解析:选B.易知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.f(-x)==- eq f(3x-3-x,x4)=-f(x),则f(x)是奇函数,则图象关于原点对称,排除A,f(1)=3-=>0,排除D,当x→+∞时,3x→+∞,则f(x)→+∞,排除C,故选B. 2. 已知函数f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可能是( ) A.f(x)=x2-2ln |x| B.f(x)=x2-ln |x| C.f(x)=|x|-2ln |x| D.f(x)=|x|-ln |x| 解析:选B.由函数图象可得,函数f(x)为偶函数,且x>0时,函数f(x)的单调性为先减后增,最小值为正,极小值点小于1,分别对选项中各个函数求导,并求其导函数等于0的正根,可分别得1,,2,1,由此可得仅函数f(x)=x2-ln |x|符合条件.故选B. 3.如图,四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选A.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来.①中应该是匀速的,故下面的图象不正确;②中的变化率应该是越来越慢的,正确;③中的变化率是先快后慢再快,正确;④中的变化率是先慢后快再慢,也正确,故只有①是错误的. 函数图像的应用(多维探究) 角度一 研究函数的性质 (1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是 ( ) A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0) (2)对a,b∈R,记max{a,b}=函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是________. 【解析】 (1)将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上是减少的. (2)函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的图象如图所示,由图象可得,其最小值为. 【答案】 (1)C (2) 一般根据图像观察函数性质有以下几方面:一是观察函数图像是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图像是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图像上升与下降的情况,确定单调性. 角度二 解不等式 若不等式(x-1)2查看更多
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