湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

三湘名校教育联盟2019年下学期高二期中考试试题 数学 注意事项：‎ ‎1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再求．‎ ‎【详解】由已知得，所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．‎ ‎2.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解一元二次不等式，然后根据充分不必要条件即可判断.‎ ‎【详解】由，则，‎ 可知“”是“”的充分不必要条件，‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查充分不必要条件的含义，属于基础题.‎ ‎3.在等差数列中,，则（ ）‎ A. 5 B. 8 C. 10 D. 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，‎ 所以，‎ 故选B.‎ 考点：等差数列通项公式.‎ ‎4.已知向量＝(1，0)，＝(-3，4)的夹角为，则sin2等于 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据向量夹角公式求出的值，然后求出，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎∵，‎ ‎∴，，故选C ‎【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题.‎ ‎5.已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在半径为的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆柱的底面半径、球的半径与球心到圆柱底面的距离构成直角三角形求出圆柱的底面半径为，再有体积公式求出圆柱的体积与球的体积即可.‎ ‎【详解】设圆柱的底面半径为，则，‎ 所以圆柱的体积为，‎ 又球的体积为 ‎ 所以球的体积与圆柱的体积的比 ‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查几何体的体积，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎6.以下四个命题：‎ ‎①“若，则”的逆否命题为真命题 ‎②“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 ‎③若为假命题，则，均为假命题 ‎④对于命题：，，则为：，‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①由原命题与逆否命题同真同假即可判断；‎ ‎②由函数在区间上为增函数”，则，即可判断；‎ ‎③由若为假命题，则，至少有一个为假命题即可判断出正误；‎ ‎④由的定义即可判断出正误；‎ ‎【详解】对于①，由于原命题“若，则”为真命题，即逆否命题也为真命题，故①对；‎ 对于②，“”是“函数在区间上为增函数”为真命题，但“函数在区间上为增函数”，则，故②对；‎ 对于③，若为假命题，则，至少有一个为假命题即可，故③错；‎ 对于④， 对于命题：，，由的定义可知：，，故④对；‎ 故选C ‎【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎7.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，上的点到左焦点的距离的最大值为，过的直线交于,两点，且的周长为，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意设椭圆方程为：，由，的周长为，求得、，即可得到所求的椭圆方程.‎ ‎【详解】依题意设椭圆的方程为：，‎ 上的点到左焦点的距离的最大值为，‎ ‎，‎ 的周长为，，‎ ‎，‎ 椭圆的方程为 ‎ 故选A ‎【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，需掌握椭圆的定义，求出，属于中档题.‎ ‎8.已知变量、之间的线性回归方程为，且变量、之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 可以预测，当时， B. ‎ C. 变量、之间呈负相关关系 D. 该回归直线必过点 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将的值代入回归直线方程可判断出A选项的正误；将的坐标代入回归直线方程可计算出实数的值，可判断出B选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C选项的正误；根据回归直线过点可判断出D选项的正误.‎ ‎【详解】对于A选项，当时，，A选项正确；‎ 对于B选项，，，将点的坐标代入回归直线方程得，解得，B选项错误；‎ 对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量、之间呈负相关关系，C选项正确；‎ 对于D选项，由B选项可知，回归直线必过点，D选项正确.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎9.已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线的渐近线为，所以，变形为，所以圆心为，所以双曲线方程为 考点：双曲线方程及性质 ‎10.已知，，，则的最小值是（ ）‎ A. 8 B. 12 C. 16 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的运算法则和基本不等式的性质可得.‎ ‎【详解】解：‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算法则及基本不等式，属于中档题.‎ ‎11.如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，若某科研小组在坝底点测得，沿着坡面前进40米到达点，测得，则大坝的坡角（）的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，可得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，进而由可得结果.‎ ‎【详解】因为，，所以.‎ 在中，由正弦定理得，解得.‎ 在中，由正弦定理得，‎ 所以.‎ 又，所以，‎ 所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查诱导公式，考查学生合理进行边角转化的能力，属于中档题.‎ ‎12.抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心率.‎ ‎【详解】由题意知，抛物线焦点，准线与x轴交点，双曲线半焦距，设点 是以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上，‎ 所以抛物线的准线，从而轴，所以，‎ ‎ ‎ 即 故双曲线的离心率为 故选A ‎【点睛】本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数求出，，由此能求出的值.‎ ‎【详解】函数，‎ ‎，，‎ ‎ ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.‎ ‎14.已知，是方程的两个实数根，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据根与系数之间的关系得到和的值，利用两角和的正切公式进行计算即可.‎ ‎【详解】，是方程的两个实数根，‎ ‎，，‎ 由，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查正切的两角和的公式，需熟记公式.‎ ‎15.已知点，抛物线：的焦点为，连接交抛物线于点，延长交的准线于点，若，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出在抛物线的准线上的射影为，根据确定的值，进而列出方程求得的值.‎ ‎【详解】解：依题意得焦点的坐标为，设在抛物线的准线上的射影为，连接，由抛物线的定义知，‎ 有，‎ 解得 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，属于基础题.‎ ‎16.已知数列满足：，，，且，函数，记，则数列的前项和为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意求出，再化简，根据求得，从而得出，‎ 再有即可求解.‎ ‎【详解】由，则 又，‎ 所以 ‎ 又，所以 ‎ 所以数列的前项和 ‎，‎ 因为 ‎ 所以 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题是数列与三角函数相结合的综合性题目，解决此题需理解题干中新定义，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知是各项均为正数的等比数列，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等比数列的通项公式求出即可求解. ‎ ‎（2）由（1）求出的通项公式，再有裂项相消法求和即可.‎ ‎【详解】解：（1）由已知：，‎ 即，所以或（舍去），‎ ‎（2）由（1）知：‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.‎ ‎18.2018年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等8省市开始实行新高考制度，从2018年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：‎ ‎（1）求该班数学成绩在的频率及全班人数；‎ ‎（2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分；‎ ‎（3）若规定分及其以上为优秀，现从该班分数在分及其以上的试卷中任取份分析学生得分情况，求在抽取的份试卷中至少有份优秀的概率.‎ ‎【答案】（1）频率为，全班人数为.（2）73.8；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图小矩形的面积即为频率，频数频率即得出全班人数. ‎ ‎（2）根据频率分布图平均数每个小矩形底边中点横坐标小矩形的面积，代入数据即可求解. ‎ ‎（3）列出基本事件，根据古典概型的概率求法即可求解.‎ ‎【详解】（1）频率为，频数=2，所以全班人数为.‎ ‎（2）估计平均分为：.‎ ‎（3）由已知得的人数为：（0.16+0.08）.‎ 设分数在的试卷为，，，，分数在的试卷为，.‎ 则从份卷中任取份，共有个基本事件，‎ 分别是，，，，，，，，，，，，，，，‎ 其中至少有一份优秀的事件共有个，‎ 分别是，，，，，，，，，‎ 在抽取的份试卷中至少有份优秀的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查了茎叶图、频率分布直方图以及古典概型的概率，属于综合性题目.‎ ‎19.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝c2，求sin C的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=.(2)先根据△ABC的面积S＝c2得到b＝c，‎ 再利用余弦定理得到a＝c，再利用正弦定理求出sin C的值．‎ ‎【详解】(1)因为asin B＝－bsin，所以由正弦定理得sin A＝－sin，‎ 即sin A＝－sin A－cos A，化简得tan A＝－，‎ 因为A∈(0，π)，所以A＝.‎ ‎(2)因为A＝，所以sin A＝，由S＝c2＝bcsin A＝bc，得b＝c，‎ 所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则a＝c，由正弦定理得sin C＝.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎20.如图，在三棱柱中，底面，、、、分别为，‎ ‎、、，中点，且，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意由，，证出即可证出平面；‎ ‎（2）先证出平面，再有平面即可证出；‎ ‎（3）过作于点，连接，可证出就是所求的角，在三角形中求解即可；‎ ‎【详解】（1）连接，，分别为，的中点且，‎ ‎，‎ 四边形是平行四边形，‎ 又平面，平面，‎ 平面.‎ ‎（2）在三棱柱中，‎ 平面，四边形为矩形．‎ 又，分别为，的中点，．‎ ‎．，平面． ‎ 又是中点，，‎ 在平面内 ，.‎ ‎（3）过作于点，连接，‎ 易证平面，，‎ 平面 从而就是所求的角. ‎ 由平面几何知识计算得，，. ‎ 直线与平面所成的角的正弦值为 ‎【点睛】本题考查了立体几何中线面平行、异面直线垂直、线面角，要证线面平行，则要证线线平行；证明异面直线垂直，需证线面垂直；求线面角的步骤“作、证、求”，此题是立体几何的综合性题目.‎ ‎21.已知数列的前项和为，且，函数对任意的都有，数列满足….‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，对于任意，不等式，恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）.；（2）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由求，根据得，再有得即可求出的通项公式；由，根据倒序相加法可求.‎ ‎（2）用分离参数法，根据（1）由得，令求出即可.‎ ‎【详解】解：（1）即 当时，，‎ 当时，，，即 是等比数列，首项为，公比为，.‎ ‎，.‎ ‎….‎ ‎….‎ ‎①+②，得，‎ ‎（2）， ‎ ‎…. ①‎ ‎… ②‎ ‎①－②得… ‎ 即. ‎ 要使得不等式恒成立，‎ 恒成立 对于一切的恒成立， ‎ 即 ，令， ‎ 则 当且仅当时等号成立，故.‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查由求的通项公式，倒序相加法求通项公式以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强.‎ ‎22.已知椭圆：（）的左，右顶点分别为，，长轴长为，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若为椭圆上异于，的任意一点，证明：直线，的斜率的乘积为定值；‎ ‎（3）已知两条互相垂直的直线，都经过椭圆的右焦点，与椭圆交于，和 ‎，四点，求四边形面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）定值，证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由长轴长为4可求，再由待定系数法把点代入椭圆方程即可求椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）设点，，点在椭圆上可得 ‎ 代入上式化简即可.‎ ‎（3）当，中有一条斜率不存在时，；‎ 当，的斜率都存在时，设过点的两条互相垂直的直线：，直线：，联立求出与，所以代入整理成关于的式子，求式子的值域即可.‎ ‎【详解】解：（1）由题意知：，‎ 椭圆的标准方程为. ‎ ‎（2）由已知，，设点，则 ‎，又在椭圆上，‎ 即，‎ ‎（定值）.‎ ‎（3）当，中有一条斜率不存在时，易求得；‎ 当，的斜率都存在时，设过点的两条互相垂直的直线：，直线：‎ 由得 显然，，‎ 则. ‎ 把上式中的换成得： ‎ 则四边形的面积为 令，则，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以四边形的面积的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥曲线中椭圆相关知识点，求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、弦长公式，同时考查了学生的计算能力，难度较大，综合性比较强.‎ ‎ ‎