数学卷·2018届河南省驻马店市西平高中高二上学期第四次月考数学试卷(理科) (解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届河南省驻马店市西平高中高二上学期第四次月考数学试卷(理科) (解析版)

‎2016-2017学年河南省驻马店市西平高中高二(上)第四次月考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.抛物线y=﹣x2的准线方程为(  )‎ A. B.y=1 C.x=1 D.‎ ‎2.命题:“若a2+b2=0(a,b∈R),则a=b=0”的逆否命题是(  )‎ A.若a≠b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0‎ B.若a=b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0‎ C.若a≠0且b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0‎ D.若a≠0或b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0‎ ‎3.不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是(  )‎ A.x<0或x>2 B.x≥0或x≤﹣2 C.x<﹣1或x>4 D.或x≥3‎ ‎4.设等差数列{an}的公差d≠0,a1=2d,若ak是a1与a2k+1的等比中项,则k=(  )‎ A.2 B.3 C.6 D.8‎ ‎5.双曲线上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为(  )‎ A.1或21 B.14或36 C.1 D.21‎ ‎6.平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中,若,则x+y+z=(  )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎7.已知A,B,C,D是抛物线y2=8x上的点,F是抛物线的焦点,且,则的值为(  )‎ A.2 B.4 C.8 D.16‎ ‎8.在锐角△ABC中,BC=1,∠B=2∠A,AC的取值范围为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知F1,F2分别为双曲线C:﹣=1的左、右焦点,若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A,B两点,使得∠BAF2=∠BF2F1,则双曲线C的离心率e的取值范围是(  )‎ A.(3,+∞) B.(1,2+) C.(3,2+) D.(1,3)‎ ‎10.若实数x,y满足x2+y2﹣2x﹣2y+1=0,则的取值范围为(  )‎ A.[0,] B.[,+∞) C.(﹣] D.[﹣,0)‎ ‎11.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为(  )‎ A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1‎ ‎12.已知O为坐标原点,F是椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.命题“∀x∈R,ax2﹣2ax+3>‎ ‎0恒成立”是真命题,则实数a的取值范围是  .‎ ‎14.等比数列{an}的前n项和Sn=3n+t,则t+a3的值为  .‎ ‎15.不等式2x2﹣2axy+y2≥0对任意x∈[1,2]及任意y∈[1,4]恒成立,则实数a取值范围是  .‎ ‎16.双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,B为其左支上一点,线段BF与双曲线的一条渐进线相交于A,且,(O为坐标原点),则双曲线的离心率为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知等差数列{an}首项是1公差不为0,Sn为的前n和,且S22=S1•S4.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设数列bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎18.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若a=4,b+c=8,求△ABC的面积.‎ ‎19.命题p:关于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2<0的解集是空集,命题q:已知二次函数f(x)=x2﹣mx+2满足,且当x∈[0,a]时,最大值是2,若命题“p且q”为假,“p或q”为真,求实数a的取值范围.‎ ‎20.如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.‎ ‎(1)求证:BC⊥BE;‎ ‎(2)求几何体AEB﹣DFC的体积;‎ ‎(3)求平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎21.已知椭圆C的方程为,双曲线的两条渐进线为l1、l2,且l1与x轴所成的夹角为30°,且双曲线的焦距为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过椭圆C的右焦点F作直线l,l与椭圆C相交于A、B,与圆O:x2+y2=a2相交于D、E两点,当△OAB的面积最大时,求弦DE的长.‎ ‎22.已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线﹣2于点M,N.‎ ‎(1)求抛物线方程及其焦点坐标;‎ ‎(2)已知O为原点,求证:以MN为直径的圆恰好经过原点.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年河南省驻马店市西平高中高二(上)第四次月考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.抛物线y=﹣x2的准线方程为(  )‎ A. B.y=1 C.x=1 D.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】将抛物线化成标准方程,得x2=﹣4y,由此求出=1,即可得到该抛物线的准线方程.‎ ‎【解答】解:∵抛物线方程化简,得x2=﹣4y,‎ ‎∴2p=4,可得=1,‎ 因此抛物线的焦点坐标为F(0,﹣1),准线方程为y=1.‎ 故选:B ‎ ‎ ‎2.命题:“若a2+b2=0(a,b∈R),则a=b=0”的逆否命题是(  )‎ A.若a≠b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0‎ B.若a=b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0‎ C.若a≠0且b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0‎ D.若a≠0或b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0‎ ‎【考点】四种命题.‎ ‎【分析】根据逆否命题的定义,直接作答即可,注意常见逻辑连接词的否定形式.‎ ‎【解答】解:“且”的否定为“或”,因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”;‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎3.不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是(  )‎ A.x<0或x>2 B.x≥0或x≤﹣2 C.x<﹣1或x>4 D.或x≥3‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法.‎ ‎【分析】根据题意,解不等式2x2﹣5x﹣3≥0可得x≤﹣或x≥3,可以转化为找x≤﹣或x≥3的必要不充分条件条件;依次分析选项即可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,解不等式2x2﹣5x﹣3≥0可得x≤﹣或x≥3,‎ 则2x2﹣5x﹣3≥0⇔x≤﹣或x≥3;‎ 即找x≤﹣或x≥3的必要不充分条件条件;‎ 依次选项可得:、x<﹣1或x>4是x≤﹣或x≥3成立的必要不充分条件条件,‎ 其余三个选项均不符合;‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.设等差数列{an}的公差d≠0,a1=2d,若ak是a1与a2k+1的等比中项,则k=(  )‎ A.2 B.3 C.6 D.8‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合.‎ ‎【分析】根据等差数列的通项公式表示出ak与a2k+1,由ak是a1与a2k+1的等比中项,根据等比数列的性质列出关系式,根据公差d不为0,化简后得到关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值.‎ ‎【解答】解:由a1=2d,得到ak=2d+(k﹣1)d=(k+1)d,a2k+1=2d+2kd=(2k+2)d,‎ 又ak是a1与a2k+1的等比中项,所以[(k+1)d]2=2d[(2k+2)d],‎ 化简得:(k+1)2d2=4(k+1)d2,由d≠0,‎ 得到:(k+1)2=4(k+1),即k2﹣2k﹣3=0,k为正整数,‎ 解得:k=3,k=﹣1(舍去),‎ 则k的值为3.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎5.双曲线上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为(  )‎ A.1或21 B.14或36 C.1 D.21‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】利用双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||=2a=10,结合题意即可求得答案.‎ ‎【解答】解:依题意,设P到另一个焦点的距离为m(m>0),‎ ‎∵P到一个焦点的距离为11,‎ ‎∴由双曲线的定义得:|11﹣m|=10,‎ ‎∴m=1或m=21.‎ ‎∵a=5,c=7,不妨设点P为右支上的点,则当点P为右顶点,F1为左焦点时,|PF1|≥a+c=12,|PF2|≥7﹣5=2,‎ ‎∴m=1不符合题意,舍去.‎ 故选D..‎ ‎ ‎ ‎6.平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中,若,则x+y+z=(  )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义.‎ ‎【分析】由题意,,结合条件,求出x,y,z,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意,,‎ ‎∵,‎ ‎∴x=1,y=,z=﹣,‎ ‎∴x+y+z=1+=.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.已知A,B,C,D是抛物线y2=8x上的点,F是抛物线的焦点,且,则的值为(  )‎ A.2 B.4 C.8 D.16‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】由题意可得,焦点F(2,0),准线为x=﹣2,由,可得x1+x2+x3+x4=8,根据抛物线的定义,可得结论.‎ ‎【解答】解:抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2,焦点F坐标为(2,0).‎ 设A,B,C,D的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,则 ‎∵,‎ ‎∴x1﹣2+x2﹣2+x3﹣2+x4﹣2=0,‎ ‎∴x1+x2+x3+x4=8,‎ 根据抛物线的定义,可得=x1+x2+x3+x4+8=16.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.在锐角△ABC中,BC=1,∠B=2∠A,AC的取值范围为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】三角形中的几何计算.‎ ‎【分析】求出A的范围,由正弦定理可得 b=2cosA,从而得到 b 的取值范围.‎ ‎【解答】解:在锐角△ABC中,BC=1,∠B=2∠A,‎ ‎∴<3 A<π,且 0<2A<,‎ 故<A<,‎ 故 <cosA<. ‎ 由正弦定理可得 =,‎ ‎∴b=2cosA,‎ ‎∴<b<,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎9.已知F1,F2分别为双曲线C:﹣=1的左、右焦点,若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A,B两点,使得∠BAF2=∠BF2F1,则双曲线C的离心率e的取值范围是(  )‎ A.(3,+∞) B.(1,2+) C.(3,2+) D.(1,3)‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由三角形相似的判断可得△BAF2∽△BF2F1,即有==,运用双曲线的定义和最值的性质,结合离心率公式,即可得到所求范围.‎ ‎【解答】解:在△BAF2和△BF2F1中,‎ 由∠BAF2=∠BF2F1,∠ABF2=∠F2BF1,‎ 可得△BAF2∽△BF2F1,‎ 即有==,‎ 即为==,‎ ‎==e>1,‎ 可得AF2=e(BF2﹣BA)>c+a,即有BF2>BA,‎ 又BA>2a,‎ 即BF2>2a,‎ BF2取最小值c﹣a时,BF2也要大于BA,‎ 可得2a<c﹣a,即c>3a,‎ 即有e=>3.‎ 当AF1与x轴重合,即有=,‎ e=,可得e2﹣4e﹣1=0,解得e=2+,‎ 即有3<e<2+.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.若实数x,y满足x2+y2﹣2x﹣2y+1=0,则的取值范围为(  )‎ A.[0,] B.[,+∞) C.(﹣] D.[﹣,0)‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】已知等式变形后得到圆方程,找出圆心与半径,求出圆心(1,1)到直线tx﹣y﹣2t+4=0的距离d=≤1,‎ 即可得出所求式子的范围.‎ ‎【解答】解:令=t,即tx﹣y﹣2t+4=0,表示一条直线;又方程x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为(x﹣1)2+(y﹣1)2=1,表示圆心为(1,1),半径1的圆;‎ 由题意直线与圆有公共点,∴圆心(1,1)到直线tx﹣y﹣2t+4=0的距离d=≤1,‎ ‎∴t≥,即的取值范围为[,+∞).‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎11.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为(  )‎ A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1‎ ‎【考点】圆锥曲线的共同特征;椭圆的标准方程;双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由题意,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x,根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,可得(2,2)在椭圆C: +=1.利用,即可求得椭圆方程.‎ ‎【解答】解:由题意,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x ‎∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,故边长为4,‎ ‎∴(2,2)在椭圆C: +=1(a>b>0)上 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴a2=4b2‎ ‎∴a2=20,b2=5‎ ‎∴椭圆方程为: +=1‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎12.已知O为坐标原点,F是椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由题意可得F,A,B的坐标,设出直线AE的方程为y=k(x+a),分别令x=﹣c,x=0,可得M,E的坐标,再由中点坐标公式可得H的坐标,运用三点共线的条件:斜率相等,结合离心率公式,即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:由题意可设F(﹣c,0),A(﹣a,0),B(a,0),‎ 令x=﹣c,代入椭圆方程可得y=±b=±,‎ 可得P(﹣c,±),‎ 设直线AE的方程为y=k(x+a),‎ 令x=﹣c,可得M(﹣c,k(a﹣c)),令x=0,可得E(0,ka),‎ 设OE的中点为H,可得H(0,),‎ 由B,H,M三点共线,可得kBH=kBM,‎ 即为=,‎ 化简可得=,即为a=3c,‎ 可得e==.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.命题“∀x∈R,ax2﹣2ax+3>0恒成立”是真命题,则实数a的取值范围是 0≤a<3 .‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】若命题“∀x∈R,ax2﹣2ax+3>0恒成立”是真命题,则a=0,或,解得实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:若命题“∀x∈R,ax2﹣2ax+3>0恒成立”是真命题,‎ 则a=0,或,‎ 解得:0≤a<3,‎ 故答案为:0≤a<3.‎ ‎ ‎ ‎14.等比数列{an}的前n项和Sn=3n+t,则t+a3的值为 17 .‎ ‎【考点】等比数列的性质;等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】由题意易得数列的前3项,可得t的方程,解t值可得答案.‎ ‎【解答】解:由题意可得a1=S1=3+t,a2=S2﹣S1=6,a3=S3﹣S2=18,‎ 由等比数列可得36=(3+t)•18,解得t=﹣1,‎ ‎∴t+a3=﹣1+18=17.‎ 故答案为17.‎ ‎ ‎ ‎15.不等式2x2﹣2axy+y2≥0对任意x∈[1,2]及任意y∈[1,4]恒成立,则实数a取值范围是 (﹣∞,] .‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用.‎ ‎【分析】不等式等价变化为2a≤=+,由x∈[1,2]及y∈[1,4],求得≤≤4,运用基本不等式求得+的最小值即可.‎ ‎【解答】解:依题意,不等式2x2﹣2axy+y2≤0等价为2a≤=+,‎ 设t=,‎ ‎∵x∈[1,2]及y∈[1,4],‎ ‎∴≤≤1,即≤≤4,‎ ‎∴≤t≤4,‎ 则+=t+,‎ ‎∵t+≥2=2,‎ 当且仅当t=,即t=∈[,4]时取等号.‎ ‎∴2a≤2,‎ 即a≤,‎ 故答案为:(﹣∞,].‎ ‎ ‎ ‎16.双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,B为其左支上一点,线段BF与双曲线的一条渐进线相交于A,且,(O为坐标原点),则双曲线的离心率为  .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由题意,OA垂直平分BF,设F(c,0),B(m,n),运用点关于直线对称的特点,由中点坐标公式和垂直的条件解得m,n,代入双曲线方程,化简整理,结合离心率公式计算即可得到.‎ ‎【解答】解:由题意,OA垂直平分BF,‎ 设F(c,0),B(m,n),‎ 则,且n=•(c+m),‎ 解得m=,n=.‎ 将B代入双曲线方程,﹣=1,b2=c2﹣a2.‎ 化简整理可得,c2=5a2,‎ ‎∴e=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知等差数列{an}首项是1公差不为0,Sn为的前n和,且S22=S1•S4.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设数列bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】(1)由等差数列的性质可得:,即,由a1=1,d≠0,求得d,根据等差数列通项公式,即可求得数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)由(1)可得=(﹣),利用“裂项法”即可求得数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(1)由已知,得,即,‎ ‎∴,‎ 又由a1=1,d≠0,‎ ‎∴d=2,‎ an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,‎ 数列{an}的通项公式an=2n﹣1;‎ ‎(2)由(1)可得=(﹣‎ ‎),‎ Tn=b1+b2+b3+…+bn,‎ ‎=,‎ 数列{bn}的前n项和Tn=.‎ ‎ ‎ ‎18.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若a=4,b+c=8,求△ABC的面积.‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】(1)由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式,化简解出sinA=,再由△ABC是锐角三角形,即可算出角A的大小;‎ ‎(2)由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子,结合题意化简得b2+c2﹣bc=16,与联解b+c=8得到bc的值,再根据三角形的面积公式加以计算,可得△ABC的面积.‎ ‎【解答】解:(1)∵△ABC中,,‎ ‎∴根据正弦定理,得,‎ ‎∵锐角△ABC中,sinB>0,‎ ‎∴等式两边约去sinB,得sinA=‎ ‎∵A是锐角△ABC的内角,∴A=;‎ ‎(2)∵a=4,A=,‎ ‎∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,得16=b2+c2﹣2bccos,‎ 化简得b2+c2﹣bc=16,‎ ‎∵b+c=8,平方得b2+c2+2bc=64,‎ ‎∴两式相减,得3bc=48,可得bc=16.‎ 因此,△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4.‎ ‎ ‎ ‎19.命题p:关于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2<0的解集是空集,命题q:已知二次函数f(x)=x2﹣mx+2满足,且当x∈[0,a]时,最大值是2,若命题“p且q”为假,“p或q”为真,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】复合命题的真假.‎ ‎【分析】对于命题p:由关于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2<0的解集是空集,可得△≤0,解得p的取值范围.由已知得二次函数f(x)=x2﹣mx+2的对称轴为,可得m,可得f(x)=x2﹣3x+2,当x∈[0,a]时,最大值是2,由对称性知a的取值范围.由命题“p且q”为假,“p或q”为真,可知:p,q恰一真一假.‎ ‎【解答】解:对于命题p:∵关于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2<0的解集是空集,‎ ‎∴△=﹣3a2﹣2a+1≤0,解得,‎ 由已知得二次函数f(x)=x2﹣mx+2的对称轴为,‎ 即,∴m=3,f(x)=x2﹣3x+2,‎ 当x∈[0,a]时,最大值是2,由对称性知q:0<a≤3.‎ 由命题“p且q”为假,“p或q”为真,可知:p,q恰一真一假.‎ 当p真q假时,,∴a≤﹣1或a>3,‎ 当p假q真时,,∴,‎ 综上可得,.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.‎ ‎(1)求证:BC⊥BE;‎ ‎(2)求几何体AEB﹣DFC的体积;‎ ‎(3)求平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【分析】(1)根据AE⊥底面BEFC,可得AE⊥BC,而AB⊥BC,又AE∩AB=A满足线面垂直的判定定理所需条件,则BC⊥面ABE,根据线面垂直的性质可知BC⊥BE;.‎ ‎(2)根据题意可知四边形EFBC为矩形则BF为圆柱下底面的直径,设正方形ABCD的边长为x,建立方程,解之即可求出经,由此能求出几何体AEB﹣DFC的体积.‎ ‎(3)以F为原点建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【解答】证明:(1)∵AE是圆柱的母线,∴AE⊥底面BEFC,‎ ‎∵BC⊂面BEFC,∴AE⊥BC,‎ ‎∵ABCD是正方形,∴AB⊥BC,‎ 又AE∩AB=A,∴BC⊥面ABE,‎ 又BE⊂面AB,∴BC⊥BE.‎ ‎(2)∵四边形AEFD为矩形,且ABCD是正方,∴EFBC,‎ ‎∵BC⊥BE,∴四边形EFBC为矩形,‎ ‎∴BF为圆柱下底面的直径,‎ 设正方形ABCD的边长为x,则AD=EF=AB=x,‎ 在直角△AEB中,AE=2,AB=x,且BE2+AE2=AB2,得BE2=x2﹣4,‎ 在直角△BEF中,BF=6,EF=x,且BE2+EF2=BF2,得BE2=36﹣x2,‎ 解得x=2,即正方形ABCD的边长为2,‎ ‎∴何体AEB﹣DFC的体积V=S△AEB•EF==‎ ‎=8.‎ ‎(3)如图以F为原点建立空间直角坐标系,‎ 则A(2,0,2),B(2,4,0),F(0,0,0),C(0,4,0),D(0,0,2),‎ ‎=(2,0,2),=(2,4,0),=(0,4,0),=(0,0,2),‎ 设平面ABF的法向量=(x,y,z),‎ 则,取x=,得=(,﹣,﹣5),‎ 设平面CDF的法向量=(1,0,0),‎ 设平面DFC与平面ABF所成的锐二面角为θ,‎ 则cosθ===.‎ ‎∴平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎21.已知椭圆C的方程为,双曲线的两条渐进线为l1、l2,且l1与x轴所成的夹角为30°,且双曲线的焦距为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过椭圆C的右焦点F作直线l,l与椭圆C相交于A、B,与圆O:x2+y2=a2‎ 相交于D、E两点,当△OAB的面积最大时,求弦DE的长.‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】(1)因为直线l1的倾斜角为30°,所以,因为双曲线的焦距为4,所以c=4再根据a,b,c关系,可得椭圆方程.‎ ‎(2)设直线l的方程为:my=x﹣2.与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,利用弦长公式可得弦弦长|AB|,利用点到直线的距离公式可得原点到直线l的距离d,再利用S△OAB=|AB|d,导利用基本不等式求最值,及直线方程,再求圆的弦.‎ ‎【解答】解:(1)由已知得,a2+b2=8.解得:a2=6,b2=2,∴椭圆C的方程为:.‎ ‎(2)解:∵椭圆C的右焦点F(2,0),故设直线l的方程为:x=my+2.‎ 联立得化为(3+m2)y2+4my﹣2=0.‎ ‎|AB|==,点O到直线l的距离d=.‎ S△OAB=|AB|d=,‎ 令=t≥1,S△OAB=f(t)=,‎ 当t=,即m=±1时,△OAB的面积最大.‎ 此时直线l的方程为:x=±y+2,‎ 圆心O到直线l的距离为d1=,DE=2.‎ ‎ ‎ ‎22.已知E(2,2)是抛物线C:y2‎ ‎=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线﹣2于点M,N.‎ ‎(1)求抛物线方程及其焦点坐标;‎ ‎(2)已知O为原点,求证:以MN为直径的圆恰好经过原点.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)将E(2,2)代入y2=2px,可得抛物线方程及其焦点坐标;‎ ‎(2)设出直线方程代入抛物线方程,利用韦达定理及向量知识,计算=0,即可得到结论.‎ ‎【解答】(1)解:将E(2,2)代入y2=2px,得p=1‎ 所以抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为 ‎(2)证明:设,,M(xM,yM),N(xN,yN),‎ 设直线l方程为x=my+2,与抛物线方程联立,消去x,得:y2﹣2my﹣4=0‎ 则由韦达定理得:y1y2=﹣4,y1+y2=2m 直线AE的方程为:,即,‎ 令x=﹣2,得 同理可得:‎ ‎∴=4+yMyN=4+=4+=0‎ ‎∴OM⊥ON,即∠MON为定值.‎ ‎ ‎ ‎2017年4月19日
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