2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书:第二章 第7讲 函数的图象

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2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书:第二章 第7讲 函数的图象

第7讲 函数的图像 一、知识梳理 ‎1.利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线.‎ 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).‎ 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.‎ ‎2.利用图象变换法作函数的图象 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 ‎①y=f(x)y=-f(x).‎ ‎②y=f(x)y=f(-x).‎ ‎③y=f(x)y=-f(-x).‎ ‎④y=ax(a>0且a≠1)y=logax(x>0).‎ ‎(3)翻折变换 ‎①y=f(x)y=|f(x)|.‎ ‎②y=f(x)y=f(|x|).‎ ‎(4)伸缩变换 ‎①y=f(x)‎ →‎ y=f(ax).‎ ‎②y=f(x)‎ →‎ y=af(x).‎ 常用结论 ‎1.函数图象平移变换的八字方针 ‎(1)“左加右减”,要注意加减指的是自变量.‎ ‎(2)“上加下减”,要注意加减指的是函数值.‎ ‎2.函数图象对称的三个重要结论 ‎(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.‎ ‎(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.‎ ‎(3)若函数y=f(x)的定义域内任意自变量x满足:‎ f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.‎ 二、教材衍化 ‎1.函数f(x)=x+的图象关于(  )‎ A.y轴对称       B.x轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称 解析:选C.函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且f(-x)=-f(x),即函数f(x)为奇函数,故选C.‎ ‎2.已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是(  )‎ A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|‎ C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|)‎ 解析:选C.因为题图②中的图象是在题图①的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的,所以题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|).故选C.‎ ‎3.‎ 如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是________.‎ 解析:在同一直角坐标系内作出y=f(x)和y=log2(x+1)的图象(如图).由图象知不等式的解集是(-1,1].‎ 答案:(-1,1]‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.(  )‎ ‎(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(  )‎ ‎(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称. (  )‎ ‎(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.(  )‎ ‎(5)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到函数y=f(-x-1)的图象.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×‎ 二、易错纠偏 (1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错;‎ ‎(2)不注意函数的定义域出错.‎ ‎1.设f(x)=2-x,g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称,h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到,则h(x)=________.‎ 解析:与f(x)的图象关于直线y=x对称的图象所对应的函数为g(x)=-log2x,再将其图象右移1个单位得到h(x)=-log2(x-1)的图象.‎ 答案:-log2(x-1)‎ ‎2.‎ 已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=logf(x)的定义域是________.‎ 解析:当f(x)>0时,函数g(x)=logf(x)有意义,由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时,x∈(2,8].‎ 答案:(2,8]‎ ‎      作函数的图像(师生共研)‎ ‎ 作出下列函数的图像.‎ ‎(1)y=x2-2|x|-1.‎ ‎(2)y=.‎ ‎(3)y=|log2(x+1)|.‎ ‎【解】 ‎ ‎(1)先化简,再作图,‎ y=图像如图所示.‎ ‎(2)因为y==1+,先作出y=的图象,将其图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,即得y=的图象,如图 所示.‎ ‎(3)利用函数y=log2x的图象进行平移和翻折变换,图象如图实线所示.‎ 函数图象的三种画法 ‎(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. ‎ ‎(2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.‎ ‎(3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,可利用图象变换作出.‎ ‎[提醒] (1)画函数的图象时一定要注意定义域.‎ ‎(2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.‎ ‎     函数图像的识别(多维探究)‎ 角度一 知式选图 ‎ (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为(  )‎ ‎(2)(2020·淄博模拟)函数f(x)=ln(x2+2)-ex-1的图象可能是(  )‎ ‎【解析】 (1)因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除A;‎ 因为f(π)==>0,所以排除C;‎ 因为f(1)=,且sin 1>cos 1,‎ 所以f(1)>1,所以排除B.故选D.‎ ‎(2)当x→+∞时,f(x)→-∞,‎ 故排除D;‎ 易知f(x)在R上连续,故排除B;‎ 且f(0)=ln 2-e-1>0,故排除C,故选A.‎ ‎【答案】 (1)D (2)A 角度二 知图选式 ‎ (1)已知函数f(x)的图像如图所示,则f(x)的解析式可以是(  )‎ A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)=-1 D.f(x)=x- ‎(2)(2020·洛阳第一次统考)已知f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的大致图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的大致图像是(  )‎ ‎【解析】 (1)由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,应排除B,C.若函数为f(x)=x-,则x→+∞时,f(x)→+∞,排除D,故选A.‎ ‎(2)由函数f(x)的大致图象可知3<a<4,-1<b<0,所以g(x)的图象是由y=ax(3<a<4)的图象向下平移-b(0<-b<1)个单位长度得到的,其大致图象应为选项A中的图像,故选A.‎ ‎【答案】 (1)A (2)A 角度三 由实际问题的变化过程探究函数图象 ‎ 广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互纠在一起,因而被习称为“阴阳鱼太极图”.如图,是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”,圆心分别为O,O1,O2,若一动点P从点A出发,按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A,O,O1,O2,B五点共线),设P的运动路程为x,y=|O1P|2,y与x的函数关系式为y=‎ f(x),则y=f(x)的大致图像为 (  )‎ ‎【解析】 根据题图中信息,可将x分为4个区间,即[0,π),[π,2π),[2π,4π),[4π,6π],当x∈[0,π)时,函数值不变,y=f(x)=1;当x∈[π,2π)时,设与的夹角为θ,因为||=1,||=2,θ=x-π,所以y=(-)2=5-4cos θ=5+4cos x,所以y=f(x)的图象是曲线,且递增;当x∈[2π,4π)时,=-,设与的夹角为α,||=2,||=1,α=2π-x,所以y=|O1P|2=(-)2=5-4cos α=5-4cos ,函数y=f(x)的图象是曲线,且递减.‎ ‎【答案】 A 识别函数图象的方法技巧 函数图象的识别可从以下方面入手:‎ ‎(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.‎ ‎(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.‎ ‎(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.‎ ‎(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.‎ ‎(5)从函数的特殊点,排除不合要求的图象.‎ ‎[提醒] 由实际情景探究函数图象,关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解,要注意实际问题中的定义域问题.  ‎ ‎1.(2020·湖北七市(州)模拟)函数f(x)=的大致图象为(  )‎ 解析:选B.易知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.f(-x)==-‎ eq f(3x-3-x,x4)=-f(x),则f(x)是奇函数,则图象关于原点对称,排除A,f(1)=3-=>0,排除D,当x→+∞时,3x→+∞,则f(x)→+∞,排除C,故选B.‎ ‎2.‎ 已知函数f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可能是(  )‎ A.f(x)=x2-2ln |x|‎ B.f(x)=x2-ln |x|‎ C.f(x)=|x|-2ln |x|‎ D.f(x)=|x|-ln |x|‎ 解析:选B.由函数图象可得,函数f(x)为偶函数,且x>0时,函数f(x)的单调性为先减后增,最小值为正,极小值点小于1,分别对选项中各个函数求导,并求其导函数等于0的正根,可分别得1,,2,1,由此可得仅函数f(x)=x2-ln |x|符合条件.故选B.‎ ‎3.如图,四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的个数为(  )‎ A.1           B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选A.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来.①中应该是匀速的,故下面的图象不正确;②中的变化率应该是越来越慢的,正确;③中的变化率是先快后慢再快,正确;④中的变化率是先慢后快再慢,也正确,故只有①是错误的.‎ ‎      函数图像的应用(多维探究)‎ 角度一 研究函数的性质 ‎ (1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是 (  )‎ A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)‎ B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)‎ C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)‎ D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)‎ ‎(2)对a,b∈R,记max{a,b}=函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是________.‎ ‎【解析】 ‎ ‎(1)将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上是减少的.‎ ‎(2)函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的图象如图所示,由图象可得,其最小值为.‎ ‎【答案】 (1)C (2) ‎ 一般根据图像观察函数性质有以下几方面:一是观察函数图像是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图像是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图像上升与下降的情况,确定单调性.  ‎ 角度二 解不等式 ‎ 若不等式(x-1)20,且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立,则实数a的取值范围为(  )‎ A.(1,2] B. C.(1,) D.(,2)‎ ‎【解析】 要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)21时,如图,要使x∈(1,2)时,y=(x-1)2的图象在y=logax的图象的下方,只需(2-1)2≤loga2,即loga2≥1,解得10‎ C.f(x1)-f(x2)>0 D.f(x1)-f(x2)<0‎ ‎【解析】 ‎ 函数f(x)的图像如图所示:‎ 且f(-x)=f(x),从而函数f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数.又0<|x1|<|x2|,所以f(x2)>f(x1),即f(x1)-f(x2)<0.‎ ‎【答案】 D 数形结合思想的主要方面是“以形助数”寻找解决问题的途径,在函数问题中数形结合思想的应用非常广泛.本例借助图形得出函数f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上为增函数的性质,进而得出结论f(x1)-f(x2)<0.  ‎ ‎ 函数y=ln|x-1|的图像与函数y=-2cos πx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于(  )‎ A.3 B.6‎ C.4 D.2‎ 解析:选B.由图象变换的法则可知,y=ln x的图象关于y轴对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象,向右平移1个单位得到y=ln|x-1|的图象;y=-2cos πx的周期T=2.如图所示,两图象都关于直线x=1对称,且有3对交点,每对交点关于直线x=1对称,故所有交点的横坐标之和为2×3=6.‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1.(2020·山西吕梁4月模拟)函数f(x)=|x|sin x的图象大致是(  )‎ 解析:选A.函数f(x)=|x|sin x为奇函数,图象关于原点对称,可排除,B,C;又f(π)=|π|sin π=0,故排除D.故选A.‎ ‎2.已知f(x)=则下列函数的图象错误的是(  )‎ 解析:选D.在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象,将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,得到函数y=f(x-1)的图象,因此A正确;作函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图形,得到y=f(-x)的图象,因此B正确;y=f(x)在[-1,1]上的值域是[0,2],因此y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象重合,C正确;y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是偶函数,当0≤x≤1时,y=f(|x|)=,这部分的图象不是一条线段,因此选项D不正确.故选D.‎ ‎3.(2020·湖南娄底二模)函数f(x)=的部分图象大致是(  )‎ 解析:选A.f(x)的定义域(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除C和D,因为f(π)<0,所以排除B.故选A.‎ ‎4.‎ 若函数f(x)=(ax2+bx)ex的图象如图所示,则实数a,b的值可能为(  )‎ A.a=1,b=2‎ B.a=1,b=-2‎ C.a=-1,b=2‎ D.a=-1,b=-2‎ 解析:选B.令f(x)=0,则(ax2+bx)ex=0,解得x=0或x=-,由图象可知,->1,又当x>-时,f(x)>0,故a>0,结合选项知a=1,b=-2满足题意,故选B.‎ ‎5.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,点P以1 cm/s 的速度沿A→B→C的路径向C移动,点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动,当点Q到达A点时,P,Q两点同时停止移动.记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S=f(t),则f(t)的图象大致为(  )‎ 解析:选A.当0≤t≤4时,点P在AB上,点Q在BC上,此时PB=6-t,CQ=8-2t,则S=f(t)=QC×BP=(8-2t)×(6-t)=t2-10t+24;当4<t≤6时,点P在AB上,点Q在CA上,此时AP=t,P到AC的距离为t,CQ=2t-8,则S=f(t)=QC×t=(2t-8)×t=(t2-4t);当6<t≤9时,点P在BC上,点Q在CA上,此时CP=14-t,QC=2t-8,则S=f(t)=QC×CPsin ∠ACB=(2t-8)(14-t)×=(t-4)(14-t).综上,函数f(t)对应的图象是三段抛物线,依据开口方向得图象是A,故选A.‎ ‎6.若函数f(x)=的图象如图所示,则f(-3)等于________.‎ 解析:由图象可得a(-1)+b=3,ln(-1+a)=0,所以a=2,b=5,‎ 所以f(x)= 故f(-3)=2×(-3)+5=-1.‎ 答案:-1‎ ‎7.定义在R上的奇函数f(x),满足f=0,且在(0,+∞)上是减少的,则xf(x)>0的解集为________.‎ 解析:因为函数f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是减少的,且f=0,‎ 所以f=0,且在区间(-∞,0)上是减少的,‎ 因为当x<0,若-<x<0时,f(x)<0,此时xf(x)>0,‎ 当x>0,若0<x<时,f(x)>0,此时xf(x)>0,综上xf(x)>0的解集为∪.‎ 答案:∪ ‎8.给定min{a,b}=已知函数f(x)=min{x,x2-4x+4}+4,若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,则实数m的取值范围为________.‎ 解析:函数f(x)=min{x,x2-4x+4}+4的图象如图所示,由于直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,数形结合可得m的取值范围为(4,5).‎ 答案:(4,5)‎ ‎9.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.‎ ‎(1)求当x<0时,f(x)的解析式;‎ ‎(2)作出函数f(x)的图象,并指出其单调区间;‎ ‎(3)求f(x)在[-2,5]上的最小值,最大值.‎ 解:(1)设x<0,则-x>0,‎ 因为x>0时,f(x)=x2-2x.‎ 所以f(-x)=(-x)2-2·(-x)=x2+2x.‎ 因为y=f(x)是R上的偶函数,‎ 所以f(x)=f(-x)=x2+2x.‎ ‎(2)函数f(x)的图象如图所示:‎ 由图可得:函数f(x)的增区间为(-1,0)和(1,+∞);减区间为(-∞,-1)和(0,1).‎ ‎(3)由(2)中函数图象可得:在[-2,5]上,‎ 当x=±1时,取最小值-1,‎ 当x=5时,取最大值15.‎ ‎10.已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.‎ ‎(1)求实数m的值;‎ ‎(2)作出函数f(x)的图象;‎ ‎(3)根据图象指出f(x)的减区间;‎ ‎(4)若方程f(x)=a只有一个实数根,求a的取值范围.‎ 解:(1)因为f(4)=0,所以4|m-4|=0,即m=4.‎ ‎(2)f(x)=x|x-4|‎ ‎= f(x)的图象如图所示.‎ ‎(3)f(x)的减区间是[2,4].‎ ‎(4)从f(x)的图象可知,当a>4或a<0时,f(x)的图象与直线y=a只有一个交点,方程f(x)=a只有一个实数根,即a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为(  )‎ A.(1,3)      B.(-1,1)‎ C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)‎ 解析:选C.f(x)的图象如图所示.‎ 当x∈(-1,0)时,由xf(x)>0得x∈(-1,0);‎ 当x∈(0,1)时,由xf(x)>0得x∈∅.‎ 当x∈(1,3)时,由xf(x)>0得x∈(1,3).‎ 故x∈(-1,0)∪(1,3).‎ ‎2.(2020·山西四校联考)已知函数f(x)=|x2-1|,若00,且a≠1)对于任意的x>2恒成立,求a的取值范围.‎ 解:不等式4ax-1<3x-4等价于ax-11时,在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示,由图知不满足条件;‎ 当0
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