四川省自贡市富顺县第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
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高中数学试卷
一、选择题（共12小题）
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，利用交集定义直接求解．
【详解】集合，，所以集合．
【点睛】本题主要考查集合交集的运算．
2.幂函数的图象经过，则解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设幂函数为，代入题设中的点可求的大小，从而得到幂函数的解析式.
【详解】设幂函数为，则，故，所以所求幂函数为.
故选：B.
【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，一般用待定系数法可求幂函数的幂指数，此类问题属于基础题.
3.已知函数，则的值是
A. –1 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的解析式可得f（）的值，从而求得f[f（）]的值．
【详解】由题意可得，f（）==–1，∴f（f（））=f（–1）=3–1=，
故选C．
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
4.函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性可求函数的值域.
【详解】∵为增函数，且，
而，∴．∴函数的值域为．
故选：C．
【点睛】本题考查指数函数在给定范围上的值域的求法，解决此类问题关键是要熟悉指数函数的单调性，本题计算量极小，属于容易题．
5.设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把换成以为底的对数，再利用对数的运算性质用表示即可.
详解】∵，，∴．
故选：C．
【点睛】本题考查对数的换底公式、对数的运算性质，注意根据题设条件中的对数的形式选择合适的底的对数去表示目标对数，此类问题属于基础题.
6.已知，，且Ü，满足这样的集合的个数（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断出中必有的元素，余下元素构成的集合为的非空子集，利用非空子集个数的计算方法可得满足条件的的个数.
【详解】因为Ü，故且，
又，故中除了这两个元素，余下元素构成的集合为的非空子集，
故满足条件的集合的个数为，
故选：B.
【点睛】本题考查集合的包含关系及非空子集的个数计算，注意根据包含关系明确集合中哪些元素是明确的，再找出不确定的元素满足的条件，另外，要掌握有限集的子集（非空子集、真子集、非空真子集等）个数的计算公式.
7.函数f（x）=x–3+ex的零点所在的区间是（ ）
A. （0，1） B. （1，3） C. （3，4） D. （4，+∞）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据零点的性质，依次验证每个选项即可得解.
【详解】,
,,
所以函数 在区间上有零点.
故选A.
【点睛】本题考查的是函数零点存在性定理，是基础题.
8.函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，得到，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；再由函数的单调性，排除A，即可得到答案.
【详解】由题意，函数，可得，
即，所以函数偶函数，图象关于对称，排除B、C；
当时，，则＞0，
所以函数在上递增，排除A，
故选.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9.函数f（x）=ax–b的图象如图所示，其中a，b为常数，则loga（1–b）的取值
A. 恒等于0 B. 恒小于0
C. 恒大于0 D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数单调性可得，由图象与轴的交点为，可得即，从而可判断的取值范围.
【详解】由图象为减函数可知，0
0，1–b>1．
∴loga（1–b）<0．故选B．
【点睛】本题考查的知识点是对数函数的性质,指数函数的图象与性质的应用，意在考查数形结合思想的应用，以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
10.已知函数的图象恒过定点，且函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数函数图像的性质可确定定点，再根据二次函数的性质可求实数的取值范围.
【详解】∵函数的图象恒过定点，令，求得，，故它的图象经过定点，∴，．
故函数，
因为在上单调递减，∴，∴，
故选：B．
【点睛】本题考查含参数的对数型复合函数的图象过定点问题、二次函数的单调性，前者是在函数图象上找一个与参数无关的点（即真数部分整体为1），后者可根据开口方向和对称轴的位置来考虑．
11.已知，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数的化简公式得到,由指数的运算公式得到=，由对数的性质得到>0,，进而得到结果.
【详解】已知,=,>0,
进而得到.
故答案为A.
【点睛】本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式做差和0比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判断最值和0的关系.
12.设且，函数在上是增函数，则的取值范围（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
原函数可看成和的复合函数，分和分别讨论、的单调性后可得实数的取值范围.
【详解】令，则，所以的图像如图所示：
当时，由复合函数的单调性可知，区间为
或的子集，所以或，故有.
当时，由复合函数的单调性可知，
所以且解得，综上所述或，
故选：A.
【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，一般用“同增异减”的方法来判断复合函数的单调性或内函数、外函数中的某一个函数的单调性，注意
恒成立的要求.
二、填空题（共4小题）
13.函数的定义域为_______________；
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可.
【详解】由题意得：，解得，
故函数的定义域是.
【点睛】该题考查的是有关求函数的定义域的问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有偶次根式要求被开方式大于等于零，对数式要求真数大于等于零，列不等式组求解即可.
14.为上的奇函数，当时，，则时，________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，则，利用可求时的解析式.
【详解】根据题意，设，则，则，
又由为上的奇函数，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及到函数解析式的计算，注意求另一侧的解析式时需“求哪设哪”（如该题中求时的解析式，则需设），此类问题属于基础题.
15.已知集合，，且，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】
由题意首先利用集合A中元素的互异性可确定，然后结合集合相等的充分必要条件求得实数a,b的值即可确定a+b的值.
【详解】由集合中元素的互异性，可知 ，，所以，
所以 ， ，
又，所以，，即，，所以.
【点睛】本题主要考查集合相等的充分必要条件及其应用，集合元素的互异性及其应用，指数幂的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16.已知函数，若定义在上的奇函数满足，且，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据解析式的形式可判断出，而根据及为奇函数可判断为周期函数且周期为，从而可求.
【详解】∵
，.
∵，，
∴
.
又∵，即，且为奇函数，
∴，∴，
∴，∴函数为周期函数且周期，
∴.
【点睛】本题考查函数奇偶性、对称性与周期性的综合运用，注意如下常见的结论：
（1）如果为偶函数，且的图象关于直线对称，则为周期函数且周期为；
（2）如果为偶函数，且的图象关于点对称，则为周期函数且周期为；
（3）如果为奇函数，且的图象关于点对称，则为周期函数且周期为；
（4）如果为奇函数，且的图象关于直线对称，则为周期函数且周期为.
三、解答题（共6小题）
17.计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）26；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用指数幂的运算性质计算即可.
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
【点睛】本题考查指数和对数的运算，解决此类问题的关键是熟悉指对数的运算性质，它们属于基础题．
18.记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（1）若，求和；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出分式不等式和绝对值不等式的解集后可求它们的交集和并集.
（2）根据集合的包含关系可得区间端点对应的不等式关系，解不等式组后可得实数的取值范围.
【详解】（1），
当时，，
，；
（2）因为，所以
则，所以，
又，所以.
【点睛】本题考查集合的交集、并集以及含参数的集合的包含关系，注意根据包含关系求参数的取值范围时，需关注不同区间的对应端点是否可以重合，还要留意含参数的集合是否为空集或全集.
19.已知函数f（x）=+lg（3x）的定义域为M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M时，求g（x）=4x-2x+1+2的值域．
【答案】（Ⅰ）（-1，2]；（Ⅱ）[1，10].
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据二次根式有意义条件，及对数函数真数大于0的条件，列出不等式，解不等式组即可得到定义域M．
（Ⅱ）将g（x）配方，化为关于2x的二次函数型函数，根据x的取值范围，即可得到函数的值域．
【详解】（Ⅰ）要使f（x）有意义，则，
∴-1＜x≤2，
∴M=（-1，2]，
（Ⅱ）g（x）=4x-2x+1+2=（2x）2-2•2x+2=（2x-1）2+1；
∵x∈（-1，2]；
∴；
∴2x=1，即x=0时，g（x）min=1；
2x=4，即x=2时，g（x）max=10；
∴g（x）的值域为[1，10]．
【点睛】本题考查了定义域的求法，指数型二次函数值域的求解，属于基础题．
20.某股票在30天内每股的交易价格（元）与时间（天）组成有序数对，点落在如图所示的两条线段上，该股票在30天内的日交易量（万股）与时间（天）的部分数据如表所示：
（1）根据提供的图象，写出该股票每股的交易价格与时间所满足的函数关系式；
（2）根据表中数据确定日交易量与时间的一次函数关系式；
（3）在（1）（2）的结论下，若该股票的日交易额为（万元），写出关于的函数关系式，并求在这30天中第几天的交易额最大，最大是多少？
【答案】（1）；（2），，；（3）第15天的交易额最大，最大是125万元
【解析】
分析】
（1）根据图像，直接写出分段函数
（2））设，代入数据，计算得到答案.
（3）根据（1）（2）得到，分别计算最大值得到函数最大值.
【详解】（1）根据图像，直接写出分段函数：．
（2）设（，为常数），把，代入，
得，解得．
所以日交易量与时间的一次函数关系式为，，．
（3）由（1）（2），可得
，
即．
当，时，有最大值，即，此时；
当，时，随的增大而减小，
．
所以这30天中的第15天的交易额最大，最大是125万元．
【点睛】本题考查了函数的应用，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.
21.设的定义域为，对任意都有，且时，，又．
（1）求、；
（2）求证：为上减函数；
（3）解不等式．
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用赋值法可求.
（2）利用单调性的定义可证明为上的单调递减函数.
（3）利用（2）的单调性可得满足的不等式组，解该不等式组后可得的取值范围.
【详解】（1）取，则，∴；
∴；
（2）设，则.
由已知条件得：；
∴在定义域上为单调递减函数.
（3）由（1）知，，
可将原不等式变成：即，
∴根据的单调性及定义域得：，解得，
原不等式的解集为：．
【点睛】本题考查抽象函数的性质及其应用，求抽象函数在一些特殊点处的函数值时，可根据题设条件和抽象函数满足的运算规律合理赋值，而抽象函数的单调性必须通过定义来证明，在证明过程中应利用抽象函数满足的运算规律来转化以便于定号，解函数不等式必须利用函数的单调性去掉对应法则，此处应注意函数定义域的限制要求.
22.已知函数（且）.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）若，判断在的单调性并用复合函数单调性结论加以说明；
（3）若，是否存在，使在值域为？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）是奇函数，证明见解析；（2）在上单调递减，见解析（3）存在，．
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的定义可判断该函数为奇函数.
（2）令，可判断此函数为增函数，而外函数为减函数，由复合函数单调性的判断方法可知原来的函数为上的减函数.
（3）根据函数的单调性可把的存在性问题转化为方程有两正根，利用根分布可求实数的取值范围.
【详解】（1）是奇函数，证明如下：
由解得或，
所以的定义域为，关于原点对称．
∵，
故为上的奇函数.
（2）令，则在上为单调递增函数.
因为，故为减函数，
故复合函数为上为单调递减函数.
（3）由（2）知，当时，在上单调递减，则.
假设存在，使在的值域为．
则有，∴．
所以，是方程的两正根，
整理得在有2个不等根和．
令，则在有2个零点，
，解得，故的取值范围为．
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性及二次函数的零点.函数的奇偶性应该根据奇偶性定义进行判断，注意考虑函数定义域的对称性.复合函数的单调性应该依据“同增异减”的方法来判断.满足条件的定义域的存在性问题应根据函数的单调性转化为二次函数的零点问题，再利用根分布求出参数的取值范围.
