数学理卷·2017届甘肃省会宁县第一中高三上学期第三次月考（2016

数学理卷·2017届甘肃省会宁县第一中高三上学期第三次月考（2016

会宁一中 2017 届第三次月考试题 高三数学（理科） 注意事项： 1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将 自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2．回答第 I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．已知集合  0322  xxNxA ，  ACCB  ,则集合 B 中元素的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2．已知i 为虚数单位，复数 z 满足 iiz 43 ，则 z =（ ） A.25 B. 7 C.5 D.1 3．命题 p ：“非零向量 ba , ，若 0ba  ，则 ba , 的夹角为钝角”，命题 q ：“对函数 )(xf ， 若 0)( 0  xf ，则 0xx  为函数的极值点”，则下列命题中真命题是（ ） A. qp  B. qp  C. )( qp  D. )()( qp  4．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S3＝a2＋5a1，a7＝2，则 a5＝( ) A.1 2 B．－1 2 C．2 D．－2 5．已知非零向量 m，n 满足 4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝1 3 .若 n⊥(tm＋n)，则实数 t 的值为 ( ) A.4 B.－4 C.9 4 D.－9 4 6．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第 2 天 开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织 5 尺布，一月(按 30 天计)共织 390 尺 布，则从第 2 天起每天比前一天多织________尺布( ) A.1 2 B. 8 15 C.16 31 D.16 29 7．若一个α角的终边上有一点 P(－4，a)，且 sinα·cosα＝ 3 4 ，则 a 的值为( ) A．4 3 B．±4 3 C．－4 3或－4 3 3 D. 3 8．已知 f(x)＝1 4 x2＋sin π 2 ＋x ，f′(x)为 f(x)的导函数，f′(x)的图象是( ) 9．已知函数 y＝anx2(an≠0，n∈N*)的图象在 x＝1 处的切线斜率为 2an－1＋1(n≥2，n∈N*)， 且当 n＝1 时其图象过点(2，8)，则 a7 的值为( ) A.1 2 B．7 C．5 D．6 10．函数 f(x)＝x3－3x－1，若对于区间上的任意 x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数 t 的最小值是( ) A．20 B．18 C．3 D．0 11．已知 f(x)＝ sin π 8 x，x≥0， f（x＋5）＋2，x＜0， 则 f(－2 016)的值为( ) A.810 B.809 C.808 D.806 12． )0)()((),( xgxgxf 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 0x  时， ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x  ，且 0)( )(,0)3(  xg xff 的解集为（ ） A．（－∞，－3）∪（3，+∞） B．（－3，0）∪（0，3） C．（－3，0）∪（3，+∞） D．（－∞，－3）∪（0，3） 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须 作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。 13．已知 tan x＋π 4 ＝2，则 sin 2x＝ . 14．定义行列式运算：|a1 a2 a3 a4|＝a1a4－a2a3.若将函数 f(x)＝|－sin x cos x 1 － 3 |的图象向左 平移 m(m>0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则 m 的最小值是 . 15．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 有 f 3 2 ＋x ＝－f 3 2 －x 成立，若 f(1) ＝2，则 f(2)＋f(3)＝ . 16．已知函数 ( ) 2 1, ( ) .f x x g x kx    若方程 ( ) ( )f x g x 有两个不相等的实根，则实 数 k 的取值范围是 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．(本小题满分 12 分）已知 a＝(2cosx＋2 3sinx，1)，b＝(y，cosx)，且 a∥b. (1)将 y 表示成 x 的函数 f(x)，并求 f(x)的最小正周期； (2)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 f(B)＝3， 2 9 BCBA ，且 a＋c＝3＋ 3，求边长 b. 18．(本小题满分 12 分）设函数 f(x)＝1 3 x3－a 2 x2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的 切线方程为 y＝1. (1)求 b，c 的值； (2)设函数 g(x)＝f(x)＋2x，且 g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围． 19．(本小题满分 12 分）某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用 如下办法：在岸边设置两个观察点 A，B，且 AB 长为 80 米，当航模在 C 处时，测得∠ABC＝ 105°和∠BAC＝30°，经过 20 秒后，航模直线航行到 D 处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°. 请你根据以上条件求出航模的速度．(答案保留根号) 20．(本小题满分 12 分）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10. (1)求证：{lgan}是等差数列； (2)设 Tn 是数列 3 （lg an）（lg an＋1） 的前 n 项和，求 Tn； (3)求使 Tn>1 4 (m2－5m)对所有的 n∈N*恒成立的整数 m 的取值集合. 21．(本小题满分 12 分）已知函数 xaxxf ln1)(  （其中 a 为参数）. (1)求函数 )(xf 的单调区间； (2)若对任意 ),0( x ，都有 ( ) 0f x  成立，求实数 a 的取值集合； (3)证明： 1)11()11(  nn nen （其中  Nn ， e 为自然对数的底数） 请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则 按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4:极坐标系与参数方程已知在直角坐标系 xoy 中，曲线C 的参数方程为  2 2cos , 2sin , x y       为参数 ，在极坐标系（与直角坐标系 xoy 取相同的长度 单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，直线 l 的方程为 sin 2 24       ． （1）求曲线C 在极坐标系中的方程； （2）求直线 l 被曲线C 截得的弦长． 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲 (1)已知 a，b 都是正数，且 a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2； (2)已知 a，b，c 都是正数，求证：a2b2＋b2c2＋c2a2 a＋b＋c ≥abc. 会宁一中 2017 届第二次月考参考答案(理科) 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C D A B D C A C A B C 二、填空题： 13.35 14.π6 15.－2 16. 三、解答题： 17.解析(1)由 a∥b 得 2cos2x＋2sinxcosx－y＝0， 即 y＝2cos2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin(2x＋ð6)＋1， 所以 f(x)＝2sin(2x＋ð6)＋1， 又 T＝ 2ð ù ＝ 2ð 2 ＝ð， 所以函数 f(x)的最小正周期为ð. (2)由 f(B)＝3 得 2sin(2B＋ð6)＋1＝3， 解得 B＝ð6. 又由 BA―→·BC―→＝ 9 2知 accosB＝ 9 2， 所以 ac＝3. b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝(3＋)2－2×3－2×3× 3 2＝3，所以 b＝. 18.解析 (1)f′(x)＝x2－ax＋b， 由题意得 0＝1， ＝0， 即 c＝1， b＝0. (2)g′(x)＝x2－ax＋2， 依题意，存在 x∈(－2，－1)，使不等式 g′(x)＝x2－ax＋2<0 成立， 即 x∈(－2，－1)时，a< 2 xmax＝－2 即可， 所以满足要求的 a 的取值范围是(－∞，－2)． 19 解：在△ABD 中，¡ß¡ÏBAD＝90°，¡ÏABD＝45°， ¡à¡ÏADB＝45°， ¡àAD＝AB＝80，¡àBD＝80. 在△ABC 中， BC sin 30°＝ AB sin 45°， ¡àBC＝ ABsin 30° sin 45° ＝ 2 2＝40. 在△DBC 中， DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 60° ＝(80)2＋(40)2－2×80×40× 1 2＝9 600. ¡àDC＝40，航模的速度 v＝ 6 20＝2 米/秒． 因此航模的速度为 2 米/秒． 20.(1)证明 依题意，当 n＝1 时，a2＝9a1＋10＝100，故a2a1＝10. 当 n≥2 时，an＋1＝9Sn＋10，an＝9Sn－1＋10， 两式相减得 an＋1－an＝9an，即 an＋1＝10an， an＋1 an ＝10， 故{an}为等比数列，且 an＝a1qn－1＝10n(n∈N*)， ∴lg an＝n.∴lg an＋1－lg an＝(n＋1)－n＝1，即{lg an}是等差数列. (2)解由(1)知，Tn＝3 1 n（n＋1）＝3 1 n＋1＝3－ 3 n＋1. (3)解 ∵Tn＝3－ 3 n＋1，∴当 n＝1 时，Tn 取最小值 3 2. 依题意有 3 2> 1 4(m2－5m)，解得－10. 又因为 a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0， 即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0， 所以 a3＋b3>a2b＋ab2. (2)因为 b2＋c2≥2bc，a2>0， 所以 a2(b2＋c2)≥2a2bc. ① 同理 b2(a2＋c2)≥2ab2c， ② c2(a2＋b2)≥2abc2. ¢Ù¢Ú¢Û相加得 2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2， 从而 a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)． 由 a，b，c 都是正数， 得 a＋b＋c>0， 因此 a2b2＋b2c2＋c2a2 a＋b＋c ≥abc.