考点49+离散型随机变量的分布列、均值与方差-2018版典型高考数学试题解读与变式
典型高考数学试题解读与变式2018版
考点49 离散型随机变量的分布列、均值与方差
【考纲要求】
要会求与现实生活有密切联系的离散型随机变量的分布列，掌握两点分布与超几何分布列，并会应用．
理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.
【命题规律】
离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力，以解答题为主，中等难度．
【典型高考试题变式】
随机变量的分布列和数学期望
例1.【2017浙江】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2． 若0
C．>，< D．>，>
【答案】A
【解析】
，故选A．
【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量服从两点分布，由两点分布均值与方差公式可得A正确．
【变式1】【2017浙江省嘉兴市第一中学适应性考试】随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，
则D(2X－3)＝（ ）
X
0
2
a
P
p
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】，
，
所以，所以，故选C.
【变式2】【2017四川凉山州一诊】设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次， 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】C
例2.【2017天津】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路
口遇到红灯的概率分别为．
（1）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【分析】（1）由题可得的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，然后列出随机变量
的分布列并计算其数学期望；（2）设表示第1辆车遇到红灯的个数，表示第2辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯包括：第1辆遇到1个红灯且第2辆没遇到红灯、第1辆没遇到红灯且第2辆遇到1个红灯，求这两个事件的概率的和即可．
【解析】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以，随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量的数学期望．
【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列及数学期望是理科高考数学的必考题型．求离散型随机变
量概率分布列问题时，首先要清楚离散型随机变量的所有可能取值，及随机变量取这些值时所对应的事件的概率，计算出概率值后即可列出离散型随机变量的概率分布列，最后按照数学期望的公式计算出数学期望．
【变式1】本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按l小时计算）．有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率，
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E．
【解析】（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为
付2元为
付4元为
则所付费用相同的概率为 （6分）
（2）设甲、乙所付费用之和为，可为0,2,4,6,8
的分布列为
0
2
4
6
8
P
.
【变式2】某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛.
（1）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件,求事件的概率；
（2）设为选出的4人中女生的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
【解析】（1）由已知，得，所以事件的概率为
（2）随机变量的所有可能取值为1,2,3,4.由已知得.
所以随机变量的分布列为：
1
2
3
4
随机变量的数学期望.
【数学思想】
①数形结合思想．
②函数方程思想．
③转化与化归思想.
【温馨提示】
①所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果．
②分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能的取值，第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率.在每一列中，上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率.
③正确理解独立重复试验与独立事件间的关系.
【典例试题演练】
1.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X
－1
0
1
P
2－3q
q2
则q的值为( )
A．1 B.±
C.－ D.＋
【答案】C
【解析】由分布列的性质知所以q＝－.
2.已知X的分布列
X
－1
0
1
P
则在下列式子中①E(X)＝－；②D(X)＝；③P(X＝0)＝，正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
3.【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅲ）】口袋中有个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以表示取出球的最小号码，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易知随机变量的取值为0,1,2，由古典概型的概率计算公式得，
，. 所以，故选B.
4.已知离散型随机变量X的概率分布列为
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其方差D(X)＝( )
A．1 B．0.6
C．2.44 D．2.4
【答案】C
【解析】因为0.5＋m＋0.2＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44. 故选C.
5.若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
【答案】C
【解析】由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．故选C.
6.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P＜X＜的值为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，知a＝1.所以a＝.
故＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
7.设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
m
则P(|X－3|＝1)＝________.
【答案】
【解析】由＋m＋＋＝1，解得m＝，p(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
8.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．
【答案】
【解析】事件“X＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X＝4)＝＝.
9.如图所示，A，B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中
任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X, 则P(X≥8)＝____________.
【答案】
10.(2016·天津高考节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．
【解析】(1)由已知，有P(A)＝＝.
所以事件A发生的概率为.
（2）随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
11.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片
上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)
【解析】（1）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P＝＝.
（2）X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
P
12.【2017河北省衡水中学联考】某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次，其中为标准，为标准.已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：
且的数学期望,求的值;
（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；
（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：① 产品的“性价比”；
②“性价比”大的产品更具可购买性.
【解析】（1） ，即 ①
又由 的概率分布列得 ②
由① ② 得 .
（3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为
因为乙厂产品的等级系数的期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为
据此，乙厂的产品更具可购买性。
13.【2017云南省、四川省、贵州省百校大联考数学】中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛.种子选手与，，三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响.
（1）若至少获胜两场的概率大于，则入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问是否会入选最终的大名单？
（2）求获胜场数的分布列和数学期望.
【解析】（1）记与，，进行对抗赛获胜的事件分别为，，，至少获胜两场的事件为，则，，，由于事件，，相互独立，
所以
，
由于，所以会入选最终的大名单.
（2）获胜场数的可能取值为0,1,2,3，则
，
，
，
，
所以获胜场数的分布列为：
数学期望为.
14.【2017广东海珠区测试】社区服务是综合实践活动课程的重要内容，某市教育部门在全市高中学生中随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段，，，，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示.
（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任
意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；
（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记为3位学生中参加社区服务时间不少于90
小时的人数，试求随机变量的分布列和数学期望.
（2）由（1）可知，从全市高中学生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为.
由已知得，随机变量的可能取值为0,1,2,3，
则，，
，，
随机变量的分布列为
∴.
15.【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】人最宝贵的是生命，然而有时候最不善待生命的恰恰是人类自己，在交通运输业发展迅猛的今天，由于不懂得交通法规，以及人们的交通安全观念和自我保护意识还没有跟上时代的步伐，那些在交通复杂多变的地方而引发的行人交通事故也是接连不断．为了警示市民，某市对近三年内某多发事故路口在每天时间段内发生的480次事故中随机抽取100次进行调研，数据按事发时间分成8组：（单位：小时），制成了如图所示
的频率分布直方图．
（1）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这480次交通事故发生在时间段与的次数；
（2）在抽出的100次交通事故中按时间段采用分层抽样的方法抽取10次进行个案分析，再从这10次交通事故中选取3次交通事故作重点专题研究．记这3次交通事故中发生时间在与的次数为，求的分布列及数学期望．
【解析】（1）由频率分布直方图知，除与外的频率和为
，
所以，即，
所以估计这480次交通事故发生在时间段与的次数为（次）.
（2）用分层抽样的方法，从中选取10次交通事故，则交通事故中发生时间在与内有6次，不在与内有4次，则的可能取值为． ，，，．
故的分布列为
0
1
2
3
所以．
