高考文科数学专题复习练习2函数的定义域
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函数的定义域
1.(2015河北唐山一模,文13,函数的定义域,填空题)函数f(x)=2-x-2的定义域是 .
解析:由题意得2-x-2≥0,即2-x≥2,因为y=2x为R上的单调递增函数,所以-x≥1,即x≤-1,所以f(x)=2-x-2的定义域为(-∞,-1].
答案:(-∞,-1]
14
分段函数
1.(2015吉林长春质量监测(二),文16,分段函数,填空题)已知函数f(x)为偶函数且f(x)=f(x-4),又f(x)=-x2-32x+5,0≤x≤1,2x+2-x,1
0,x3+3,x≤0,则关于x的方程f(2x2+x)=a(a>2)的根的个数不可能为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:依题意,在坐标平面内画出函数y=f(t),t=2x2+x的大致图象.结合图象可知,当a>3时,关于t的方程f(t)=a有两个不等的实根t1,t2,且00,|x-1|,x≤0,则f(f(-3))=( )
A.0 B.1 C.2 D.log23
解析:因为f(-3)=|-3-1|=4,
所以f(f(-3))=f(4)=log24=2,故选C.
答案:C
4.(2015贵州适应性考试,文13,分段函数,填空题)已知函数f(x)=x2,x≤0,log3x,x>0,则f(9)= .
解析:f(9)=log39=2.
答案:2
5.(2015黑龙江哈尔滨第六中学二模,文15,分段函数,填空题)已知函数f(x)=3-x,x≤0,x,x>0,若函数g(x)=f(x)-12x-b有且仅有两个零点,则实数b的取值范围是 .
解析:由f(x)-12x-b=0得f(x)=12x+b,函数g(x)有且仅有两个零点等价于y=12x+b与f(x)的图象只有两个交点.
y'=12x,当y=12x+b与y=x相切时,令12x=12,得x=1,所以切点为(1,1),此时b=12,由图象可知0f(2x)的x的取值范围是 .
解析:结合函数图象求解.由函数f(x)的图象可得不等式f(1-x2)>f(2x)⇔1-x2>0,2x<0或1-x2>2x,2x≥0,
解得-1f(2x)的解集为(-1,2-1).
答案:(-1,2-1)
8.(2015江西重点中学盟校联考,文10,分段函数,选择题)若函数f(x)=x+3x,x≤0,13x3-4x+a3,x>0在其定义域上只有一个零点,则实数a的取值范围是( )
A.a>16 B.a≥16 C.a<16 D.a≤16
解析:当x≤0时,y=-x与y=3x的图象有一个交点,所以函数y=f(x)至少有一个零点.
而f(x)在其定义域上只有一个零点,
所以当x>0时,f(x)没有零点.
当x>0时,f'(x)=x2-4,令f'(x)=0得x=2,
所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,f(x)在x=2处取得最小值f(2)=a3-163>0,解得a>16,故选A.
答案:A
9.(2015山西大附中第五次月考,文12,分段函数,选择题)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数.当x≥0时,f(x)=54sinπ2x,0≤x≤1,14x+1,x>1,若关于x的方程5[f(x)]2-(5a+6)f(x)+6a=0(a∈R)有且仅有6个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )
A.00,若函数g(x)=f(x)-12x-b有且仅有两个零点,则实数b的取值范围是 .
解析:依题意,在坐标平面内画出函数y=f(x)的大致图象与直线y=12x,可知直线y=12x与函数y=f(x)的图象有唯一公共点;
结合图形可知,将该直线平移到与曲线y=x相切的过程中(不包括该切线),相应的直线与函数y=f(x)的图象有且仅有两个不同的公共点,
设此时的切线在y轴上的截距为m,切点坐标是(x0,y0),
则有12x0=12,x0=12x0+m,
解得x0=1,m=12.
因此,结合图形可知,所求的实数b的取值范围是0,12.
答案:02,若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0(a,b∈R)有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是( )
A.-52,-1
B.-52,-94
C.-52,-94∪-94,-1
D.-94,-1
解析:在坐标平面内画出函数y=f(x)的大致图象,
当t<0时,方程f(x)=t没有实根;
当t=0时,方程f(x)=t有唯一的实根;
当01,若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3互不相等),则实数x1+x2+x3的取值范围为 .
解析:不妨设x11,若方程f(x)=mx-12恰有四个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 .
解析:如图,在同一坐标系中作出y=f(x)与y=mx-12的图象,
设过点C0,-12的直线与曲线y=ln x(x>1)相切于点A(x0,y0),
则由y'=1x知切线的斜率kAC=1x0,切线方程为y-y0=1x0(x-x0),
将点C的坐标代入切线方程得
-12-y0=1x0(0-x0),
化简得y0=12.
于是由12=ln x0得x0=e,
则kAC=1e.
又kAB=12,所以满足条件的实数m的取值范围是120的图象恰好有3个不同的公共点,则实数k的取值范围是( )
A.(2-1,+∞)
B.(0,2-1)
C.(-2-1,2-1)
D.(-∞,-2-1)∪(2-1,+∞)
解析:作出函数f(x)=2-12x,x≤0,12x2-x+1,x>0的图象,直线y=kx与函数y=2-12x(x≤0)的图象有一个交点,
故要使直线与函数f(x)有三个交点,只需直线y=kx与函数y=12x2-x+1(x>0)的图象有两个交点,
即方程kx=12x2-x+1(x>0)有两个根,即方程x2-2(1+k)x+2=0的判别式Δ=4(1+k)2-8>0,
所以k>2-1或k<-2-1,
由函数图象可知k>0,所以k>2-1,故选A.
答案:A
15.(2015河北石家庄一模,文12,分段函数,选择题)已知函数f(x)=|lnx|,x>0,x2+4x+1,x≤0,若关于x的方程f2(x)-bf(x)+c=0(b,c∈R)有8个不同的实数根,则b+c的取值范围为( )
A.(-∞,3) B.(0,3] C.(0,3) D.[0,3]
解析:作出函数y=f(x)的图象如图所示,令t=f(x),函数f(x)=t的解的个数,亦即函数y=f(x)的图象与直线y=t的交点的个数.
而关于t的方程t2-bt+c=0至多有两个解t=t1,t=t2,
由于关于x的方程f2(x)-bf(x)+c=0有8个不同的解,
则f(x)=t1,f(x)=t2分别有四个不同的交点,
因此t1,t2∈(0,1),即关于t的方程t2-bt+c=0在(0,1)有两个不同的根,
则Δ=b2-4c>0,t1+t2=b∈(0,2),t1t2=c∈(0,1),f(0)=c>0,f(1)=1-b+c>0,即b2-4c>0,00.
在平面直角坐标系bOc中画出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示(不含边界),
令b+c=z,则目标函数等值线c=-b+z是斜率为-1的直线,
当它过M(2,1)时,zmax=3;
当它过N(0,0)时,zmin=0,故选C.
答案:C
16.(2015山西二测,文12,分段函数,选择题)已知函数f(x)=2x,x≤1,log2(x+1),x>1,且方程f2(x)-af(x)+2=0恰有四个不同的实根,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-22)∪(22,+∞)
B.(22,3)
C.(2,3)
D.(22,4)
解析:画出函数f(x)的图象如图所示,
若方程f2(x)-af(x)+2=0有四个不同的实数根,
则Δ=a2-4×2>0,1-a+2>0,22-2a+2≥0,10,函数g(x)是周期为2的偶函数且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
解析:在同一坐标系中作出y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,由图象可知当x>0时,有4个零点,当x≤0时,有2个零点,所以一共有6个零点,故选B.
答案:B
18.(2015江西赣州摸底考试,文16,分段函数,填空题)设函数f(x)=min{2x,|x-2|},其中min{a,b}=a,a≤b,b,b≤a.若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个交点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1+x2+x3的范围为 .
解析:作出函数f(x)的图象如图所示,
由y=2x,y=|x-2|,解得A(4-23,23-2).
由图象可得,当直线y=m与y=f(x)图象有三个交点时,m的取值范围为00,若f(a)=-1,则实数a的值为 .
解析:若a≤0,则-ea+1=-1,解得a=-1;
若a>0,则a-2=-1,解得a=1.
综上所述,a=±1.
答案:±1
22.(2015河南洛阳3月统一考试,文12,分段函数,选择题)已知函数f(x)=ex,x≤1,f(x-1),x>1.若方程f(x)-kx=1有两个不同实根,则实数k的取值范围为( )
A.e-13,e B.e-12,1∪(1,e-1]
C.e-13,1∪(1,e) D.e-12,e-1
解析:由题意得方程f(x)-kx=1有两个不同的实根等价于函数f(x)的图象与直线y=kx+1有两个交点.
在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象及直线y=kx+1,
由图易得当k=1时,函数f(x)的图象与直线y=kx+1在点(0,1)处相切,两曲线只有一个公共点;
当k>e-1时,两曲线只有一个公共点;
当k≤e-12时,两曲线的公共点的个数大于2.
综上所述,实数k的取值范围为e-12,1∪(1,e-1],故选B.
答案:B
23.(2015河南平顶山、许昌、新乡二调,文12,分段函数,选择题)已知函数f(x)=-x2+2x,x≤0,ln(x+1),x>0.若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1]
C.[-2,1] D.[-2,0]
解析:利用数形结合求解.
作出函数|f(x)|的图象如图所示,
当x≤0时,y=|f(x)|=x2-2x,则y'=2x-2,
所以在原点处的切线斜率为-2.
由图象可知,满足不等式|f(x)|≥ax的a的取值范围是[-2,0],故选D.
答案:D
24.(2015江西南昌一模,文16,分段函数,填空题)已知函数f(x)=ax-1,x≤0,lgx,x>0(a<0),若关于x的方程f(f(x))=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为 .
解析:利用分段函数的解析式求解.
由f(f(x))=0得f(x)=1有且仅有一个解,
当x>0时,f(x)=lg x=1,x=10适合,
所以x≤0时,f(x)=ax-1=1无解,
即x=a+1>0,a>-1.
又a<0,所以实数a的取值范围是(-1,0).
答案:(-1,0)
26.(2015广西南宁第二次适应性测试,文15,分段函数,填空题)已知函数f(x)=-2,x>0,-x2+bx+c,x≤0,若f(0)=-2,f(-1)=1,则函数g(x)=f(x)+x的零点个数为 .
解析:依题意得c=-2,-1-b+c=1,
解得b=-4,c=-2.
由g(x)=0得f(x)+x=0,
该方程等价于x>0,-2+x=0或x≤0,-x2-4x-2+x=0,
解得x=2或x=-1或x=-2.
因此函数g(x)=f(x)+x的零点个数为3.
答案:3
27.(2015河南郑州第二次质量检测,文11,分段函数,选择题)已知函数f(x)=x+2,x>a,x2+5x+2,x≤a,函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,1) B.[0,2] C.[-2,2) D.[-1,2)
解析:依题意得关于x的方程f(x)-2x=0有三个不同的实根,
所以关于x的方程x+2-2x=0(x>a)有唯一实根,
即a<2,且关于x的方程x2+5x+2-2x=0(x≤a),
即x2+3x+2=0(x≤a)有两个不等的实根,
即a≥-1,因此所求的实数a的取值范围是[-1,2),故选D.
答案:D
15
确定函数的单调性(或单调区间)
1.(2015贵州贵阳监测考试(一),文3,确定函数的单调性,选择题)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=1x B.y=e-x
C.y=lg |x| D.y=-x2+1
解析:利用排除法求解.
函数y=1x是奇函数,排除A;
函数y=e-x是非奇非偶函数,排除B;
函数y=lg |x|在(0,+∞)上是增函数,排除C;
函数y=-x2+1是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,D正确,故选D.
答案:D
2.(2015广西桂林、防城港一联,文10,确定函数的单调性,选择题)下列函数中,当00,x∈(0,1),g(x)=lnxx,x∈(0,1)单调递增,B正确;
若f(x)=x2+1,则g(x)=x+1x,x∈(0,1)单调递减,排除C;
若f(x)=12x,则g(x)=12x·x,x∈(0,1)单调递减,排除D,故选B.
答案:B
17
单调性的应用
1.(2015吉林长春质量监测(二),文4,单调性的应用,选择题)已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a的取值范围是( )
A.(-∞,1] B.(-∞,-1] C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
解析:函数f(x)在(-∞,-a)上是单调函数,所以-a≥-1,解得a≤1,故选A.
答案:A
2.(2015贵州贵阳监测考试(一),文12,单调性的应用,选择题)定义域为R的函数f(x)对任意x都有f(x)=f(4-x),且其导函数f'(x)满足(x-2)f'(x)>0,则当2f(2m)>f(log2m)
B.f(log2m)>f(2m)>f(2)
C.f(2m)>f(log2m)>f(2)
D.f(2m)>f(2)>f(log2m)
解析:利用数形结合求解.由f(x)=f(4-x)得函数f(x)的图象关于直线x=2对称,
且由(x-2)f'(x)>0可得函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,
又2f(log2m)>f(2),故选C.
答案:C
3.(2015广西柳州3月模拟,文16,单调性的应用,填空题)设x∈R,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数x,都有f[f(x)-ex]=e+1成立,则f(2)的值为 .
解析:依题意,f(x)-ex是一个常数,
设为t,即f(x)-ex=t,
则有f(t)=e+1,f(t)-et=t,e+1-et=t,
即et+t=e+1(注意到函数g(x)=ex+x在R上是增函数,且g(t)=et+t=g(1)),
所以t=1,f(x)=ex+1,f(2)=e2+1.
答案:e2+1
4.(2015贵州适应性考试,文3,单调性的应用,选择题)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=|x+2| B.y=|x|+2
C.y=-x2+2 D.y=12|x|
解析:利用排除法求解.函数y=|x+2|是非奇非偶函数,排除A;
函数y=-x2+2,y=12|x|在(0,+∞)上都是单调递减函数,排除C和D,故选B.
答案:B
5.(2015东北三省三校二联,文12,单调性的应用,选择题)已知f(x)=x4+e|x|,则满足不等式2f(ln t)-fln1t≤f(2)的实数t的集合为( )
A.[e-1,e] B.[e-2,e2]
C.[0,e2] D.[e-2,e]
解析:依题意,f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,且f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
2f(ln t)-fln1t=2f(ln t)-f(-ln t)
=2f(ln t)-f(ln t)=f(ln t),
所以f(ln t)≤f(2),f(|ln t|)≤f(2),|ln t|≤2,-2≤ln t≤2,e-2≤t≤e2,即实数t的集合为[e-2,e2],故选B.
答案:B
6.(2015河南郑州第三次质量检测,文16,单调性的应用,填空题)已知函数f(x)=2 015x-log2 015(x2+1-x)-2 015-x+2,则关于x的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集为 .
解析:记F(x)=f(x)-2
=2 015x-2 015-x-log2 015(x2+1-x),
则F(-x)=2 015-x-2 015x-log2 015(x2+1+x)
=2 015-x-2 015x-log2 0151x2+1-x
=2 015-x-2 015x+log2 015(x2+1-x)=-F(x),
所以F(x)为奇函数,且F(x)=2 015x-2 015-x-log2 0151x2+1+x为增函数.
所以F(x)在R上为单调递增的奇函数.
所以f(3x+1)+f(x)-4>0⇔f(3x+1)-2+f(x)-2>0⇔F(3x+1)+F(x)>0.
因为F(3x+1)>F(-x),
所以3x+1>-x,x>-14.
答案:-14,+∞
7.(2015河北石家庄一检,文12,单调性的应用,选择题)设函数f(x)=ex+2x-a(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1],使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是( )
A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1]
解析:由题意得f(x)为R上的增函数,
若f(f(b))=b成立,则f(b)=b,
否则不妨设f(b)=cb也不成立,所以f(b)=b.
则问题等价于函数f(x)=ex+2x-a的图象与直线y=x在[0,1]上有交点,
即存在x∈[0,1],使得ex+2x-a=x成立,即a=ex+x在[0,1]上存在零点,
又因为g(x)=ex+x为R上的增函数,
所以gmax(x)=g(1)=e+1,gmin(x)=g(0)=1,
所以a的取值范围为[1,1+e],故选B.
答案:B
8.(2015河北衡水中学二模,文3,单调性的应用,选择题)定义在R上的奇函数f(x)在[-1,0]上单调递减,则下列关系式正确的是( )
A.0a>c B.a>b>c
C.b>c>a D.c>b>a
解析:因为log1313log1212=1.
所以b>a>c.故选A.
答案:A
10.(2015江西重点中学盟校联考,文8,单调性的应用,选择题)已知函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)=sin x-x,设a=f-12,b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为( )
A.b0,f(1)=32>0,
所以对任意n∈N,f(n)>0.
所以对任意n1,n2∈N,若n12时,f(x)=x2+1,则当x<2时,f(x)=( )
A.x2+1 B.x2-8x+5
C.x2+4x+5 D.x2-8x+17
解析:因为函数f(x+2)是R上的偶函数,所以函数f(x)关于x=2对称,
所以f(x)=f(4-x).
又因为当x>2时,f(x)=x2+1,
则当x<2时,-x>-2,4-x>2,
所以f(x)=f(4-x)=(4-x)2+1=x2-8x+17.
所以当x<2时,f(x)=x2-8x+17,故选D.
答案:D
3.(2015山西3月质量监测,文9,单调性的应用,选择题)若关于x的不等式4ax-1<3x-4(a>0,且a≠1)对于任意的x>2恒成立,则a的取值范围为( )
A.0,12 B.0,12
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
解析:由题意得不等式4ax-1<3x-4在(2,+∞)上恒成立等价于ax-1<34x-1在(2,+∞)上恒成立,
即ax-1<12在(2,+∞)上恒成立.
当a≥1时,显然不成立;
当0x2 B.x1+x2=0
C.x10时,函数f(x)单调递增,
所以f(x1)0时,f(x)=log2x,则f(-8)的值为( )
A.3 B.13 C.-13 D.-3
解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-8)=-f(8)=-log28=-3,故选D.
答案:D
15.(2015辽宁大连双基测试,文7,奇偶性的应用,选择题)已知函数f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=2x2-1,则f(1)的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
解析:依题意得f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-1]=-1,故选B.
答案:B
16.(2015甘肃第二次诊断考试,文9,奇偶性的应用,选择题)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,4)时,f(x)=(log2 015888)x-2,则f(sin 1)与f(cos 1)的大小关系为( )
A.f(sin 1)f(cos 1) D.不确定
解析:由f(x)=f(x+2)得函数的周期为2,且x∈[3,4),f(x)单调递增,所以x∈[-1,0),f(x)也单调递增,又函数是偶函数,则x∈(0,1],f(x)单调递减,又1>sin 1>cos 1>0,所以f(sin 1)0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为 .
解析:依题意,f(x)=tx2+2x+t2+sinxx2+t
=t+2x+sinxx2+t.
因为y=2x+sinxx2+t为奇函数,
故y=2x+sinxx2+t的最大值与最小值之和为0,
故M+N=0+2t=4,解得t=2.
答案:2
19.(2015宁夏银川一中二模,文16,奇偶性的应用,填空题)已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=x+1x,且当x∈-32,-12时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值是 .
解析:依题意,f(x)在区间12,1上是减函数,在区间1,32上是增函数,
因此f(x)在12,32上的最小值与最大值分别等于f(1)=2,maxf12,f32=52.
又函数f(x)是偶函数,因此当x∈-32,-12时,n≤2,m≥52,m-n的最小值是52-2=12.
答案:12
20.(2015宁夏银川二中一模,文15,奇偶性的应用,填空题)设函数f(x)=lg21-x+a是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是 .
解析:依题意,f(0)=lg(2+a)=0,解得a=-1,
故f(x)=lg21-x-1=lg1+x1-x,
则由f(x)<0得1+x1-x>0,1+x1-x<1,解得-11,b=0.32∈(0,1),c=log0.32<0,所以c0时,f(x)=log2x,则f(-8)的值为( )
A.3 B.13 C.-13 D.-3
解析:由f(-8)=-f(8)得f(-8)=-log28=-3,故选D.
答案:D
3.(2015东北三省三校二联,文6,对数的运算,选择题)设a=1213,b=log132,c=log123,则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>a>b
解析:依题意,a=1213>0,-1=-log33b>c,故选A.
答案:A
4.(2015河南郑州第二次质量检测,文9,对数的运算,选择题)若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则1a+1b的值为( )
A.36 B.72 C.108 D.172
解析:设2+log2a=t,则有a=2t-2,b=3t-3,a+b=6t,
1a+1b=a+bab=6t2t-2·3t-3=4×27×6t6t=108,故选C.
答案:C
5.(2015江西南昌二模,文14,对数的运算,填空题)已知幂函数y=f(x)的图象过点A(8,2),则flog258+log12160等于 .
解析:设f(x)=xa,将(8,2)代入得8a=2,得a=13.
又因为log258+log12160=log258-log2160
=log258×1160=log21256=-8,
所以f(-8)=(-8)13=-2.
答案:-2
6.(2015江西赣州摸底考试,文10,对数的运算,选择题)已知a=log42,b=log63,c=lg 5,则( )
A.alog66=12,c=lg 5>lg10=12.
又b=1-log62,c=1-lg 2,log62>lg 2,∴bb>a B.b>c>a
C.a>b>c D.b>a>c
解析:利用数形结合思想求解.
因为x∈(e-1,1),所以ln x∈(-1,0),12lnx∈(1,2),eln x=x∈(e-1,1),所以b>c>a,故选B.
答案:B
4.(2015辽宁东北育才学校五模,文4,对数函数的性质及应用,选择题)已知log2a>log2b,则下列不等式一定成立的是( )
A.1a>1b B.log2(a-b)>0
C.2a-b<1 D.13a<12b
解析:因为log2a>log2b,故a>b>0,
故13a<13b<12b,故选D.
答案:D
27
幂函数的图象与性质
1.(2015甘肃兰州实战,文5,幂函数的图象与性质,选择题)已知实数x,y满足axy3
B.sin x>sin y
C.ln(x2+1)>ln(y2+1)
D.1x2+1>1y2+1
解析:依题意得x>y,因此有x3>y3,故选A.
答案:A
29
函数图象的辨识
1.(2015辽宁大连双基测试,文10,函数图象的辨识,选择题)函数f(x)=lg1|x+1|的图象大致为( )
解析:依题意,当x<-1时,f(x)=lg-1x+1是增函数;
当x>-1时,f(x)=lg1x+1=-lg(x+1)是减函数,结合各选项可知D正确,故选D.
答案:D
2.(2015黑龙江哈尔滨第六中学二模,文11,函数图象的辨识,选择题)设曲线y=x2上任一点(x,y)处的切线的斜率为g(x),则函数h(x)=g(x)cos x的部分图象可以为( )
解析:因为h(x)=g(x)cos x=2xcos x为奇函数,所以可排除B,D,且hπ4=g(x)cos x=π2cosπ4>0,可排除C,故选A.
答案:A
3.(2015江西南昌二模,文11,函数图象的辨识,选择题)已知函数f(x)=2ex+1+sin x(e为自然对数的底数),则函数y=f(x)在-π3,π3上的大致图象是( )
解析:由题意知f'(x)=-2ex(ex+1)2+cos x,
因为2ex(ex+1)2=2exe2x+2ex+1=2ex+1ex+2≤12,
当且仅当ex=1ex,即x=0时取等号,
在-π3,π3上12≤cos x≤1,
所以f'(x)=-2ex(ex+1)2+cos x>-12+12=0,
即f(x)在-π3,π3上为单调递增函数,故选A.
答案:A
5.(2015山西四校三联,文9,函数图象的辨识,选择题)已知函数f(x)=3x,x≤1,log13x,x>1,则函数y=f(1-x)的大致图象是( )
解析:依题意,当1-x≤1,即x≥0时,f(1-x)=31-x是单调递减函数;
当1-x>1,即x<0时,f(1-x)=log13(1-x)是单调递增函数,结合各选项知,故选D.
答案:D
6.(2015山西太原二模,文9,函数图象的辨识,选择题)已知函数f(x)的导函数在(a,b)上的图象关于直线x=a+b2对称,则函数y=f(x)在[a,b]上的图象可能是( )
解析:因为函数f(x)的导函数的图象关于直线x=a+b2对称,所以函数f(x)的图象关于点a+b2,fa+b2中心对称,只有D选项符合,故选D.
答案:D
7.(2015广西南宁第二次适应性测试,文12,函数图象的辨识,选择题)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(00,a≠1)与y=xb的图象如图,则下列不等式一定成立的是( )
A.ba>0
B.a+b>0
C.ab>1
D.loga2>b
解析:由函数图象可知a>1,b<0,所以ab<1,排除C;A,B项中的不等式未必成立;loga2>0>b,故选D.
答案:D
2.(2015山西二测,文16,函数图象的应用,填空题)已知函数f(x)=x3-6x2+9x-2,给出以下命题:
①若直线y=a与y=f(x)的图象有三个不同交点,则实数a的取值范围是(-2,2);
②若函数y=f(x)+3bx不存在单调递减区间,则实数b的取值范围是(1,+∞);
③过点M(0,2)且与y=f(x)相切的直线有三条;
④方程f(x)=22-x的所有实根的和为16.
其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).
解析:由题意得f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),
所以函数f(x)在x=1处取得极大值2,在x=3处取得极小值-2,画出函数f(x)的大致图象如图所示,
由图易得若直线y=a与y=f(x)的图象有三个不同的交点,
则实数a的取值范围是(-2,2),①正确;
因为y=f(x)+3bx=x3-6x2+(9+3b)x-2,
则y'=3x2-12x+9+3b,若函数y=x3-6x2+(9+3b)x-2不存在单调递减区间,
则有122-12(9+3b)≤0,解得b≥1,所以②错误;
设过点M(0,2)的直线与y=f(x)相切于点(x0,y0),
则有3x02-12x0+9=y0-2x0,
又因为点(x0,y0)在曲线y=f(x)上,
所以y0=x03-6x02+9x0-2,代入上式得2x03-6x02+4=(x0-1)[x0-(1+3)][x0-(1-3)]=0,
解得x0=1或x0=1+3或x0=1-3,
所以过点M(0,2)的直线与y=f(x)相切的直线有三条,③正确;
由题意得函数f(x)=x3-6x2+9x-2关于点(2,0)中心对称,且g(x)=22-x也关于点(2,0)中心对称,
所以方程f(x)=22-x的所有实数根的和为2×2×2=8,④错误.
综上所述,真命题的序号为①③.
答案:①③
3.(2015江西九校联合考试,文11,函数图象的应用,选择题)函数f(x)=a,x=1,12|x-1|+1,x≠1,若关于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,则a的取值范围是( )
A.(1,2) B.1,32∪32,2
C.32,2 D.1,32
解析:令f(x)=t,则2t2-(2a+3)t+3a=0,
即(2t-3)(t-a)=0,t=32或t=a.
依题意,在坐标平面内画出函数y=f(x)(注意当x≠1时,f(x)的值域为(1,2))的大致图象.
若a=32,此时方程f(x)=32有三个不同的实根,
关于x的方程 2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0仅有三个不同的实数解,
因此a≠32结合图象可知,满足题意的实数a的取值范围是1,32∪32,2,故选B.
答案:B
31
函数图象的应用
4.(2015甘肃兰州 实战,文12,函数图象的应用,选择题)已知函数f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时,yx+1的取值范围是( )
A.0,43 B.0,34
C.14,43 D.14,34
解析:f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f'(x)=1+cos x≥0,
所以函数为奇函数,且在R上是增函数.
由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),y2-2y+3≤-x2+4x-1,
即(x-2)2+(y-1)2≤1,
其表示圆C:(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.
yx+1表示满足y≥1,(x-2)2+(y-1)2≤1的点P与定点A(-1,0)连线的斜率.
结合图形可知,直线斜率的最小值是1-03-(-1)=14,
直线斜率的最大值即等于切线AP的斜率,
此时tan∠CAx=13,tan∠PAx=tan 2∠CAx=2tan∠CAx1-tan2∠CAx=34,
因此yx+1的取值范围是14,34,故选D.
答案:D
5.(2015江西三校联考,文5,函数图象的应用,选择题)函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=x+sin x
B.f(x)=cosxx
C.f(x)=xcos x
D.f(x)=xx-π2x-3π2
解析:图象关于原点对称且经过原点,故函数f(x)是奇函数,排除B,D;
又fπ2=0,排除A,故选C.
答案:C
6.(2015宁夏银川一中二模,文12,函数图象的应用,选择题)关于方程12x+sin x-1=0,给出下列四个命题:
①该方程没有小于0的实数解;
②该方程有无数个实数解;
③该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数根;
④若x0是方程的实数根,则x0>-1.
其中所有正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:依题意,在坐标平面内画出函数y=12x与y=1-sin x的大致图象,结合图象可知,它们的图象有横坐标小于0的公共点(这样的公共点有且仅有一个),它们的图象有无穷多个公共点(这些公共点的横坐标均大于-1),因此正确命题的序号是②③④,故选C.
答案:C
7.(2015甘肃第二次诊断考试,文16,函数图象的应用,填空题)已知函数f(x)满足f(x)=2f1x,当x∈[1,3],f(x)=ln x,若在13,3内,函数g(x)=f(x)-ax与x轴有3个不同的交点,则实数a的取值范围是 .
解析:利用数形结合思想求解.
由题意可得当x∈13,3时,f(x)=2f1x=-2ln x.
作出函数f(x)在x∈13,3内的图象如图所示.
函数g(x)=f(x)-ax,x∈13,3与x轴有3个不同交点,
即y=f(x),y=ax的图象有3个不同交点,
当直线y=ax经过点(3,ln 3)时,a=ln33;
当直线y=ax与f(x)=ln x,x∈[1,3]相切时,
设切点为(x0,ln x0),x0∈[1,3],
则切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0),
该切线经过原点,则-ln x0=-1,解得x0=e,
此时a=1e,由图象易得实数a的取值范围是ln33,1e.
答案:ln33,1e
9.(2015辽宁东北育才学校五模,文11,函数图象的应用,选择题)若曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f(x,y)=0的“自公切线”.下列方程:①x2-y2=1;②y=x2-|x|;③y=3sin x+4cos x;④|x|+1=4-y2对应的曲线中存在“自公切线”的有( )
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
解析:对于函数y=x2-|x|,作出函数的图象如图1所示,观察可知,其在A,B两点处的切线重合,故该函数存在“自公切线”,故②符合题意,排除C,D选项;
图1
作出函数y=3sin x+4cos x的图象如图2所示,观察可知,其在C,D两点处的切线重合,故该函数存在“自公切线”,故③符合题意,排除A选项;
图2
综上所述,故选B.
答案:B
32
函数零点所在区间的判断
1.(2015山西太原模拟(一),文9,函数零点所在区间的判断,选择题)已知实数a>1,01,00,
则f(x)的零点在(-1,0)内,故选B.
答案:B
33
函数零点、方程根的个数
1.(2015东北三校一联,文12,函数零点、方程根的个数,选择题)函数f(x)=lg(|x|+1)-sin 2x的零点个数为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
解析:令f(x)=lg(|x|+1)-sin 2x=0,
解得lg(|x|+1)=sin 2x,
在同一直角坐标系中作出y=lg(|x|+1),y=sin 2x的图象如图所示.
观察可知两个函数的图象共有12个交点,即函数f(x)=lg(|x|+1)-sin 2x有12个零点,故选D.
答案:D
2.(2015河南实验中学质量检测,文12,函数零点、方程根的个数,选择题)定义在(1,+∞)上的函数f(x)满足下列两个条件:
(1)对任意的x∈(1,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;
(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.
记函数g(x)=f(x)-k(x-1),若函数g(x)恰有两个零点,则实数k的取值范围是( )
A.[1,2) B.43,2
C.43,2 D.43,2
解析:利用数形结合思想求解.
当x∈(2,4]时,x2∈(1,2],
所以f(x)=2fx2=22-12x=4-x,
同理,可得f(x)=2b-x,x∈(b,2b].
函数g(x)=f(x)-k(x-1)恰有两个零点,即y=f(x)与y=k(x-1)的图象恰好有两个交点,直线y=k(x-1)恒过点M(1,0),A(2,2),B(4,4),kMA=2,kMB=43,
由图易得若函数g(x)恰有两个零点,则实数k的取值范围是43,2,故选D.
答案:D
3.(2015河南十校测试(四),文16,函数零点、方程根的个数,填空题)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数,又是周期为3的周期函数,当x∈0,32时,f(x)=sin πx,则函数f(x)在[0,6]上的零点个数是 .
解析:利用函数的奇偶性、周期性、单调性与函数的零点求解.
当-320,a≠1)有且只有两个解,则( )
A.b=1 B.b=0
C.b>1 D.b>0
解析:利用数形结合求解.
方程|loga|x+b||=b有且只有两个解,
即函数y=|loga|x+b||与y=b的图象有且只有两个交点,作出函数图象可得当b>0时,有4个交点,b<0时无交点,b=0时有2个交点,故选B.
答案:B
2.(2015甘肃第二次诊断考试,文12,函数零点的综合应用,选择题)已知函数f(x)=lnxx-x2+2ex-k有且仅有一个零点,则k的值为( )
A.e+1e2 B.e+1e
C.e2+1e D.e2+1e2
解析:利用数形结合思想求解.
因为函数f(x),x∈(0,+∞)有且仅有一个零点,
所以方程lnxx-x2+2ex-k=0,x∈(0,+∞)有且仅有一个实数解,
k=lnxx-x2+2ex,x∈(0,+∞),
则函数y=k,y=lnxx-x2+2ex,x∈(0,+∞)的图象有且仅有一个交点.
因为y'=1-lnxx2+2(e-x),
当x=e时,y'=0,x∈(0,e),y'>0,函数单调递增,
x∈(e,+∞),y'<0,函数单调递减,
所以当x=e时,函数取得极大值e2+1e,且x趋向0和正无穷大时,都有y→-∞,
所以当两个函数图象有且仅有一个交点时,k=e2+1e,故选C.
答案:C
3.(2015广西桂林、防城港一联,文16,函数零点的综合应用,填空题)已知函数f(x)=ex-ax有且只有一个零点,则实数a的取值范围为 .
解析:利用数形结合思想求解.
函数f(x)=ex-ax只有一个零点,即方程ex-ax=0只有一个实数解,1a=xex,
即函数y=xex,y=1a的图象只有一个交点,
因为y'=xex'=1-xex,所以当在x=1时函数取得最大值1e,
作出函数图象如图所示,则1a<0或1a=1e,解得a<0或a=e.
答案:(-∞,0)∪{e}
