2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二寒假开学检测数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二寒假开学检测数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二寒假开学检测数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知复数，则（ ）.‎ A．的实部为1 B．的虚部为 C．的虚部为-1 D．的共轭复数为 ‎【答案】C ‎【解析】利用复数的运算法则，虚部的定义即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：复数，‎ 的虚部为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的除法运算法以及虚部的定义，属于基础题．‎ ‎2．一支田径队有男运动员 560 人，女运动员 420 人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取 16 人，从女生中任意抽取 12 人进行调查．这种抽样方法是（ ） ‎ A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法 ‎【答案】D ‎【解析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样 ‎【详解】‎ 总体由男生和女生组成，比例为560：420＝4：3，所抽取的比例也是16：12＝4：3．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抽样方法，当总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，属基本题．‎ ‎3．数列，，，，…的第10项是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由数列，可知奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号，而分子为偶数为项数），分母比分子大，即可得到通项公式.‎ 详解：由数列，‎ 可知，奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号，‎ 而分子为偶数为项数），分母比分子大，‎ 故可得到通项公式，‎ ‎，故选C.‎ 点睛：本题主要考查归纳猜想得出数列的通项公式，属于基础题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎4．已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：将圆的方程化为标准方程得，过点的最长弦为直径，所以；最短的弦为过点且垂直于该直径的弦，所以，且，四边形面积，故选B．‎ ‎【考点】1、圆的标准方程；2、对角线垂直的四边形面积．‎ ‎5．下列命题，正确的是（ ）‎ A．命题“，使得”的否定是“，均有”‎ B．命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题 C．命题“若，则”的逆否命题是真命题 D．命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A,正确的是“ 均有”; 对于选项B,命题是真命题,存在四边相等的空间四边形不是正方形,比如正四面体,选项B错; 对于选项C,由于原命题为假命题,所以其逆否命题为假命题,选项C错; 对于选项D,从否命题的形式上看,是正确的.故选D.‎ 点睛：本题以命题的真假判断应用为载体, 考查了四种命题, 特称命题等知识点,属于中档题. 解题时要认真审题, 仔细解答. ‎ ‎6．“k＞9”是“方程表示双曲线”的 ( )‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】当k＞9时，9－k＜0，k－4＞0，方程表示双曲线．‎ 当k＜4时，9－k＞0，k－4＜0，方程也表示双曲线．‎ ‎∴“k＞9”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件．选B.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎7．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 由题意,正方形的面积为22=4.圆锥的底面面积为π.‎ 所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1-.‎ 故选A.‎ ‎8．从分别写有，，，，的5个乒乓球中，任取2个，这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】基本事件总数，利用列举法求出这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列包含的基本事件有4个，由此能求出这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率．‎ ‎【详解】‎ 解：从分别写有，，，，的5个乒乓球中，任取2个，‎ 基本事件总数，‎ 这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列包含的基本事件有：‎ ‎，，，，共4个，‎ 这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎9．按下面的程序框图，若输入的，，则输出的结果为（ ）.‎ A．92 B．46 C．23 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：模拟程序的运行，可得 ‎，‎ 满足条件，，满足条件，，‎ 满足条件，，满足条件，，‎ 满足条件，，满足条件，，‎ 满足条件，，‎ 此时，不满足条件，，退出循环，输出的值为23．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎10．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，P到l2‎ 的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2．‎ ‎11．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.‎ 详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,‎ 由斜率为得，，‎ 由正弦定理得,‎ 所以，故选D.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 二、填空题 ‎12．用反证法证明“一个三角形至少有两个锐角”，则反设是__________.‎ ‎【答案】一个三角形至多有一个锐角 ‎【解析】利用“至少有两个”的反面是“至多有一个”即可判定．‎ ‎【详解】‎ 解：用反证法证明“一个三角形至少有两个锐角“，则反设是一个三角形至多有一个锐角．‎ 故答案为：一个三角形至多有一个锐角．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了反证法的证明步骤，及“至少有两个”的否定，属于基础题．‎ ‎13．已知圆上任意一点处的切线方程为，类比以上结论：双曲线上任意一点处的切线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由过圆上一点的切线方程，我们不难类比推断出过双曲线上一点的切线方程：用代，用代，即可得．‎ ‎【详解】‎ 解：圆：上任意一点，处的切线方程为：．‎ 可以看作是圆的方程中的用代，用代而得．‎ 故类比过圆上一点的切线方程，可合情推理，得出：‎ 过双曲线：上一点，处的切线方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用类比推理得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论．‎ ‎14．若对有恒成立，则的取值范围是_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，而恒成立，则 ‎，当且仅当x=2y时取得等号那么可知只要小于等于表达式的最小值8即可，故答案为 ‎【考点】本试题主要考查了运用均值不等式求解最值。‎ 点评：解决该试题的关键是对于不等式的恒成立问题，我们一般转换为函数的最值来研究，从而得到参数a的范围。‎ ‎15．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：解法一:∵‎ ‎∴‎ 在△PF1F2中,由余弦定理得 两边同时除以a2,得 又cos(-1,1),∴4＜4e2＜,1＜e＜.‎ 当点P、F1、F2共线时,θ=180°,e=,则1＜e≤,e的最大值为.‎ 解法二:由 设|PP′|为点P到准线的距离,‎ ‎∴‎ ‎【考点】本题主要考查双曲线的定义及其几何性质，余弦定理．‎ 点评：基础题，由于题目条件中出现了曲线上的点到焦点的距离，易于想到运用双曲线定义．‎ 三、解答题 ‎16．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．‎ 若下面4个说法都是正确的：‎ ‎①甲不在查资料，也不在写教案； ②乙不在打印材料，也不在查资料；‎ ‎③丙不在批改作业，也不在打印材料； ④丁不在写教案，也不在查资料．[来源 此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断 A．甲在打印材料 B．乙在批改作业 C．丙在写教案 D．丁在打印材料 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：把已知条件列表如下：‎ 若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾．‎ 所以甲一定在打印资料，此时丁在改作业，乙在写教案，丙在查资料 ‎【考点】简单的合情推理 ‎17．当为何值时，复数是 ‎（1）实数？‎ ‎（2）虚数？‎ ‎（3）纯虚数？‎ ‎【答案】（1）（2）或且（3）或 ‎【解析】（1）根据实数的定义，由实部中根式内部的代数式大于等于0，虚部等于0，列式求解；‎ ‎（2）根据虚数的定义，由实部中根式内部的代数式大于等于0，虚部不等于0，列式求解；‎ ‎（3）根据纯虚数的定义，由实部中根式内部的代数式等于0，虚部不等于0，列式即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，所以，‎ 故当时，复数为实数.‎ ‎（2）由题意得，即，‎ 所以或且，‎ 故当或且时，为虚数.‎ ‎（3）由题意得，所以，‎ 所以或，‎ 故当或时，复数为纯虚数.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的基本概念和复数的分类，根据复数的类型求参数，还涉及一元二次方程和一元二次不等式的解法，考查计算能力，是中档题．‎ ‎18．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：‎ 性别 是否需要志愿者 男 女 需要 ‎40‎ ‎30‎ 不需要 ‎160‎ ‎270‎ 附：的观测值 ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；‎ ‎（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？‎ ‎【答案】（1）；（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；‎ ‎【解析】第一问中，利用表格中需要志愿者服务的老年人为70人，总数为500，则比例为0.14‎ 第二问中，利用公式 ，结合表格中的概率值可以知道，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为.‎ ‎（2）随机变量的观测值.由于，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立性检验的实际应用，属于中档题.‎ ‎19．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求直方图的的值；‎ ‎（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；‎ ‎（3）估计居民月用水量的中位数.‎ ‎【答案】(1) ； (2)36000；（3）.‎ ‎【解析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.‎ 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.‎ 由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，‎ 解得a=0.30.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.‎ 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000.‎ ‎（Ⅲ）设中位数为x吨.‎ 因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，‎ 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5‎ 所以2≤x<2.5.‎ 由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.‎ 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.‎ ‎【考点】‎ 频率分布直方图 ‎【名师点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．‎ ‎20． 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：‎ 年份 ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 时间代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 储蓄存款（千亿元）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎（1）求关于的回归方程 ‎（2）用所求回归方程预测该地区2018年（）的人民币储蓄存款.‎ ‎（参考公式：，，）‎ ‎【答案】（1）（2）10.8‎ ‎【解析】分析：（1）先求出，，，根据回归直线方程的求法求出b的值，再代入，，求出的值即可．‎ ‎（2）由回归直线方程，代入t的值预测．‎ 详解：（1）由题意，，，，，‎ ‎∴，，∴关于的回归方程.‎ ‎（2）时，（千亿元）.‎ 点睛：本题考查了回归直线方程的求法及简单应用，对计算能力要求较高，细心耐心计算，属于简单题．‎ ‎21．已知抛物线C：经过点，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）若，求面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）抛物线C的方程为．焦点坐标为，准线方程为（2）面积的最小值为4‎ ‎【解析】（1）根据题意，将P的坐标代入抛物线的方程，可得p的值，即可得抛物线的标准方程，分析即可得答案；‎ ‎（2）直线AB的方程为，与抛物线的方程联立，可得，设，，结合，结合根与系数的关系分析可得，进而可得面积的表达式，分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由抛物线C：经过点知，解得．‎ 则抛物线C的方程为．‎ 抛物线C的焦点坐标为，准线方程为；‎ ‎（2）由题知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：，‎ 由消去x，得．‎ 设，，则，．‎ 因为，所以，即，‎ 解得（舍去）或．‎ 所以解得．‎ 所以直线AB：．‎ 所以直线AB过定点．．‎ 当且仅当，或，时，等号成立．‎ 所以面积的最小值为4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的与直线的位置关系，关键是求出抛物线的标准方程，属于中档题．‎ ‎22．设分别是椭圆的左、右焦点．‎ ‎(1)若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；‎ ‎(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角(其中为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)设出点P的坐标，向量坐标化得到的表达式，进而得到最值；（2）为锐角即，设出点AB的坐标，向量坐标化得到点积的表达式为：x1x2＋y1y2,联立直线和椭圆方程，由韦达定理得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由已知得，F1(－，0)，F2(，0)，设点P(x，y)，‎ 则＋y2＝1，且－2≤x≤2．‎ 所以·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－＝x2－2，‎ 当x＝0，即P(0，±1)时，(·)min＝－2；‎ 当x＝±2，即P(±2，0)时，(·)max＝1．‎ ‎(2)由题意可知，过点M(0，2)的直线l的斜率存在．‎ 设l的方程为y＝kx＋2，‎ 由消去y，化简整理得 ‎(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＞0，解得k2>．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 又∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，‎ 有x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4‎ ‎＝(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，解得k2＜4，‎ 所以＜k2＜4，即k∈．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎