浙江省宁波市奉化高中三山高中等六校联考2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
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2019-2020学年浙江省宁波市奉化高中、三山高中等六校高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题）
1.已知集合P={-1，0，1，2}，Q={-1，0，1}，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合之间的关系即可判断；
【详解】集合P={-1，0，1，2}，Q={-1，0，1}，
可知集合Q中的元素都在集合P中，
所以Q⊆P．
故选：C．
【点睛】本题主要考查集合之间的关系判断，比较基础．
2.下列函数为同一函数的是
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】
通过化解解析式，可得出选项A两函数解析式不同，不是同一函数．通过求定义域，可判断选项C，D错误.
故选B．
【详解】解：A．，，解析式不同，不是同一函数；B.与的解析式相同，定义域相同，是同一函数；C.的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；D.的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数．
故选B．
【点睛】考查函数的三要素，判断两函数是否相同的方法：定义域和解析式是否都相同．
3.集合，则值为（ ）
A. 0 B. -1 C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由集合相等解参数，，代入式子求解．
【详解】解：由元素的互异性可知，且有意义得，故，所以必有，解得，
代入化简得所以，则，
故选
【点睛】本题关键是元素的互异性的把握，这一类题目都必会涉及元素的互异性．
4.函数的单调递减区间为（ ）
A. （﹣∞，﹣3] B. （﹣∞，﹣1] C. （1，+∞） D. （﹣3，﹣1]
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定出函数的定义域，之后确定二次函数图像的对称轴，最后结合复合函数的单调性法则，求得结果.
【详解】该函数的定义域为，
函数的对称轴为，
由复合函数单调性可知该函数在区间上是减函数，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关函数的单调区间的问题，在解题的过程中，要时刻坚持定义域优先原则，研究函数首先要保证函数的生存权.
5.已知，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：因为所以选C．
考点：比较大小
6.函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出值，从而求出函数的零点所在的范围．
【详解】由题意，，，所以，所以函数的零点所在的大致区间是，故选C.
【点睛】本题考察了函数的零点问题，根据零点定理求出即可，本题是一道基础题．
7.函数的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
排除法：利用奇函数排除A、C；利用x∈（0，1）时，f（x）＜0排除B．
【详解】解：因为f（-x）=-xlg|-x|=-xlg|x|=-f（x），
所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A、C，
又当x∈（0，1）时，f（x）＜0，据此排除B．
故选：D．
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
8.已知是定义域为的偶函数，当时，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出时的解析式，由偶函数性质得：，则可变为，代入已知表达式可表示出不等式，求出的范围即可．
【详解】解：设，则，
因为当时，，
所以，
因为为偶函数，所以，
因为为偶函数，所以，
则可化，即，
，
所以，解得：或，
所以不等式的解集是或即
故选．
【点睛】本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．
9.已知函数的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
分析】
对函数进行化简可得，构造函数，可判断为奇函数，则，由奇函数的对称性即可求解.
【详解】，
令，则，
即为奇函数，图象关于原点对称，
，
，，且，
，
则．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用奇函数的对称性求解函数的最值，解题的关键是构造函数并灵活利用奇函数的对称性，属于中档题．
10.定义在的函数，当时，若，，，则P，Q，R的大小为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
在已知等式中取，可求得，x=0,则-f(y)=f(-y),故函数在(-1,1)上是奇函数，再由已知等式把化为一个数的函数值，通过做差则三个数的大小即可比较．
【详解】取，则，
所以，，令x=0,则-f(y)=f(-y),故函数在(-1,1)上是奇函数，
当-1
0,所以P>R,Q>R,
由，得：=
所以
所以
所以．
故选D．
【点睛】本题考查了不等关系与不等式，考查了特值思想，解答此题的关键是能够运用已知的等式证出函数是给定区间上的减函数，同时需要借助于已知等式把P
化为一个数的函数值，属于中档题．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
二、填空题（本大题共7小题）
11.函数的定义域是_________；的解集是__________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质进行求解即可．
【详解】解：要使函数有意义，则，得，即函数的定义域为，
由得，得，得，
即不等式的解集为，
故答案为；
【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，结合对数函数的性质建立不等式关系是解决本题的关键．比较基础．
12.已知，则___________，_________.
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【分析】
利用配凑法，求解析式，代入，求出．
【详解】解：，
故，
，
故答案为2，．
【点睛】考查求函数值及函数解析式的求法，属于基础题．
13.函数（且）的图象恒过定点，则点坐标为_________；若点
在幂函数的图象上，则_________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
令幂指数等于零，求得、的值，可得定点的坐标．再根据定点在幂函数的图象上，求得的解析式．
【详解】解：函数且的图象恒过定点，令，求得，，则点坐标为．
若点在幂函数 的图象上，则，，，
故答案为；．
【点睛】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，幂函数的定义，属于基础题．
14.设函数，则__________，方程解为__________．
【答案】 (1). 1 (2). 4或-2
【解析】
（1）∵，
∴．
（2）当时，由可得，解得；
当时，由可得，解得或（舍去）．
故方程的解为或．
答案：1，或
15.若函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，对于函数，由二次函数的性质可得，对于函数，分析可得，结合反比例函数的单调性分析可得，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，函数为二次函数，其对称轴为，
若在区间上是增函数，则，解可得，①；
，若，则相当于由函数向右平移了个单位得到的，则在区间上是减函数，必有，
若，则相当于由函数向左平移了个单位得到的，则在上是恒为减函数，故，②；
联立①②可得：，
即的取值范围为；
故答案为．
【点睛】本题考查函数单调性的判断，关键是掌握常见函数单调性的判断方法，属于基础题．
16.定义函数，则的最大值是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
画出函数和在公共定义域内的图象，由图象很容易解答本题．
【详解】解：解令，，其中，
令，得，
函数与的图象交点为；
又函数，
当时，，；
当时，，，
的最大值是
故答案为
【点睛】本题考查了利用函数图象解答新定义的数学问题，解题的关键是根据题意画出函数图象，是基础题．
17.若是方程的根，是方程的根，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
把方程分别变形为，，由于与互为反函数，可得．
【详解】解：是方程的根，是方程的根，
把方程分别变形为，，
由于与互为反函数，
则，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了互为反函数的性质、方程的根与函数的交点之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题（本大题共5小题）
18.计算下列各式的值：
（1）；
（2）
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）由实数指数幂的运算性质，即可求解；
（2）由对数的运算性质和对数的运算公式，即可求解．
【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，
可得：．
（2）根据对数的运算性质，
可得
．
【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简、求值问题，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
19.已知集合，．
（1）分别求，；
（2）已知集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）;
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据指数函数的单调性和分式不等式化简集合，，再进行交并补运算；（2）对集合进行分类讨论，根据是的子集求出的取值范围．
【详解】解：（1）由，即，∴，∴．
由，可得，∴．
∴，，∴.
（2）由，所以，
当为空集时，．
当为非空集合时，可得．
综上所述：的取值范围是．
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、集合的运算性质和集合间的基本关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于基础题．
20.已知二次函数满足，且．
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的最大值；
（3）用定义法证明函数在上是增函数．
【答案】（1）
（2）见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法直接求出即可；（2）对分类讨论；（3）根据定义法证明即可．
【详解】（1）设.
∵，∴，
∵，∴，
即：，∴，∴，∴；
（2），
当时最大值为，当时最大值为；
（3）证明：
设、是上任意两个实数且，
则，
∵，∴，，
∴，即∴，
函数在上是增函数
【点睛】本题考查用待定系数法求函数的解析式，函数求最值，定义法证明函数的单调性，属于中档题．
21.已知函数（其中常数，且，均不为1）的图象经过点，.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）把、两点的坐标代入函数的解析式，求出、的值，可得函数的解析式．
（2）令，在上，，，利用二次函数的性质求得函数在上的值域．
【详解】解：（1），，∵，∴，.
∴.
（2）构造函数，令，则，，
∴当时，；当时，；
由于方程有两个不相等的实数根，所以.
【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求二次函数的在闭区间上的最值，属于基础题．
22.已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）是否存在这样的实数k，使f（k-x2）+f（2k-x4）≥0对一切恒成立，若存在，试求出k的取值集合；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）不存在满足题意的实数k.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）真数大于0解不等式可得定义域；奇偶性定义判断奇偶性；
（Ⅱ）假设存在实数k后，利用奇偶性和单调性去掉函数符号后变成具体不等数组，然后转化为最值即可得．
【详解】（Ⅰ）由＞0 得-2＜x＜2，
所以f（x）的定义域为（-2，2）；
∵f（-x）=lg=-lg=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（Ⅱ）假设存在满足题意的实数k，则
令t===-1，x∈（-2，2），
则t在（-2，2）上单调递减，又y=lgt在（0，+∞）上单调递增，
于是函数f（x）在（-2，2）上单调递减，
∴已知不等式f（k-x2）+f（2k-x4）≥0⇔f（k-x2）≥-f（2k-x4）
⇔f（k-x2）≥f（x4-2k）⇔-2＜k-x2≤x4-2k＜2，
由题意知-2＜k-x2≤x4-2k＜2对一切x∈[-，]恒成立，
得不等式组对一切x∈[-，]恒成立，
∴，即k∈∅．
故不存在满足题意的实数k．
【点睛】本题考查了函数的定义域、奇偶性、单调性、函数的恒成立．属难题．
