【推荐】专题8-3 空间点、线、面的位置关系-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题8-3 空间点、线、面的位置关系-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学

1.【2017 课标 1，文 6】如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中 点，则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是 A． B． C． D． 【答案】A 【考点】空间位置关系判断 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：① 利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用 几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．② 真题回 放 利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 2.【2017 课标 3，文 10】在正方体 中，E 为棱 CD 的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若 ， 那么 ，很显然不成立；B.若 ，那么 ，显然不成立；C.若 ，那 么 ，成立，反过来 时，也能推出 ,所以 C 成立，D.若 ，则 ，显然不成立，故选 C. 【考点】线线位置关系 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 3.【2016 高考山东文数】已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是 “平面 α 和平面 相交”的（ ） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1A E DC⊥ 1A E BD⊥ 1 1A E BC⊥ 1A E AC⊥ 1 1A E DC⊥ 1 1D E DC⊥ 1A E BD⊥ BD AE⊥ 1 1A E BC⊥ 1 1BC B C⊥ 1 1BC B C⊥ 1 1BC A E⊥ 1A E AC⊥ AE AC⊥ b b 考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系. 【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉 及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、 空间想象能力等. 4. 【2016 高考上海文科】如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BC、BB1 的中点，则下列直线中 与直线 EF 相交的是（ ） (A)直线 AA1 (B)直线 A1B1 (C)直线 A1D1 (D)直线 B1C1 【答案】D 【解析】 试题分析： 只有 与 在同一平面内，是相交的，其他 A，B，C 中直线与 都是异面直线，故选 D． 考点：1.正方体的几何特征；2.直线与直线的位置关系. 【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不 难，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等. 5.【2015 高考广东，文 6】若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内， 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是（ ） A． 至少与 ， 中的一条相交 B． 与 ， 都相交 1 1B C EF EF 1l 2l 1l α 2l β l α β l 1l 2l l 1l 2l C． 至多与 ， 中的一条相交 D． 与 ， 都不相交 【答案】A 【考点定位】空间点、线、面的位置关系． 【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题．解题时一定要注意选项中的重 要字眼“至少”、“至多”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万 分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理． 考点 了解 A 掌握 B 灵活运用 C 点、线、面的位置关系 A 高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面： 1、以判断两条直线的位置关系之多； 2、直接求异面直线所成角的大小（或求角的正弦值，余弦值、正切值），主要在大纲版中涉及，新课标 考查较少； 3、点线面的综合问题，这一考点考查较少，常涉及多种位置关系，如线面关系、异面直线所成角等。 l 1l 2l l 1l 2l 考点分 析 1．四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 Error! (2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或 直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． ②范围：(0， π 2 ]. 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【知识拓展】 1．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 知识链 接 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 2．异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 题型一　平面基本性质的应用 例 1　(1)(2016·山东)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内，则“直线a 和直线 b 相交”是“平 面 α 和平面 β 相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　A (2)已知空间四边形 ABCD(如图所示)，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的点，且 CG＝ 1 3 BC，CH＝ 1 3DC.求证： ①E、F、G、H 四点共面； 融会贯 通 ②三直线 FH、EG、AC 共点． 【答案】证明　①连接 EF、GH，如图所示， ∵E、F 分别是 AB、AD 的中点， ∴EF∥BD. 又∵CG＝ 1 3BC，CH＝ 1 3DC， ∴GH∥BD，∴EF∥GH， ∴E、F、G、H 四点共面． ②易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面， ∴设 FH∩AC＝M，∴M∈平面 EFHG，M∈平面 ABC. 又∵平面 EFHG∩平面 ABC＝EG， ∴M∈EG，∴FH、EG、AC 共点． 解题技巧与方法总结 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的 线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． (2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这 些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【变式训练】如图，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝ 90°，BC∥AD 且 BC＝ 1 2AD，BE∥AF 且 BE＝ 1 2AF，G、H 分别为 FA、FD 的中点． (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？ 【答案】见解析 题型二　判断空间两直线的位置关系 例 2　(1)(2015·广东)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 α 内，l2 在平面 β 内，l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是(　　) A．l 与 l1，l2 都不相交 B．l 与 l1，l2 都相交 C．l 至多与 l1，l2 中的一条相交 D．l 至少与 l1，l2 中的一条相交 (2)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 BC1，CD1 的中点，则下列判断错误的是(　　) A．MN 与 CC1 垂直 B．MN 与 AC 垂直 C．MN 与 BD 平行 D．MN 与 A1B1 平行 (3)在图中，G、N、M、H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号) 【答案】　(1)D　(2)D　(3)②④ (3)图①中，直线 GH∥MN； 图②中，G、H、N 三点共面，但 M∉面 GHN， 因此直线 GH 与 MN 异面； 图③中，连接 MG，GM∥HN，因此 GH 与 MN 共面； 图④中，G、M、N 共面，但 H∉面 GMN， 因此 GH 与 MN 异面． 所以图②④中 GH 与 MN 异面． 解题技巧与方法总结 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法； 对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直 关系，往往利用线面垂直的性质来解决． 【变式训练】(1)已知 a，b，c 为三条不重合的直线，有下列结论：①若 a⊥b，a⊥c，则 b∥c；②若 a⊥b，a ⊥c，则 b⊥c；③若 a∥b，b⊥c，则 a⊥c.其中正确的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(2016·南昌一模)已知 a、b、c 是相异直线，α、β、γ 是相异平面，则下列命题中正确的是(　　) A．a 与 b 异面，b 与 c 异面⇒a 与 c 异面 B．a 与 b 相交，b 与 c 相交⇒a 与 c 相交 C．α∥β，β∥γ⇒α∥γ D．a⊂α，b⊂β，α 与 β 相交⇒a 与 b 相交 【答案】　(1)B　(2)C 题型三　求两条异面直线所成的角 例 3　(2016·重庆模拟)如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线 AP 与 BD 所成的角为________． 【答案】　 π 3 【解析】　如图，将原图补成正方体 ABCD－QGHP，连接 GP，则 GP∥BD， 所以∠APG 为异面直线 AP 与 BD 所成的角， 在△AGP 中，AG＝GP＝AP， 所以∠APG＝ π 3 . 引申探究 在本例条件下，若 E，F，M 分别是 AB，BC，PQ 的中点，异面直线 EM 与 AF 所成的角为 θ，求 cos θ 的值． 【答案】cos θ＝ 30 30 解题技巧与方法总结 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝 角，则它的补角才是要求的角． 【变式训练】已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为(　　) A. 1 6 B. 3 6 C. 1 3 D. 3 3 【答案】　B 【解析】　画出正四面体 ABCD 的直观图，如图所示． 1．（2017 届安徽省宣城市高三下学期第二次调研）已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同 的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（ ） A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ，则 【答案】D 【解析】A. 由 m∥α,m∥β,α∩β=n,利用线面平行的判定与性质定理可得：m∥n，正确； B. 由 α⊥β，m⊥α，n⊥β，利用线面面面垂直的性质定理可得 m⊥n，正确。 C. 由 α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，利用线面面面垂直的性质定理可得 m⊥α，正确。 D. 由 α∥β,m∥α,则 m∥β 或 m⊂β.因此不正确。 故选：D. 2．（安徽省亳州市二中 2017 届高三下学期教学质量检测）已知平面 平面 ，直线 均不在平面 内，且 ，则（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 练习检 测 m n α β / /m α / /m β nα β∩ = / /m n α β⊥ m α⊥ n β⊥ m n⊥ α β⊥ α γ⊥ mβ γ∩ = m α⊥ / /α β / /m α / /m β α ⊥ β ,m n ,α β m n⊥ m β⊥ n β n β⊥ m β C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】C 3．（宁夏石嘴山市第三中学 2017 届高三下学期第三次模拟）在空间中，设 ， 为两条不同直线， ， 为两个不同平面，则下列命题正确的是 A. 若 且 ，则 B. 若 ， ， ，则 C. 若 且 ，则 D. 若 不垂直于 ，且 ，则 必不垂直于 【答案】C 【解析】对于答案 A 若 且 ，也有 的可能；对于答案 B，若 ， ， ， 也有 、相交等位置关系；对于 答案 D， 若 不垂直于 ，且 ，直线 也有不垂直于 的可 能；因此以上三个答案都不正确。依据线面垂直的定义可知答案 C 是正确的，应选答案 C。 4．（贵州省遵义市第四中学 2017 届高三下学期第一次月考）已知 是两条不重合的直线， 是三 个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若 ， ，则 ；②若 ， ，则 ； m β⊥ n α n α⊥ m β m n α β / /m α / /α β / /m β α β⊥ m α⊂ n β⊂ m n⊥ m α⊥ / /α β m β⊥ m α n α⊂ m n / /m α / /α β mβ α β⊥ m α⊂ n β⊂ / /m n m α n α⊂ m n ,m n , ,α β γ m α⊥ m β⊥ / /α β α γ⊥ β γ⊥ / /α β ③若 ， ， ，则 ；④若 是异面直线， ， ， ，则 ． 其中真命题是（ ） A. ①和④ B. ①和③ C. ③和④ D. ①和② 【答案】A 5．（2016-2017 年上海市普陀区高三下学期质量调研）设 、 是不同的直线， 、 是不同的平面，下 列命题中的真命题为 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】C 【解析】若 ，则 相交或平行，故 A 错误，若 ，则 相 交或平行，故 B 错误，若 ，则由面面垂直的判定定理得 ，故 D 错误、C 正确； 故选 C. 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直 线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙 角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否 命题真假，原命题与逆否命题等价. 6．（贵州省遵义市第四中学 2016 届高三上学期第四次月考）已知 表示两条不同直线， ， 表示 m α⊂ n β⊂ / /m n / /α β ,m n m α⊂ / /m β / /n α / /α β l m α β / /l m l mα β⊥ ⊥， ， α β⊥ / /l m l mα β⊥ ⊥， ， / /α β / / / /l m l mα β⊥， ， α β⊥ / / / /l m l mα β⊥， ， / /α β / /l m l mα β⊥ ⊥， ， ,α β / /l m l mα β⊥ ⊥， ， ,α β / / / /l m l mα β⊥， ， α β⊥ ,m n α β 两个不同平面，下列说法正确的是 （　） A. 若 ， ，则 B. 若 ，则 ∥ C. 若 ， ，则 ∥ D. 若 ∥ ， ，则 ∥ 【答案】D 【解析】若 ，则 与 相交或 ，故 错误；若 ，则 与 相交或平行，故 错误；若 ，则 或 ，故 错误；由平面与平面平行的性质得 ， 故 正确，故选 D. 7．（安徽省蚌埠市 2017 届高三第三次教学质量检查）已知平面 平面 ，直线 均不在平面 内， 且 ，则（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】A 8．（江西省南昌市第二中学 2016-2017 学年高二下学期期中）在棱长均相等的正四棱锥 中， 为底面正方形的重心， 分别为侧棱 的中点，有下列结论： ① 平面 ；②平面 平面 ；③ ； n α⊂ m n⊥ m α⊥ , , / / , / /m n m nα α β β⊂ ⊂ α β α β⊥ m α⊥ m β α β n α⊂ n β ,n m nα⊂ ⊥ m α m α⊂ A , , ,m n m nα α β β⊂ ⊂   α β B ,mα β α⊥ ⊥ m β m β⊂ C n β D α ⊥ β ,m n ,α β m n⊥ m β⊥ n β n β m β⊥ m β⊥ n α⊥ n α⊥ m β⊥ P ABCD− O ,M N ,PA PB / /PC OMN / /PCD OMN OM PA⊥ ④直线 与直线 所成角的大小为 . 其中正确结论的序号是__________.（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【解析】如图，连接 ，易得 ，所以 平面 ，结论①正确；同理 ，所以平面 平面 ，结论②正确；由于四棱锥的棱长均相等，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，结论③正确.由于 分别为侧棱 的中点，所以 ，又四边形 为正方形，所以 ，所以直线 与直线 所成的角即为直线 与直线 所成的角，为 ，知三角形 为等边三角形，所以 ，故④错误，故答案为①②③ . 【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角、线面平行的判定、面面平行的判定，属于难题.求异面直线 所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线 的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法 找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. PD MN 90 AC / /PC OM / /PC OMN / /PD ON / /PCD OMN 2 2 2 2 2AB BC PA PC AC+ = + = PC PA⊥ / /PC OM OM PA⊥ ,M N ,PA PB / /MN AB ABCD / /AB CD PD MN PD CD PDC∠ PDC 60PDC∠ =  9．（江西省南昌市第二中学 2016-2017 学年高二下学期第三次月考）已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l.若直线 m，n 满足 m∥α，n⊥β，则(　　) A. m∥l B. m∥n C. n⊥l D. m⊥n 【答案】C 10．（贵州省遵义四中 2016-2017 学年高二下学期第二次月考）已知 为两条不同的直线， 为两个 不同的平面，则下列命题中正确的有（ ） （1） ， ， ， （2） ， （3） ， ， （4） ， A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 【答案】C ,m n ,α β m α⊆ n α⊆ / /m β / / / /n β α β⇒ / /n m n mα α⊥ ⇒ ⊥ / /α β m α⊆ / /n m nβ⊆ ⇒ m α⊥ / /m n n α⊥ ⇒