2017-2018学年安徽省江淮名校高二上学期期中考试数学理试题

2017-2018学年安徽省江淮名校高二上学期期中考试数学理试题

‎2017-2018学年安徽省江淮名校高二上学期期中考试 数学（理科）试卷 一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）‎ ‎1.如果直线与直线垂直，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰长为的等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.与两直线和的距离相等的直线是（ ）‎ A． B． C. D．以上都不对 ‎6.已知，表示两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①，，，则；‎ ‎②，，，则；‎ ‎③，，，则；‎ ‎④，，，则 其中正确命题的序号为（ ）‎ A．①② B．②③ C.③④ D．②④‎ ‎7.已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）‎ A． B．或 C. D．‎ ‎8.如图所示，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，是上的一个动点，若要使得平面平面，则应补充的一个条件可以是（ ）‎ A． B． C. D．是棱的中点 ‎9.不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）个 A．个 B．个 C.个 D．个 ‎10.光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则由（ ）‎ A．， B．， C.， D．，‎ ‎11.正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中错误的是（ ）‎ A． B．异面直线，所成角为定值 C.平面 D．三棱锥的体积为定值 ‎12.如图所示，正四棱锥的底面面积为，体积为，为侧棱的中点，则与所成的角为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）‎ ‎13.若直线经过原点和，则直线的倾斜角大小为 ．‎ ‎14.直线过和的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 ．‎ ‎15.已知圆，直线：，当圆上仅有个点到直线的距离为，则的取值范围为 ．‎ ‎16.如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成.若为线段的中点，则翻折过程中：‎ ‎①是定值；②点在某个球面上运动；③存在某个位置，使得；‎ ‎④存在某个位置，使平面 其中正确的命题是 ．‎ 三、解答题 （本大题包括6小题，共70分） ‎ ‎17. 已知圆：.‎ ‎（1）若直线与圆相切且斜率为，求该直线的方程；‎ ‎（2）求与直线平行，且被圆截得的线段长为的直线的方程.‎ ‎18. 如图的几何体中，平面，平面，为等边三角形，，为的中点，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. 已知矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.‎ ‎（1）求矩形的外接圆的方程；‎ ‎（2）已知直线：（），求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线的方程.‎ ‎21. 已知在四棱锥中，底面为矩形，且，，平面，，粪分别是线段，的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.‎ ‎（3）若与平面所成的角为.‎ ‎22.如图（1），在矩形中，，为的中点，将沿折起，使平面平面，如图（2）所示.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎（3）求二面角的正弦值.‎ 江淮名校高二年级（上）期中联考数学参考答案 一、选择题 ‎1-5:BDBAA 6-10:CBBDA 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 14.或 ‎15. 16.①②④‎ 三、解答题 ‎17.（1）设所求的切线方程为：，由题意可知：圆心到切线的距离等于半径，即 ‎∴，即或.‎ ‎∴切线方程为或.‎ ‎（2）因为所求直线与已知直线平行，可设所求直线方程为.由所截得的线段弦长的一半为，圆的半径为，可知圆心到所求直线的距离为.‎ 即：‎ ‎∴或.‎ ‎∴所求直线方程为或 ‎18.（1）∵平面，平面 ‎∴.又∵为的中点，.‎ ‎∴四边形为平行四边形.∴.‎ 而为的中点，为的中点，∴，又.‎ ‎∴平面平面 ‎（2）取的中点，连接，，由（1）知，且，‎ ‎∴为平行四边形，∴‎ 而为等边三角形，为的中点，所以，又，所以平面，所以平面，从而平面平面.‎ ‎19.（理数）（1）证明：因为平面，直线平面，所以.‎ 又因为，所以，而，所以平面.‎ ‎（2）过点作的平行线交于点，连接，则与平面所成的角等于与平面所成的角.‎ 因为平面，故为在平面上的射影，所以为直线与平面所成的角.‎ 由于，.故.由已知得，.‎ 又，故，在中，可得，在中，可得.‎ 所以，直线与平面所成的角的正弦值为.‎ ‎20.（1）∵直线：且 ‎∴.∵点在边所在的直线上，∴所在直线的方程是 ‎，即.‎ 由得.∴，‎ 即矩形的外接圆的方程是.‎ ‎（2）直线的方程可化为.可看作是过直线和的交点的直线系，即恒过定点.‎ 由可知点在圆内，∴直线与圆恒相交.‎ ‎∵，∴当相交的弦长最短时，直线的斜率为.‎ ‎∴直线的方程为，即 ‎21.（1）连接，则，.‎ 又，∴，∴‎ 又∵平面，∴.又.‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，∴.‎ ‎（2）‎ 过点作交于点，则平面，且有.‎ 再过点作交于点，连接，则平面且.‎ ‎∴平面平面.∴平面.‎ ‎∴当为的一个四等分点（靠近点）时，平面 ‎（3）∵平面，∴是与平面所成的角，且，∴.‎ 取的中点，连接，则，平面，∴.‎ 在平面中，过点作于点，连接则平面，则为二面角的平面角.‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，，，且，‎ ‎∴，，∴‎ 故二面角的余弦值为 ‎22.（1）∵，，∴‎ 又平面平面，平面平面 ‎∴平面.‎ ‎（2）过作，交于点，∴平面 ‎∴‎ ‎（3）由（2）可知平面，过点作，交的延长线于，连接，则 为二面角的平面角 ‎∵，，且为，∴.‎ ‎∴.‎ 即二面角的正弦值为.‎