2013高考数学知识总结

2013高考数学知识总结

2012 高考数学知识点 第一部分 集合 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为 AA  ； ②空集是任何集合的子集，记为 A ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果 BA  ，同时 AB  ，那么 A = B. 如果 CACBBA  ，那么， . [注] ①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（×） （例：S=N； A= N ，则 CsA= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合 A=集合 B，则 CBA =  ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R 二、四象限的点集. ③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例：      132 3 yx yx 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是 . （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则 A∩B = ） 4. ①n 个元素的子集有 2n 个. ②n 个元素的真子集有 2n －1 个. ③n 个元素的非空真子集有 2n－2 个. 5. ⑴ ①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题  逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题. 例：①若 325  baba 或，则 应是真命题. 解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② ，且 21  yx 3yx . 解：逆否：x + y =3 x = 1 或 y = 2. 21  yx 且 3 yx ,故 3 yx 是 21  yx 且 的既不是充分， 又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例：若 5 5 2x x x   ， 或 . 6.De Morgan 公式 CuA∩ CuB = Cu（A∪ B） CuA∪ CuB = Cu（A∩ B） 第二部分 函数 1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函 数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减 函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在 ），（），（ 2110  上为减函数. 3. 反函数定义：只有满足 yx  唯一 ，函数 )(xfy  才有反函数. 例： 2xy  无反 函数. 函数 的反函数记为 )(1 yfx  ，习惯上记为 )(1 xfy  . 在同一坐标 系，函数 与它的反函数 的图象关于 xy  对称. [注]：一般地， 3)f(x3)(xf 1  的反函数. 3)(xf 1  是先 )f(x 的反函数，在 左移三个单位. 3)f(x  是先左移三个单位，在 的反函数. 4. ⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函 数不存在反函数. ⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数. ⑶设函数 y = f（x）定义域，值域分别为 X、Y. 如果 y = f（x）在 X 上是增（减） 函数，那么反函数 )(1 xfy  在 Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个 函数增减性相同. ⑷一般地，如果函数 有反函数，且 baf )( ，那么 abf  )(1 . 这就 是说点（ ba, ）在函数 图象上，那么点（ ab, ）在函数 的 图象上. 5. 指数函数： xay  （ 0, 1aa），定义域 R，值域为（ ,0 ）. ⑴①当 1a  ，指数函数： xay  在定义域上为增函数； ②当 01a，指数函数： 在定义域上为减函数. ▲y x O 1 y=ax a ＞1y=ax a 1＜＜0 ⑵当 1a  时， xay  的 a 值越大，越靠近 y 轴； 当 01a时，则相反. 6. 对数函数：如果 （ 0, 1aa）的 b 次幂等于 N ，就是 Nab  ，数 就 叫做以 为底的 的对数，记作 bNa log （ ，负数和零没有对数）； 其中 a 叫底数， N 叫真数. ⑴对数运算：   nanaaa cba b b a N a n a a n a aaa aaa aaaa acb a NN Na M n M MnM NM N M NMNM n a 1121 loglog...loglog 1logloglog log loglog log1log loglog logloglog loglog)(log 32 log )12 )1(          推论： 换底公式： （以上 1 2 nM 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a ,a ...a 0 1         且 ） 注⑴：当 ,0ab 时， )log()log()log( baba  . ⑵：当 0M  时，取“+”，当 n 是偶数时且 0M  时， 0nM  ，而 0M  ，故取“—”. 例如： xxx aaa log2(log2log 2  中 x＞0 而 2log xa 中 x∈R）. ⑵ xay  （ 0, 1aa）与 xy alog 互为反函数. 当 1a  时， 的 a 值越大，越靠近 x 轴；当01a时，则相反. 7. 奇函数，偶函数： ⑴偶函数： )()( xfxf  设（ ba, ）为偶函数上一点，则（ ba, ）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 y 轴对称，例如： 12  xy 在 )1,1[  上不是偶函数. ②满足 )()( xfxf  ，或 0)()(  xfxf ，若 0)( xf 时， 1)( )( xf xf . ⑵奇函数： )()( xfxf  设（ ba, ）为奇函数上一点，则（ ba  , ）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如： 3xy  在 )1,1[  上不是奇函数. ②满足 )()( xfxf  ，或 0)()(  xfxf ，若 时， 1)( )( xf xf . 8. 对称变换：①y = f（x） ）（轴对称 xfyy   ②y =f（x） ）（轴对称 xfyx   ③y =f（x） ）（原点对称 xfy   9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如： 在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数 f（x）= 1+ x x 1 的定义域为 A，函数 f[f（x）]的定义域是 B，则 集合 A 与集合 B 之间的关系是 . 解： )(xf 的值域是 ))(( xff 的定义域 B ， 的值域 R ，故 RB  ，而 A  1|  xx ， 故 AB  . 11. 常用变换： ① )( )()()()()( yf xfyxfyfxfyxf  . 证： )()(])[()()( )()( yfyxfyyxfxfxf yfyxf  ② )()()()()()( yfxfyxfyfxfy xf  证： )()()()( yfy xfyy xfxf  12. ⑴熟悉常用函数图象： 22 1 22 212122 2 22 121 )()()( bxbx xxxxbxbxxfxf x   ）（ AB  例： ||2 xy  → || x 关于 y 轴对称. |2| 2 1       x y → || 2 1 x y      → |2| 2 1       x y ▲ x y ▲ x y (0,1) ▲ x y (-2,1) |122| 2  xxy → || y 关于 x 轴对称. ▲ x y ⑵熟悉分式图象： 例： 3 723 12   xx xy  定义域 },3|{ Rxxx  ， 值域 },2|{ Ryyy  →值域  前的系数之比. 第三部分 直线和圆 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 轴正方向所成的最小正角叫做这条直 线的倾斜角，其中直线与 轴平行或重合时，其倾斜角为 0，故直线倾斜角的范 围是 )0(1800     . 注：①当 90 或 12 xx  时，直线 l 垂直于 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每 一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点 ),0(),0,( ba ，即直线在 轴， y 轴上的截距分别为 )0,0(,  baba 时，直线方程是： 1 b y a x . ▲ x y 2 3 注：若 23 2  xy 是一直线的方程，则这条直线的方程是 23 2  xy ，但若 )0(23 2  xxy 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程 bkxy  ，当 bk, 均为确定的数值时，它 表示一条确定的直线，如果 变化时，对应的直线也会变化.①当 b 为定植，k 变 化时，它们表示过定点（0， ）的直线束.②当 k 为定值，b 变化时，它们表示 一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥ 212 kkl  两条直线平行的条件是：① 和 2l 是两条不重合的直线. ②在 和 2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个 “前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线 21,ll ，它们在 y 轴上的纵截距是 21,bb ，则 ∥ ，且 21 bb  或 的斜率均不存在，即 2121 ABBA  是平行的必 要不充分条件，且 21 CC  ） 推论：如果两条直线 的倾斜角为 21, 则 ∥ 212  l . ⑵两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线 和 2l 的斜率分别为 1k 和 2k ，则有 12121  kkll 这里的前提是 的斜率都存在. ② 0121  kll ，且 的斜 率不存在或 02k ，且 的斜率不存在. （即 01221  BABA 是垂直的充要条件） 4. 直线的交角： ⑴直线 到 的角（方向角）；直线 到 的角，是指直线 绕交点依逆时针方向 旋转到与 重合时所转动的角 ，它的范围是 ),0(  ，当 90 时 21 12 1tan kk kk   . ⑵两条相交直线 与 的夹角：两条相交直线 与 的夹角，是指由 与 相交 所成的四个角中最小的正角 ，又称为 和 所成的角，它的取值范围是      2,0  ， 当 90 ，则有 21 12 1tan kk kk   . 5. 过两直线      0: 0: 2222 1111 CyBxAl CyBxAl 的交点的直线系方程  (0)( 222111  CyBxACyBxA 为参数， 0222  CyBxA 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点 ),( 00 yxP ，直线 PCByAxl ,0:  到 l 的距离为 d ， 则有 22 00 BA CByAx d    . ⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线 )(0:,0: 212211 CCCByAxlCByAxl  ， 它 们 之 间 的 距 离 为 ，则有 22 21 BA CC d    . 7. 关于点对称和关于某直线对称： ⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. ⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两 直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角 的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①）， 过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点. 注：①曲线、直线关于一直线（ bxy  ）对称的解法：y 换 x，x 换 y. 例：曲 线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x–2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x –2)=0. ②曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a – x, 2b – y)=0. 二、圆的方程. 1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的 与一个二元方程 0),( yxf 的实数建立了如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. ⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点 ),( yxM 其坐标与方程 0),( yxf 的一 种关系，曲线上任一点 ),( yx 是方程 的解；反过来，满足方程 的 解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0，那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆 的 标 准 方 程 ： 以 点 ),( baC 为圆心， r 为 半 径 的 圆 的 标 准 方 程 是 222 )()( rbyax  . 特例：圆心在坐标原点，半径为 的圆的方程是： 222 ryx  . 注：特 殊 圆 的 方 程 ： ① 与 x 轴 相 切 的 圆 方 程 222 )()( bbyax  )],(),(,[ bababr  或圆心 ②与 y 轴相切的圆方程 222 )()( abyax  )],(),(,[ babaar  或圆心 ③与 轴 轴都相切的圆方程 222 )()( aayax  )],(,[ aaar  圆心 3. 圆的一般方程： 022  FEyDxyx . 当 0422 FED  时，方程表示一个圆，其中圆心       2,2 EDC ，半径 2 422 FEDr  . 当 0422  FED 时，方程表示一个点       2,2 ED . 当 0422 FED  时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：        sin cos rby rax （ 为参数）. ②方程 022  FEyDxCyBxyAx 表示圆的充要条件是： 0B 且 0 CA 且 0422 AFED  . ③圆的直径或方程：已知 0))(())((),(),( 21212211  yyyyxxxxyxByxA （用向 量可征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点 ),( 00 yxM 及圆 222 )()(: rbyaxC  . ① M 在圆 C 内 22 0 2 0 )()( rbyax  ② 在圆 上 22 0 2 0 )() rbyax （ ③ 在圆 外 22 0 2 0 )()( rbyax  5. 直线和圆的位置关系： 设圆圆 ： )0()()( 222 rrbyax  ； 直线 l ： )0(0 22  BACByAx ； 圆心 ),( baC 到直线 l 的距离 22 BA CBbAa d    . ① rd  时， 与 C 相切； 附：若两圆相切，则       0 0 222 22 111 22 FyExDyx FyExDyx 相减为公切线方程. ② dr 时， 与 相交； 附：公共弦方程：设 有两个交点，则其公共弦方程为 0)()()( 212121  FFyEExDD . ③ dr 时， 与 相离. 附：若两圆相离，则 相减为圆心 21OO 的连线的中与 线方程. 由代数特征判断：方程组      0 )()( 222 CBxAx rbyax 用代入法，得关于 x （或 y ）的 一元二次方程，其判别式为  ，则： l 0 与 相切； l 0 与 相交； l 0 与 相离. 注：若两圆为同心圆则 0111 22  FyExDyx ， 0222 22  FyExDyx 相减，不表 示直线. 6. 圆的切线方程：圆 222 ryx  的斜率为 k 的切线方程是 rkkxy 21 过圆 022  FEyDxyx 上一点 ),( 00 yxP 的切线方程为： 022 00 00  FyyExxDyyxx . ①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆 上一点 的切线方程为 2 00 ryyxx  . ②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则          1 )( )( 2 11 0101 R xakyb R xxkyy ，联立求出 k 切线方 程. 7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图： 0: 0: 222 22 2 111 22 1   FyExDyxC FyExDyxC A B C D (a,b) ABCD 四类共圆. 已知 O 的方程 022  FEyDxyx …① 又以 ABCD 为圆为方 程为 2))(())(( kbxyyaxxx AA  …② 4 )()( 22 2 byaxR AA  …③，所以 BC 的方程即③代②，①②相切即为所求. 第四部分 三角函数 1. ①与  （0°≤ ＜360°）终边相同的角的集合（角 与角  的终边重合）：  Zkk  ,360|   ②终边在 x 轴上的角的集合：  Zkk  ,180|  ③终边在 y 轴上的角的集合： Zkk  ,90180|  ④终边在坐标轴上的角的集合：  Zkk  ,90|  ⑤终边在 y=x 轴上的角的集合：  Zkk  ,45180|  ⑥终边在 xy  轴上的角的集合： Zkk  ,45180|  ⑦若角 与角 的终边关于 x 轴对称，则角 与角 的关系：   k360 ⑧若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则角 与角 的关系：    180360 k ⑨若角 与角 的终边在一条直线上，则角 与角 的关系：   k180 ⑩角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系：  90360   k 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 3. 三角函数的定义域： 三角函数 定义域 y x ▲ SINCOS三角函数值大小关系图 sinx cosx 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域 1 23 4 1 2 3 4 sinx sinx sinx cosxcosx cosx )(xf sinx  Rxx | cosx  Rxx | tanx    ZkkxRxx ,2 1| 且 cotx  ZkkxRxx  ,| 且 secx cscx 4. 三角函数的公式： （一）基本关系 公式组二 公式组三 xxk xxk xxk xxk cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin(         xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin(     公式组四 公式组五 公式组六 xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin(         xx xx xx xx cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin(         xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin(         （二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二  sinsincoscos)cos(   cossin22sin   sinsincoscos)cos(   2222 sin211cos2sincos2cos  公式组一 sinx·cscx=1 tanx= x x cos sin sin2x+cos2x=1 cosx·secx x= x x sin cos 1+tan2 x =sec2x tanx·cotx=1 1+cot2x=csc2x =1  sincoscossin)sin(    2tan1 tan22tan    sincoscossin)sin(  2 cos1 2sin     tantan1 tantan)tan(   2 cos1 2cos     tantan1 tantan)tan(   公式组三 公式组四 公式组五 2tan1 2tan2 sin 2      2tan1 2tan1 cos 2 2       2tan1 2tan2 tan 2      4 2675cos15sin   , 4 2615cos75sin   , 3275cot15tan   , 3215cot75tan   . 5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：    xAy sin （A、 ＞0） 定义域 R R R 值域 ]1,1[  R R  AA, 周期性 2   2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当 ,0 非奇非偶 当 ,0 奇函数 单调性 ]22 ,22[   k k   上为增函 数；   ]2 ,12[   k k  ； 上为增函 数   ]12 ,2[   k k 上为减函        kk 2,2 上为增函数 （ Zk  ）    1, kk 上为减 函数（ ）                    )(2 12 ),(22 A k A k     上为增函数；                            coscos2 1sinsin coscos2 1coscos sinsin2 1sincos sinsin2 1cossin 2cos2sin2sinsin   2sin2cos2sinsin   2cos2cos2coscos   2sin2sin2coscos         sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2tan      ZkkxRxx ,2 1| 且  ZkkxRxx  ,| 且 xy cotxy tanxy cosxy sin  sin)2 1cos(   cos)2 1sin(   cot)2 1tan(   sin)2 1cos(   cos)2 1sin(   cot)2 1tan(  ]22 3 ,22[   k k   上为减函 数 （ Zk  ） 数 （ ）                    )(2 32 ),(22 A k A k     上为减函数 （ ） 对称性 对称轴为 2xk  ，对称中 心为 ( ,0) k ， kZ 对称轴为 xk ， 对称中心 为 ( ,0)2k   无对称轴， 对称中心为 ( ,0)2 k 无对称轴， 对称中心为 对称轴是直线 )(2 Zkkx   凡是该图象与直 线 0y  的交点都是 该 图象的对称中心 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 http://www.xjktyg.com/wxc/ wxckt@126.com wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/ 王新敞 特级教师 源头学子小屋 新疆 注意：① xy sin 与 xy sin 的单调性正好相反； xy cos 与 xy cos 的单调性也 同样相反.一般地，若 )(xfy  在 ],[ ba 上递增（减），则 )(xfy  在 上递减（增）. ② xy sin 与 xy cos 的周期是 . ③ )sin(   xy 或 )cos(   xy （ 0 ）的周期  2T . 2tan xy  的周期为 2 （   2 TT ，如图，翻折无效）. ④ 的对称轴方程是 2   kx （ Zk  ），对称中心（ 0,k ）； 的对称轴方程是 kx  （ ）， 对称中心（ 0,2 1 k ）； )tan(   xy 的对称中 心（ 0,2 k ）. xxyxy 2cos)2cos(2cos   原点对称 ⑤当 tan · ,1tan  )(2 Zkk   ； · ,1tan  )(2 Zkk   . ⑥ 与        kxy 22sin 是同一函数,而 )(   xy 是偶函数，则 )cos()2 1sin()( xkxxy   . ⑦函数 xy tan 在 R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整 ▲ O y x 个定义域， xy tan 为增函数，同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是 )(xf 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条 件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数： )()( xfxf  ，奇函数： )()( xfxf  ） 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： xy tan 是奇函数， ) 3 1tan(  xy 是非奇非 偶.（定义域不关于原点对称） 奇函数特有性质：若 x0 的定义域，则 一定有 0)0( f .（ x0 的定义域， 则无此性质） ⑨ xy sin 不是周期函数； xy sin 为周期函数（ T ）； xy cos 是周期函数（如图）； xy cos 为周期函数（ ）； 2 12cos  xy 的周期为 （如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： Rkkxfxfy  ),(5)( . ⑩ a bbabay   cos)sin(sincos 22 有 yba  22 . 第五部分 向量与解三角形 1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量. 注意：①若 ba , 为单位向量，则 ba   . （ ） 单位向量只表示向量的模为 1，并 未指明向量的方向. ②若 ba   ，则 a ∥ b  . （√） 2. ①  a =  a ②   aaa    ③   baba    ④设     Ryxbyxa  ,,,, 2211  2121 , yyxxba    2121 , yyxxba    21, yxa   2121 yyxxba   2 1 2 1 yxa  （向量的模，针对向量坐标求 模） ⑤ 平 面 向 量 的 数 量 积 ： cosbaba   ⑥ abba   ⑦      bababa    ⑧   cbcacba   ▲ y x y=cos|x|图象 ▲ 1/2 y x y=|cos2x+1/2|图象 注意：①    cbacba   不一定成立； cbba   ca   . ②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小. ③长度为 0 的向量叫零向量，记 0  ， 0  与任意向量平行， 的方向是任意的，零 向量与零向量相等，且 00   . ④若有一个三角形 ABC，则 0；此结论可推广到 n 边形. ⑤若 anam   （ Rnm , ），则有 nm  . （ ） 当 a 等于 0  时， 0   anam ，而 nm, 不 一定相等. ⑥ a ·a = 2|| a ， || a = 2a （针对向量非坐标求模）， || ba  ≤ |||| ba   . ⑦当 0  a 时，由 0ba  不能推出 0  b ，这是因为任一与 a 垂直的非零向量 b  ，都 有 · =0. ⑧若 a ∥b ， ∥c ，则 ∥ （×）当 等于0 时，不成立. 3. ①向量 b  与非零向量．．．．a 共线的充要条件是有且只有一个实数  ，使得 ab   （平 行向量或共线向量）. 当 a,0 与 共线同向：当 ,0 与 共线反向；当 则为 0,0 与任何 向量共线. 注意：若 ba, 共线，则 ba  （×） 若 是 的投影，夹角为 ，则 ca cos ， ca cos （√） ②设 a =  11, yx ，  22 , yxb   a ∥ b   01221 yxyx bababa   ⊥ 00 1221  yyxxba ③设      332211 ,,,,, yxCyxByxA ，则 A、B、C 三点共线  ∥ = （ 0 ） （ 1212 , yyxx  ）= （ 1313 , yyxx  ）（ ） （ 12 xx  ）·（ 13 yy  ）=（ 13 xx  ）·（ 12 yy  ） ④两个向量 、 的夹角公式： 2 2 2 2 2 1 2 1 2121cos yxyx yyxx   ⑤线段的定比分点公式：（ 0 和 1 ） 设 P1P  = PP2  （或P2P =  1 P 1P ），且 21 ,, PPP 的坐标分别是 ),(),,(,, 2211 yxyxyx ）（ ，则               1 1 21 21 xxx yyy 推广 1：当 1 时，得线段 21PP 的中点公式： 推广 2：  MB AM 则     1 PBPAPM （  对应终点向量）. 三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点      332211 ,,,,, yxCyxByxA ，重心坐标  yxG , ： 注意：在△ABC 中，若 0 为重心，则 0 OCOBOA ，这是充要条件. ⑥平移公式：若点 P  yx, 按向量 a =  kh, 平移到 P‘  '' , yx ，则      kyy hxx ' ' 4. ⑴正弦定理：设△ABC 的三边为 a、b、c，所对的角为 A、B、C，则 RC c B b A a 2sinsinsin  . ⑵余弦定理：          Cababc Baccab Abccba cos2 cos2 cos2 222 222 222 ⑶正切定理： 2tan 2tan BA BA ba ba     ⑷三角形面积计算公式： 设△ABC 的三边为 a，b，c，其高分别为 ha，hb，hc，半周长为 P，外接圆、内 切圆的半径为 R，r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=    cPbPaPP  [海伦 公式] ⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb [注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心. 如图： 图 1 中的 I 为 S△ABC 的内 心， S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一 个旁心，S △ =1/2 （b+c-a）ra A BC O a b cI A B C D E F I A B C D E F ra ra ra bc a a bc A C B N E F         3 3 321 321 yyyy xxxx         2 2 21 21 xxx yyy A B P M 图1 图2 图3 图4 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. ⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若 BC=a，AC=b，AB=c [注：s 为△ABC 的半周 长,即 2 cba  ] 则：①AE= as  =1/2（b+c-a） ②BN= bs  =1/2（a+c-b） ③FC= cs  =1/2（a+b-c） 综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图 4）. 特例：已知在 Rt△ABC，c 为斜边，则内切圆半径 r= cba abcba  2 （如图 3）. ⑹在△ABC 中，有下列等式成立 CBACBA tantantantantantan  . 证明：因为 ,CBA   所以    CBA  tantan ，所以 CBA BA tantantan1 tantan   ，结 论！ ⑺在△ABC 中，D 是 BC 上任意一点，则 DCBDBC BCABBDACAD  22 2 . 证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有 BBDABBDABAD cos2222  ① 在△ABC 中，由余弦定理有  BCAB ACBCABB   2cos 222 ②，②代入①，化简 可得， （斯德瓦定理） ①若 AD 是 BC 上的中线， 222 222 1 acbma  ； ②若 AD 是∠A 的平分线，  appbccbta  2 ，其中 p 为半周长； ③若 AD 是 BC 上的高，    cpbpappaha  2 ，其中 为半周长. ⑻△ABC 的判定：  222 bac △ABC 为直角△  ∠A + ∠B = 2  2c ＜  22 ba △ABC 为钝角△ ∠A + ∠B＜ 2  ＞  22 ba △ABC 为锐角△ ∠A + ∠B＞ 2  附：证明： ab cbaC 2cos 222  ，得在钝角△ABC 中， 222222 ,00cos cbacbaC   D A CB 图 5 ⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和. )(2 2222 bababa  第六部分 数列 1. ⑴等差、等比数列： ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ① ),2(1 为常数dndaa nn   ②2 11   nnn aaa ( 2n ) ③ bknan  ( kn, 为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ① )0,,2(1   且为常数qnqaa nn ② 11 2   nnn aaa ( ， 011  nnn aaa )① 注①：i. acb  ，是 a、b、c 成等比的双非条件，即 a、b、c 等比数 等差数列 等比数列 定义 daa nn 1 )0(1  qqa a n n 递推公 式 daa nn  1 ； mdaa nmn   qaa nn 1 ； mn mn qaa  通项公 式 dnaan )1(1  1 1  n n qaa （ 0,1 qa ） 中项 2 knkn aaA   （ 0,, *  knNkn  ） )0( knknknkn aaaaG  （ 0,, *  knNkn  ） 前 n 项 和 )(2 1 nn aanS  dnnnaSn 2 )1( 1            )2(11 1 )1( 11 1 qq qaa q qa qna S n n n 重要性 质 ) ,,,,( * qpnm Nqpnmaaaa qpnm   ),,,,( * qpnmNqpnmaaaa qpnm  列. ii. acb  （ac＞0）→为 a、b、c 等比数列的充分不必要. iii. acb  →为 a、b、c 等比数列的必要不充分. iv. acb  且 0ac →为 a、b、c 等比数列的充要. 注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac＞0，则等比中项一定有两 个. ③ n n cqa  ( qc, 为非零常数). ④正数列{ na }成等比的充要条件是数列{ nx alog }（ 1x ）成等比数列. ⑷数列{ }的前 n 项和 nS 与通项 的关系：       )2( )1( 1 11 nss nasa nn n [注]： ①    danddnaan  11 1 （ d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件 （即常数列也是等差数列）→若 不为 0，则是等差数列充分条件）. ②等差{ na }前 n 项和 ndandBnAnS n           22 1 22 → 2 d 可以为零也可不为零→ 为等差的充要条件→若 d 为零，则是等差数列的充分条件；若 不为零，则是等 差数列的充分条件. ③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比 数列） 2. ①等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的 k2 倍 ...,, 232 kkkkk SSSSS  ； ②若等差数列的项数为 2  Nnn ，则 ，奇偶 ndSS  1  n n a a S S 偶 奇 ； ③若等差数列的项数为   Nnn 12 ，则   nn anS 1212  ，且 naSS  偶奇 ， 1 n n S S 偶 奇 得到所求项数到代入 12  nn . 3. 常用公式：①1+2+3 …+n =   2 1nn ②    6 121321 2222  nnnn ③   2 2 1321 3333      nnn [注]：熟悉常用通项：9，99，999，… 110  n na ； 5，55，555，…  1109 5  n na . 4. 等比数列的前 项和公式的常见应用题： ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 a ，年增长率为 r ， 则每年的产量成等比数列，公比为 r1 . 其中第 n 年产量为 1)1(  nra ，且过 年后 总产量为： .)1(1 ])1([)1(...)1()1( 12 r raarararaa n n    ⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存 元，利息为 ， 每月利息按复利计算，则每月的 元过 个月后便成为 nra )1(  元. 因此，第二年 年初可存款： )1(...)1()1()1( 101112 rararara  = )1(1 ])1(1)[1( 12 r rra   . ⑶分期付款应用题： a 为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全部付清； r 为年利率.                 11 11111......111 21    m mm mmmm r rarxr rxraxrxrxrxra 5. 数列常见的几种形式： ⑴ nnn qapaa   12 （p、q 为二阶常数）  用特证根方法求解. 具体步骤：①写出特征方程 qPxx 2 （ 2x 对应 2na ，x 对应 1na ），并设二根 21, xx ② 若 21 xx  可设 nn n xcxca 2211.  ，若 21 xx  可设 n n xncca 121 )(  ；③由初始值 21,aa 确定 21,cc . ⑵ rPaa nn  1 （P、r 为常数）  用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消 去常数 n 转化为 nnn qaPaa   12 的形式，再用特征根方法求 na ；④ 1 21  n n Pcca （公 式法）， 由 确定. ①转化等差，等比： 1)( 11   P rxxPxPaaxaPxa nnnn . ②选代法：   rrPaPrPaa nnn )( 21 xPxaP rPP raa nn n   1 1 1 1 )(1)1( rrPaP nn   Pr2 1 1  . ③用特征方程求解：         相减， rPaa rPaa nn nn 1 1 1na 111 1   nnnnnn PaaPaPaPaa ）（ . ④由选代法推导结果： P rPP racPcaP racP rc nn n   1111 1 11 1 2121 ）（，， . 6. 几种常见的数列的思想方法： ⑴等差数列的前 n 项和为 nS ，在 0d 时，有最大值. 如何确定使 取最大值时的 值，有两种方法： 一是求使 0,0 1  nn aa ，成立的 值；二是由 ndandSn )2(2 1 2  利用二次函数的 性质求 的值. ⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前 项 和 可 依 照 等 比 数 列 前 项 和 的 推 倒 导 方 法 ： 错 位 相 减 求 和 . 例 如 ： ,... 2 1)12,...(4 13,2 11 nn  ⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两 个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差 21 dd ， 的最小公倍数. 第七部分 不等式 1. ⑴平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b 为正数）： 22 2 1122 a b a b ab ab     （当 a = b 时取等） 特别地， 22 2()22 a b a bab （当 a = b 时， 22 2()22 a b a b ab） ),,,(33 2222 时取等cbaRcbacbacba       幂平均不等式： 2 21 22 2 2 1 )...(1... nn aaanaaa  ⑵含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数）： ① 3 3 2 2a b a b ab   ② 3 3 3 2 2 23 ( )( )a b c abc a b c a b c ab ac bc            3 3 3 3a b c abc   （ 等式即可成立0cba  ， 时取等或 0 cbacba ）； 3 3 abcabc   3 3 abcabc   3 3 3 3 abc 2)(3 1 cbaacbaab  （ 时取等cba  ） ⑶绝对值不等式： 1 2 3 1 2 3 ( 0 ) a a a a a a a b a b a b ab            时,取等 ⑷算术平均≥几何平均（a1 、a2…an 为正数）： 12 12 n n n a a a a a an     （a1=a2…=an 时取等） ⑸柯西不等式：设 ),,,2,1(, niRba ii  则 ))(()( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa   等号成立当且仅当 n n b a b a b a   2 2 1 1 时成立.（约定 0ia 时， 0ib ） 例如： 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d    . ⑹常用不等式的放缩法：① 2 1 1 1 1 1 1 1 ( 2)1 ( 1) ( 1) 1 nn n n n n n n n n        ② 1 1 11 1( 1) 1 2 1 n n n n n n n n n n            2. 常用不等式的解法举例（x 为正数）： ① 231 1 2 4(1 ) 2 (1 )(1 ) ( )2 2 3 27x x x x x       ② 2 2 2 2 2 32 (1 )(1 ) 1 2 4 2 3(1 ) ( )2 2 3 27 9 x x xy x x y y        类似于 22sin cos sin (1 sin )y x x x x   ③ 1 1 1| | | | | | ( ) 2x x xx x x   与 同号，故取等 第八部分 导数 1. 导数（导函数的简称）的定义：设 0x 是函数 )(xfy  定义域的一点，如果自变 量 x 在 处有增量 x ，则函数值 y 也引起相应的增量 )()( 00 xfxxfy  ；比值 x xfxxf x y    )()( 00 称为函数 )(xfy  在点 到 xx 0 之间的平均变化率；如果极 限 x xfxxf x y xx     )()(limlim 00 00 存在，则称函数 )(xfy  在点 处可导，并把这个 极限叫做 )(xfy 在 处的导数，记作 )(0 'xf 或 0 |' xxy  ，即 )( 0 ' xf = x xfxxf x y xx     )()(limlim 00 00 . 注：① x 是增量，我们也称为“改变量”，因为 x 可正，可负，但不为零. ②以知函数 )(xfy  定义域为 A ， )(' xfy  的定义域为 B ，则 与 关系为 BA  . 2. 函数 )(xfy  在点 0x 处连续与点 处可导的关系： ⑴函数 )(xfy  在点 处连续是 在点 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果 在点 处可导，那么 点 处连续. 事实上，令 xxx  0 ，则 0xx  相当于 0x . 于是 )]()()([lim)(lim)(lim 0000000 xfxfxxfxxfxf xxxx   ).()(0)()(limlim)()(lim)]()()([lim 000 ' 000 00 00 00 0 xfxfxfxfx xfxxfxfxx xfxxf xxxx     ⑵如果 点 处连续，那么 在点 处可导，是不成立的. 例： ||)( xxf  在点 00 x 处连续，但在点 00 x 处不可导，因为 x x x y    || ，当 x ＞ 0 时， 1  x y ；当 x ＜0 时， 1  x y ，故 x y x    0 lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数 )(xfy  在点 处的导数的几何意义就是曲线 在点 ))(,( 0 xfx 处的切线 的斜率，也就是说，曲线 在点 P 处的切线的斜率是 ，切线 方程为 ).)(( 0 ' 0 xxxfyy  4. 求导数的四则运算法则： ''')( vuvu  )(...)()()(...)()( '' 2 ' 1 ' 21 xfxfxfyxfxfxfy nn  ''''''' )()( cvcvvccvuvvuuv  （ c 为常数） )0(2 '''      v v uvvu v u 注：① vu, 必须是可导函数. ②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它 们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设 xxxf 2sin2)(  ， xxxg 2cos)(  ，则 )(),( xgxf 在 0x 处均不可导，但它们 和  )()( xgxf xx cossin  在 处均可导. 5. 复合函数的求导法则： )()())(( ''' xufxf x   或 xux uyy '''  复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性： ⑴函数单调性的判定方法：设函数 )(xfy  在某个区间内可导，如果 )(' xf ＞0，则 为增函数；如果 ＜0，则 为减函数. ⑵常数的判定方法； 如果函数 在区间 I 内恒有 =0，则 为常数. 注：① 0)( xf 是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如 32xy  在 ),(  上 并不是都有 ，有一个点例外即 x=0 时 f（x） = 0，同样 0)( xf 是 f（x） 递减的充分非必要条件. ②一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负）， 那么 f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在 0x 附近所有的点，都有 )(xf ＜ )( 0xf ，则 是 函数 的极大值，极小值同理） 当函数 在点 处连续时， ①如果在 附近的左侧 ＞0，右侧 ＜0，那么 是极大值； ②如果在 附近的左侧 ＜0，右侧 ＞0，那么 是极小值. 也就是说 是极值点的充分条件是 点两侧导数异号，而不是 =0①. 此外， 函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的 大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不 同）. 注①： 若点 是可导函数 的极值点，则 =0. 但反过来不一定成立. 对 于可导函数，其一点 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数 3)( xxfy  ， 0x 使 )(' xf =0，但 0x 不是极值点. ②例如：函数 ||)( xxfy  ，在点 0x 处不可导，但点 0x 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上 对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： I. 0' C （ C 为常数） xx cos)(sin' 1')(  nn nxx （ Rn ） xx sin)(cos'  II. xx 1)(ln '  exx aa log1)(log ' xx ee ')( aaa xx ln)( '  III. 求导的常见方法： ①常用结论： xx 1|)|(ln '  . ②形如 ))...()(( 21 naxaxaxy  或 ))...()(( ))...()(( 21 21 n n bxbxbx axaxaxy   两边同取自然对数，可 转化求代数和形式. ③无理函数或形如 xxy  这类函数，如 xxy  取自然对数之后可变形为 xxy lnln  ， 对两边求导可得 xx xxxyyxyyxxxy y  lnln1ln '' ' 第九部分 立体几何 一、 平面. 1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 2. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分.（①两个平面平行，②两个平面相交） 3. 过三条互相平行的直线可以确定 1 或 3 个平面.（①三条直线在一个平面内平 行，②三条直线不在一个平面内平行） [注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有 0 或 1 个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z 三个方向） 二、 空间直线. 1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共 点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两 条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 ③若直线 a、b 异面，a 平行于平面 ，b 与 的关系是相交、平行、在平面 内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以 是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这 个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦ ba, 是夹在两平行平面间的线段，若 ba  ，则 的位置关系为相交或平行或异 面. 2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点 的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线） 3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那 么这两个角相等（如下图）. （ 二 面 角 的 取 值 范 围   180,0 ） （ 直 线 与 直 线 所 成 角   90,0 ） （ 斜 线 与 平 面 成 角   90,0 ） （ 直 线 与 平 面 所 成 角   90,0 ） （ 向 量 与 向 量 所 成 角 ])180,0[  推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角 （或直角）相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. 21,ll 是异面直线，则过 外一点 P，过点 P 且与 都平行平面有一个或没有， 但与 距离相等的点在同一平面内. （ 1L 或 2L 在这个做出的平面内不能叫 1L 与 2L 平行的平面） 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. 2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”） 1 2 方向相同 1 2 方向不相同 [注]：①直线 a 与平面 内一条直线平行，则 ∥ . （×）（平面外一条直线） ②直线 与平面 内一条直线相交，则 与平面 相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线 与平面 平行，则 内必存在无数条直线与 a 平行. （√）（不是任意 一条直线，可利用平行的传递性证之） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可 能在此平面内） ⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线 l 与平面 、  所成角相等，则 ∥  .（×）（ 、  可能相交） 3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”） 4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直 线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.  若 PA ⊥ ， ⊥ AO ，得 ⊥ PO （三垂线定理）， 得不出 ⊥ . 因为 ⊥ ，但 不垂直 OA.  三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”） 直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另 一条也垂直于这个平面. 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．． 的两个平面平行） ②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必 垂直于另一个平面） ③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） 5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段 中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的 射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短. [注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）] ⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点 在平面内的射影在这个角的平分线上 四、 平面平行与平面垂直. 1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”） 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面. 3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么 它们交线平行.（“面面平行，线线平行”） 4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面 垂直. P O A a 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的 平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”） 注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系. 5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线也垂直于另一个平面. 推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 证明：如图，找 O 作 OA、OB 分别垂直于 21,ll ， 因为   OBPMOAPM ,,, 则 OBPMOAPM  , . 6. 两异面直线任意两点间的距离公式： cos2222 mndnml  （ 为锐角取加，  为钝取减，综上，都取加则必有     2,0  ） 7. ⑴最小角定理： 21 coscoscos   （ 1 为最小角，如图） ⑵最小角定理的应用（∠PBN 为最小角） 简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有 4 条. 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有 2 条. 成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有 3 条或者 2 条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有 1 条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱. ⑴①直棱柱侧面积： ChS  （ C 为底面周长， h 是高）该公式是利用直棱柱的侧 面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积： lCS 1 （ 1C 是斜棱柱直截面周长， l 是斜棱柱的侧棱长）该公 式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的. ⑵{四棱柱}  {平行六面体}  {直平行六面体} {长方体} {正四棱柱} {正 方体}. {直四棱柱} {平行六面体}={直平行六面体}. 四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体底面是 平行四边形 侧棱垂直 底面 底面是 矩形 底面是 正方形 侧面与 底面边长相等 ⑶棱柱具有的性质： ①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是．．．．．． 矩形．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×） （直棱柱不能保证底面是钜形可如图） ②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直. ⑷平行六面体： 图1 θ θ1 θ2 图2 P   θ M AB O 定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点. 定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为  ,, ，则 1coscoscos 222   . 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为 ，则 2coscoscos 222   . [注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面 可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱 柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等， 推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂 直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件） 2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形. ②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以 棱柱棱柱 3VShV  . ⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱 相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积： 'Ch2 1S  （底面周长为 C ，斜高为 'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式： cos 底 侧 SS  （侧面与底面成的二面角为 ） 附： 以知c ⊥l ， ba cos ， 为二面角 bla  . 则 laS  2 1 1 ①， blS  2 1 2 ②， ba cos ③  ①②③ 得 cos 底 侧 SS  . 注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ⑵棱锥具有的性质： ①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高 相等（它叫做正棱锥的斜高）. ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、 侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. l a b c ⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置： ①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外 心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内 心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心. ⑦每个四面体都有外接球，球心 0 是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距 离等于球半径； ⑧每个四面体都有内切球，球心 I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面 的距离等于半径. [注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各 个侧面的等腰三角形不知是否全等） ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令 bACcADaAB  ,, 得 cacbADBCcADabABACBC  , ，已知     0,0  cabbca 0 cbca 则 0 ADBC . iii. 空间四边形 OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩 形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方 形. 简证：取 AC 中点 'O ，则  ACACOBACoo , 平面  FGHBOACBOO 90°易知 EFGH 为平行四边形  EFGH 为长方形.若对角 线等，则 EFGHFGEF  为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式： 24 RS  . ②球的体积公式： 3 3 4 RV  . ⑵纬度、经度： ①纬度：地球上一点 P 的纬度是指经过 点的球半径与赤道面所成的角的度数. ②经度：地球上 BA, 两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的 二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点 A 的经线是本初子午线时，这个 二面角的度数就是 B 点的经度. 附：①圆柱体积： hrV 2 （ r 为半径， h 为高） ②圆锥体积： hrV 2 3 1  （ 为半径， 为高） B C D A a b c FE H G B C D A O' O r ③锥形体积： ShV 3 1 （ S 为底面积， h 为高） 4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为 a， ah 3 6 ， 2 4 3 aS 底 ， 2 4 3 aS 侧 得 aaaRRaRaaa 4 634 233 4/4 2 4 3 3 1 4 3 3 6 4 3 222  . 注：球内切于四面体： hSRS3 13RS3 1V 底底侧ACDB  ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式. 六. 空间向量.（空间向量部分 文科生不做要求） 1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互 相平行或重合. 注：①若 a 与 b 共线， 与 c 共线，则 与 c 共线.（×） [当 0b 时，不成立] ②向量 cba ,, 共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面] ③若 ∥ ，则存在小任一实数  ，使 ba  .（×）[与 0b 不成立] ④若 为非零向量，则 00 a .（√）[这里用到 )0( bb 之积仍为向量] （2）共线向量定理：对空间任意两个向量 )0(, bba ， a ∥ b 的充要条件是存在 实数  （具有唯一性），使 ba  . （3）共面向量：若向量 使之平行于平面 或 在 内，则 与 的关系是平行， 记作 ∥ . （4）①共面向量定理：如果两个向量 ba, 不共线，则向量 P 与向量 共面的充 要条件是存在实数对 x、y 使 byaxP  . ②空间任一点．．．O．和不共线三点．．．．．．A．、．B．、．C．，则 )1(  zyxOCzOByOAxOP 是 PABC 四点共面的充要条件.（简证：  ACzAByAPOCzOByOAzyOP )1( P、A、 B、C 四点共面） 注：①②是证明四点共面的常用方法. 2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．． cba ,, 不共面．．．，那么对空间任一向量 ，存 在一个唯一的有序实数组 x、y、z，使 czbyaxp  . 推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P, 都存在唯一的有序 A D C M B G OR 实数组 x、y、z 使 OCzOByOAxOP  (这里隐含 x+y+z≠1). 注：设四面体 ABCD 的三条棱， ,,, dADcACbAB  其 中 Q 是△BCD 的重心，则向量 )(3 1 cbaAQ  用 MQAMAQ  即证. 3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的 x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴 是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令 a =(a1,a2,a3), ),,( 321 bbbb  ，则 ),,( 332211 babababa  ))(,,( 321 Raaaa   332211 babababa  ∥ )(,, 332211 Rbababab   3 3 2 2 1 1 b a b a b a  0332211  babababa 222 321 aaaaaa  ( 用 到 常 用 的 向 量 模 与 向 量 之 间 的 转 化 ： aaaaaa 2 ) 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 332211 |||| ,cos bbbaaa bababa ba baba       ②空间两点的距离公式： 2 12 2 12 2 12 )()()( zzyyxxd  . （2）法向量：若向量 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记 作 a ，如果 a 那么向量 叫做平面 的法向量. （3）用向量的常用方法： ①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面 的法向量，AB 是平面 的一条射线，其中 A ，则点 B 到平面 的距离为 || || n nAB  . ②利用法向量求二面角的平面角定理：设 21,nn 分别是二面角  l 中平面 , 的法向量，则 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（ 方向 相同，则为补角， 反方，则为其夹角）. ③证直线和平面平行定理：已知直线 a 平面 ，  DCaBA , ，且 CDE 三点 不共线，则 a∥ 的充要条件是存在有序实数对   使 CECDAB   .（常设 CECDAB   求解 , 若 , 存在即证毕，若 不存在，则直线 AB 与平面相 交）. 第十部分 圆锥曲线 （本部分参考 08 大纲，部分内容 09 不做要求） 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义： 为端点的线段以 无轨迹 方程为椭圆 212121 2121 2121 ,2 ,2 ,2 FFFFaPFPF FFaPFPF FFaPFPF      ⑴①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在 x 轴上： )0(12 2 2 2  ba b y a x  . ii. 中心在原点，焦点在 y 轴上： )0(12 2 2 2  ba b x a y  . ②一般方程： )0,0(122  BAByAx  .③椭圆的标准参数方程： 12 2 2 2  b y a x 的参数方 程为        sin cos by ax （一象限 应是属于 20   ）. ⑵①顶点： ),0)(0,( ba  或 )0,)(,0( ba  .②轴：对称轴：x 轴， 轴；长轴长 a2 ，短轴 长 b2 .③焦点： )0,)(0,( cc 或 ),0)(,0( cc .④焦距： 22 21 ,2 baccFF  .⑤准线： c ax 2  或 c ay 2  .⑥离心率： )10(  ea ce  .⑦焦点半径： i. 设 ),( 00 yxP 为椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x  上的一点， 21,FF 为左、右焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设 ),( 00 yxP 为椭圆 )0(12 2 2 2  ba a y b x  上的一点， 为上、下焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知： )0()(),0()( 000 2 200 2 01  xaexxc aepFxexac axepF  归结起 来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得 )sin,cos(  baN 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标： ),(2 2 2 2 a bc a bd  和 ),( 2 a bc ⑶ 共 离 心 率 的 椭 圆 系 的 方 程 ： 椭 圆 的离心率是 )( 22 baca ce  ，方程 tt b y a x (2 2 2 2  是大于 0 的参数， )0 ba 的离心率也是 a ce  我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.  0201 , exaPFexaPF  0201 , eyaPFeyaPF ▲ asinacos,( ) bsinbcos( ), N y x N的轨迹是椭圆 ⑸若 P 是椭圆： 12 2 2 2  b y a x 上的点. 21,FF 为焦点，若  21PFF ，则 21 FPF 的面积 为 2tan2 b （用余弦定理与 aPFPF 221  可得）. 若是双曲线，则面积为 2cot2 b . 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义： 的一个端点的一条射线以 无轨迹 方程为双曲线 212121 2121 2121 ,2 2 2 FFFFaPFPF FFaPFPF FFaPFPF      ⑴① 双曲线标 准 方 程 ： )0,(1),0,(1 2 2 2 2 2 2 2 2  ba b x a yba b y a x  . 一般方程： )0(122 ACCyAx  . ⑵①i. 焦点在 x 轴上： 顶点： )0,(),0,( aa  焦点： )0,(),0,( cc  准线方程 c ax 2  渐近线方程： 0 b y a x 或 02 2 2 2  b y a x ii. 焦点在 y 轴上：顶点： ),0(),,0( aa . 焦点： ),0(),,0( cc  . 准线方程： c ay 2  . 渐 近线方程： 0 b x a y 或 02 2 2 2  b x a y ，参数方程：        tan sec by ax 或        sec tan ay bx . ②轴 yx, 为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长为 2b，焦距 2c. ③离心率 a ce  . ④ 准线距 c a 22 （两准线的距离）；通径 a b 22 . ⑤参数关系 a cebac  ,222 . ⑥焦点半 径公式：对于双曲线方程 12 2 2 2  b y a x （ 分别为双曲线的左、右焦点或分别为 双曲线的上下焦点） “长加短减”原则： aexMF aexMF   02 01 构成满足 aMFMF 221  aexFM aexFM   02 01 （与椭圆焦半径不同，椭圆 焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） aeyFM aeyFM aeyMF aeyMF     02 01 02 01 ⑶等轴双曲线：双曲线 222 ayx  称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy  ，离 ▲ y x M' M F1 F2 ▲ y x M' M F1 F2 心率 2e . ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双 曲线的共轭双曲线.  2 2 2 2 b y a x 与  2 2 2 2 b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐 近线： 02 2 2 2  b y a x . ⑸共渐近线的双曲线系方程： )0(2 2 2 2   b y a x 的渐近线方程为 02 2 2 2  b y a x 如果双 曲线的渐近线为 0 b y a x 时，它的双曲线方程可设为 )0(2 2 2 2   b y a x . 例如：若双曲线一条渐近线为 xy 2 1 且过 )2 1,3( p ，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为： )0(4 2 2  yx ，代入 )2 1,3(  得 128 22  yx . ⑹直线与双曲线的位置关系： 区域①：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条； 区域②：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条； 区域③：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条； 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合 计 2 条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、 2、3、4 条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 ”“ 法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若 P 在双曲线 12 2 2 2  b y a x ，则常用结论 1：P 到焦点的距离为 m = n，则 P 到两 准线的距离比为 m︰n. 简证： e PF e PF d d 2 1 2 1  = n m . 常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b. 三、抛物线方程. 3. 设 0p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： pxy 22 pxy 22  pyx 22  pyx 22  ▲ y x F1 F2 1 2 3 4 5 3 3 图形 ▲y x O ▲y x O ▲y x O ▲y x O 焦点 )0,2( pF )0,2( pF  )2,0( pF )2,0( pF  准线 2 px  2 px  2 py  2 py  范围 Ryx  ,0 Ryx  ,0 0,  yRx 0,  yRx 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 （0，0） 离心率 1e 焦半径 12 xpPF  12 xpPF  12 ypPF  12 ypPF  注：① xcbyay 2 顶点 )24 4( 2 a b a bac  . ② )0(22  ppxy 则焦点半径 2 PxPF  ; )0(22  ppyx 则焦点半径为 2 PyPF  . ③通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④ pxy 22  （或 pyx 22  ）的参数方程为      pty ptx 2 2 2 （或      22 2 pty ptx ）（ t 为参数）. 四、圆锥曲线的统一定义.. 4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的 轨迹. 当 10  e 时，轨迹为椭圆； 当 1e 时，轨迹为抛物线； 当 1e 时，轨迹为双曲线； 当 0e 时，轨迹为圆（ a ce  ，当 bac  ,0 时）. 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线 的交点是关于原点对称的. 因为具有对称性，所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可. 第十一部分 复数 1. ⑴复数的单位为 i，它的平方等于－1，即 1i2  . ⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如 a + bi 的数（其中 Rba ， ）； ② 实数—当 b = 0 时的复数 a + bi，即 a； ③ 虚数—当 0b 时的复数 a + bi； ④ 纯虚数—当 a = 0 且 时的复数 a + bi，即 bi. ⑤ 复数 a + bi 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意 a，b 都是 实数） ⑥ 复数集 C—全体复数的集合，一般用字母 C 表示. ⑶两个复数相等的定义： 00  babiaRdcbadbcadicbia ）特别地，，，，（其中，且 . ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若 21, zz 为复数，则 1 若 021 zz  ，则 21 zz  .（×）[ 为复数，而不是 实数] 2 若 21 zz  ，则 021 zz  .（√） ②若 Ccba ,, ，则 0)()()( 222  accbba 是 cba  的必要不充分条件.（当 22)( iba  ， 0)(,1)( 22  accb 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式： 21 zzd  . 其中 21 zz ， 是复平面内的两点 21 zz 和 所对应的复数， 21 zzd 和表示 间的距离. 由上可得：复平面内以 0z 为圆心， r 为半径的圆的复数方程： ）（ 00 rrzz  . 3. 共轭复数的性质： zz  2121 zzzz  azz 2 ， i2bzz  （ z a + bi） 22 |||| zzzz  2121 zzzz  2121 zzzz  2 1 2 1 z z z z       （ 02z ） nn zz )( 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4. ⑴①复数的乘方： )(...  Nnzzzzz n n  ②对任何 z ， C 及  Nnm, 有 ③ nnnnmnmnmnm zzzzzzzzz 2121 )(,)(,   注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如 1,1 42  ii 若由 11)( 2 1 2 1 42  ii 就会得到 11 的错误结论. ②在实数集成立的 2|| xx  . 当 x 为虚数时， 2|| xx  ，所以复数集内解方程不能采 用两边平方法. ⑵常用的结论： 1,,1,,1 43424142   nnnn iiiiiii )(,0321 Zniiii nnnn   ii iii iii    1 1,1 1,2)1( 2 若  是 1 的 立 方 虚 数 根 ， 即 i2 3 2 1  ， 则 . 5. ⑴复数 z 是实数及纯虚数的充要条件： ① zzRz  . ②若 0z ， 是纯虚数 0 zz . ⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的 向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注： |||| zz  . 第十二部分 概率与统计（部分内容文科不作要求，请参考文科教材） 一、概率. 1. 概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个，且所有结果 出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是 n 1 ，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 n mP(A)  . 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥， 那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率，等于事件 A、B 分别发生的 概率和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)，推广： )P(A)P(A)P(A)AAP(A n21n21   . ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 例如：从 1～52 张 扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能 同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌” 与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生. 注意：i.对立事件的概率和等于 1： 1)AP(A)AP(P(A)  . )(0,01,1,,1 21223 Znnnn      互斥 对立 ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这 样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于 每个事件发生的概率的积，即 P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的 概率 P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独 立事件.例如：从一副扑克牌（52 张）中任抽一张设 A：“抽到老 K”；B：“抽到 红牌”则 A 应与 B 互为独立事件[看上去 A 与 B 有关系很有可能不是独立事件， 但 26 1P(B)P(A),2 1 52 26P(B),13 1 52 4P(A)  .又事件AB表示“既抽到老K对抽到红牌” 即“抽到红桃老 K 或方块老 K”有 26 1 52 2B)P(A  ，因此有 )BP(AP(B)P(A)  . 推广：若事件 n21 ,A,,AA  相互独立，则 )P(A)P(A)P(A)AAP(A n21n21   . 注意：i. 一般地，如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 AB, 与 B， A 与 B 也都 相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件， 且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定 不是独立事件. ④独立重复试验：若 n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次 试验的结果，则称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率： knkk nn P)(1PC(k)P  . 4. 对任何两个事件都有 )()()()( BAPBPAPBAP  二、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并 且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却 不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出， 这样的随机变量叫做离散型随机变量.若 ξ 是一个随机变量，a，b 是常数.则 ba   也是一个随机变量.一般地，若 ξ 是随机变量， )(xf 是连续函数或单调函 数，则 )(f 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量 ξ 可能取的值为：  ,,,, 21 ixxx ξ 取每一个值 ),2,1(1 ix 的概率 ii pxP  )( ，则表称为随机变量 ξ 的概率分布， 简称 ξ 的分布列.  1x 2x … ix … P 1p 2p … ip … 有性质① ,2,1,01  ip ； ② 121   ippp . 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量. 例如： ]5,0[ 即 可以取 0～5 之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复 试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是： knkk n qpCk)P(ξ  [其中 pqnk  1,,,1,0  ] 于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下：我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布， 记作 ～B（n·p），其中 n，p 为参数，并记 p)nb(k;qpC knkk n  . ⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独 立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二 项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽 取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其 分布列. 4. 几何分布：“ k ”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k 次 试 验 时 事 件 A 发 生 记 为 kA ，事 A 不 发 生 记 为 q)P(A,A kk  ，那么 )AAAAP(k)P(ξ k1k21   . 根据相互独立事件的概率乘法分式： ))P(AAP()A)P(AP(k)P(ξ k1k21   ),3,2,1(1   kpqk 于是得到随机变量 ξ 的概率分布列. 1 2 3 … k … P q qp pq 2 … pq 1k … 我们称 ξ 服从几何分布，并记 pqp)g(k, 1k ，其中 3,2,1.1  kpq 5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取 )Nnn(1  件 ， 则 其 中 的 次 品 数 ξ 是 一 离 散 型 随 机 变 量 ， 分 布 列 为 )MNknM,0k(0 C CCk)P(ξ n N kn MN k M    .〔分子是从 M 件次品中取 k 件，从 N-M 件正品中取 n-k 件的取法数，如果规定 m ＜ r 时 0C r m  ，则 k 的范围可以写为 k=0， 1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取 n 件 （1≤n≤a+b），则次品数 ξ 的分布列为 n.,0,1,k C CCk)P(ξ n ba kn b k a    . ⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取 n 件时，其中次品数 ξ 服从 超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数 的分布列可如下求得：把 ba  个产品 编号，则抽取 n 次共有 nba )(  个可能结果，等可能： k)(η  含 knkk n baC  个结果，故 n,0,1,2,k,)ba a(1)ba a(C b)(a baCk)P(η knkk nn knkk n      ，即 ～ )( ba anB  .[我们先为 k 个 次品选定位置，共 k nC 种选法；然后每个次品位置有 a 种选法，每个正品位置有 b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时， k)P(ηk)P(ξ  ，因此 二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 三、数学期望与方差. 1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布为  1x 2x … ix … P 1p 2p … ip … 则称   nn pxpxpxE 2211 为 ξ 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期 望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量 ba   的数学期望： baEbaEE   )( ①当 0a 时， bbE )( ，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当 1a 时， bEbE   )( ，即随机变量 ξ 与常数之和的期望等于 ξ 的期望与这 个常数的和. ③当 0b 时，  aEaE )( ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变 量期望的乘积. ⑵单点分布： ccE  1 其分布列为： cP  )1( . ⑶两点分布： ppqE  10 ，其分布列为： （p + q = 1） ⑷二项分布：    npqpknk nkE knk )!(! ! 其分布列为 ～ ),( pnB .（P 为发生 的 概率） ⑸几何分布： pE 1 其分布列为 ～ ),( pkq .（P 为发生 的概率） ξ 0 1 P q p 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量 ξ 的分布列为 ),2,1()(  kpxP kk 时， 则称   nn pExpExpExD 2 2 2 21 2 1 )()()(  为 ξ 的方差. 显然 0D ，故  .D 为 ξ 的根方差或标准差.随机变量 ξ 的方差与标准差都反映了随机变量 ξ 取值的稳 定与波动，集中与离散的程度. D 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质. ⑴随机变量 ba   的方差  DabaDD 2)()(  .（a、b 均为常数） ⑵单点分布： 0D 其分布列为 pP  )1( ⑶两点分布： pqD  其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： npqD  ⑸几何分布： 2p qD  5. 期望与方差的关系. ⑴如果 E 和 E 都存在，则  EEE  )( ⑵设 ξ 和 是互相独立的两个随机变量，则  DDDEEE  )(,)( ⑶期望与方差的转化： 22 )(  EED  ⑷ )()()(  EEEEE  （因为 E 为一常数） 0  EE . 四、正态分布. 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量 ξ，位于 x 轴上方，ξ 落在任一区 间 ),[ ba 内的概率等于它与 x 轴.直线 ax  与直线 bx  所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫 ξ 的密度曲线，以其作为 图像的函数 )(xf 叫做 ξ 的密度函数，由于“ ),( x ” 是必然事件，故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1. 2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量 ξ 的概率密度为： 2 2 2 )( 2 1)(      x exf . （ ,,Rx 为常数，且 0 ），称 ξ 服从参数为 , 的正态分布，用 ～ ),( 2N 表 示. 的表达式可简记为 ),( 2N ，它的密度曲线简称为正态曲线. ξ 0 1 P q p ▲ y x a b y=f(x) ⑵正态分布的期望与方差：若  ～ ),( 2N ，则 ξ 的期望与方差分别为： 2,   DE . ⑶正态曲线的性质. ①曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x 对称. ③当 x 时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现 出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④当 x ＜  时，曲线上升；当 x ＞  时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边 无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向 x 轴无限的靠近. ⑤当  一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越 分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 3. ⑴标准正态分布：如果随机变量 ξ 的概率函数为 )( 2 1)( 2 2    xex x   ，则 称 ξ 服从标准正态分布. 即 ～ )1,0(N 有 )()( xPx   ， )(1)( xx   求出，而 P （a＜ ξ ≤b）的计算则是 )()()( abbaP   . 注意：当标准正态分布的 )(x 的 X 取 0 时，有 5.0)(  x 当 的 X 取大于 0 的 数时，有 5.0)( x .比如 5.00793.0)5.0(    则  5.0 必然小于 0，如图. ⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若 ～ 则 ξ 的分布函数通 常用 )(xF 表示，且有 )σ μx(F(x)x)P(ξ   . 4.⑴“3 ”原则. 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假 设，统计假设里的变量服从正态分布 .②确定一次试验中的取值 a 是否落入 范围 )3,3(   .③做出判断：如果 )3,3(  a ，接受统计假设. 如果 )3,3(  a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设. ⑵“3 ”原则的应用：若随机变量 ξ 服从正态分布 则 ξ 落在 内 的概率为 99.7％ 亦即落在 之外的概率为 0.3％，此为小概率事件， ▲ x y a 标准正态分布曲线 S阴=0.5 Sa=0.5+S S 如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即 ξ 不服从正态分布）. 第十三部分 计数原理与二项式定理 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从 m 个不同元素中，每次取出 n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序 排成一排，那么第一、第二……第 n 位上选取元素的方法都是 m 个，所以从 m 个不同元素中，每次取出 n 个元素可重复排列数 m·m·… m = mn.. 例如：n 件物 品放入 m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解： nm 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也 必须完全相同. ⑶排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数，用符号 m nA 表 示. ⑷排列数公式： ),,()!( !)1()1( Nmnnmmn nmnnnAm   注意： !)!1(! nnnn  规定 0! = 1 11 1    m n m n m n m m m n m n mAACAAA 1 1   m n m n nAA 规定 10  n nn CC 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有 k 个不同元素 a1，a2,…...an 其 中限重复数为 n1、n2……nk，且 n = n1+n2+……nk , 则 S 的排列个数等于 !!...! ! 21 knnn nn  . 例如：已知数字 3、2、2，求其排列个数 3!2!1 )!21( n 又例如：数字 5、5、5、求 其排列个数？其排列个数 1!3 !3 n . 三、组合. 1. ⑴组合：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式： )!(! ! ! )1()1( mnm nCm mnnn A AC m nm m m nm n   ⑶两个公式：① ;mn n m n CC  ② m n m n m n CCC 1 1    ①从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素，因此从 n 个不同元素 中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从 n 个不同元 素中取出 n-m 个元素的唯一的一个组合. （或者从 n+1 个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取 m 个不同小球其不 同选法，分二类，一类是含红球选法有 1m n 1 1 1m n CCC   一类是不含红球的选法有 m nC ） ②根据组合定义与加法原理得；在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时， 对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的 n 个 元素中再取 m-1 个元素，所以有 C 1m n ，如果不取这一元素，则需从剩余 n 个元 素中取出 m 个元素，所以共有 C m n 种，依分类原理有 . ⑷排列与组合的联系与区别. 联系：都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关 系. ⑸①几个常用组合数公式 nn nnnn CCC 2210   1 1 1 1 1 121 1531420 1 1 1 1 2            k n k n k n k n m nm m nm m m m m m n n nnnnnn CnCk nCkC CCCCC CCCCCC   ②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如： )!1( 11)!1(!4 3 !3 2 !2 1  nn n （利用 ! 1 )!1( 1 ! 1 nnn n  ） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用 m n m n m n CCC 1 1    递推）如： 4 1 33 5 3 4 3 3  nn CCCCC  . vi. 构造二项式. 如： n n n nnn CCCC 2 22120 )()()(   证明：这里构造二项式 nnn xxx 2)1()1()1(  其中 nx 的系数，左边为 22120022110 )()()( n nnnn n n n nn n nn n nn CCCCCCCCCCC    ，而右边 n nC 2 四、排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法. ③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体 排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般 地，n 个不同元素排成一列，要求其中某 )( nmm  个元素必相邻的排列有 m m mn mn AA   1 1 个.其中 1 1   mn mnA 是一个“整体排列”，而 m mA 则是“局部排列”. 又例如①有 n 个不同座位，A、B 两个不能相邻，则有排列法种数为 2 nA 2 2 1 1 AAn  . ②有 n 件不同商品，若其中 A、B 排在一起有 2 2 1 1 AAn n   . ③有 n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有 1 1 2   n nn AA . 注：①③区别在于①是确定的座位，有 2 2A 种；而③的商品地位相同，是从 n 件不 同商品任取的 2 个，有不确定性. ④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档 中，此法主要解决“元素不相邻问题”. 例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？ m mn mn mn AA 1    （插空法），当 n – m+1≥m, 即 m≤ 2 1n 时有意义. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其 他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排 其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将 n 个元素进行 全排列有 n nA 种， )( nmm  个元素的全排列有 种，由于要求 m 个元素次序一定， 因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若 n 个元素 排成一列，其中 m 个元素次序一定，共有 m m n n A A 种排列方法. 例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（ m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法） m m n n AA / . ⑦平均法：若把 kn 个不同元素平均分成 k 组，每组 n 个，共有 k k n n n nk n kn A CCC )1(  . 例如：从 1，2，3，4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法？有 3!2 2 4 C （平 均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将 200 名运动员平均分成两 组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （ !2/10 20 2 2 8 18 C CCP  ） 注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某 m 个元素互不相邻且顺 序不变，共有多少种排法？有 m m m mn mn mn AAA /1    ，当 n – m+1 ≥m, 即 m≤ 2 1n 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题. 例如： 124321  xxxx 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球 排成一列，在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板，把球分成 4 个 组.每一种方法所得球的数目依次为 4321 ,,, xxxx 显然 124321  xxxx ，故（ ） 是方程的一组解.反之，方程的任何一组解 ),,,( 4321 yyyy ，对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方 程的解的组数等于插隔板的方法数 3 11C . 注 意 ： 若 为 非 负 数 解 的 x 个数，即用 naaa ,..., 21 中 ia 等于 1ix ，有 AaaaAxxxx nn  1...11... 21321 ，进而转化为求 a 的正整数解的个数为 1  n nAC . ⑨定位问题：从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都 包含在内，并且都排在某 r 个指定位置则有 rk rn r r AA   . 例如：从 n 个不同元素中，每次取出 m 个元素的排列，其中某个元素必须固定 在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？ 固定在某一位置上： 1 1   m nA ；不在某一位置上： 1 1   m n m n AA 或 1 1 1 11    m nm m n AAA （一类是不取 出特殊元素 a，有 m nA 1 ，一类是取特殊元素 a，有从 m-1 个位置取一个位置，然后 再从 n-1 个元素中取 m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列（或组合），规定某 r 个元 素都包含在内 。先 C 后 A 策略，排列 k k rk rn r r ACC   ；组合 rk rn r r CC   . ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合），规定某 r 个元素 都不包含在内。先 C 后 A 策略，排列 k k k rn AC  ；组合 k rnC  . iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或 组合）都只包含某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略，排列 k k sk rn s r ACC   ；组合 sk rn s r CC   . II. 排列组合常见解题策略： ①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题 先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）； ④正难 则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略； x1 x2 x3 x4 ⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的 策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ①均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m 组，假定其中 r 组元素个数 相等，不管是否分尽，其分法种数为 r rAA/ （其中 A 为非均匀不编号分组中分法 数）.如果再有 K 组均匀分组应再除以 k kA . 例：10 人分成三组，各组元素个数为 2、4、4，其分法种数为 1575/ 2 2 4 4 4 8 2 10 ACCC . 若分成六组，各组人数分别为 1、1、2、2、2、2，其分法种数为 4 4 2 2 2 2 2 4 2 6 2 8 1 9 1 10 / AACCCCCC  ②非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间 的顺序，其分法种数为 m mAA 例：10 人分成三组，各组人数分别为 2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法 为： 3 3 5 5 3 8 2 10 ACCC  种. 若从 10 人中选 9 人分成三组，人数分别为 2、3、4，参加不同的劳动，则安排 方法有 3 3 4 5 3 8 2 10 ACCC  种 ③均匀编号分组：n 个不同元素分成 m 组，其中 r 组元素个数相同且考虑各组间 的顺序，其分法种数为 m m r r AAA / . 例：10 人分成三组，人数分别为 2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为 3 32 2 4 4 4 8 2 10 A A CCC  ④非均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m 组，每组元素数目均不 相 同 ， 且 不 考 虑 各 组 间 顺 序 ， 不 管 是 否 分 尽 ， 其 分 法 种 数 为 1m nCA  2 1 m m-nC … km )m...m(m-n 1-k21 C  例：10 人分成三组，每组人数分别为 2、3、5，其分法种数为 25205 5 3 8 2 10 CCC 若从 10 人中选出 6 人分成三组，各组人数分别为 1、2、3，其分法种数为 126003 7 2 9 1 10 CCC . 五、二项式定理. 1. ⑴二项式定理： nn n rrnr n n n n n n baCbaCbaCbaCba 01100)(    . 展开式具有以下特点： ① 项数：共有 1n 项； ② 系数：依次为组合数 ;,,,,,, 210 n n r nnnn CCCCC  ③ 每一项的次数是一样的，即为 n 次，展开式依 a 的降幕排列，b 的升幕排列 展开. ⑵二项展开式的通项. nba )（ 展开式中的第 1r 项为： ),0(1 ZrnrbaCT rrnr nr    . ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当 n 是偶数时，中间项是第 12 n 项，它的二项式系数 2 n nC 最大； II. 当 n 是奇数时，中间项为两项，即第 2 1n 项和第 12 1 n 项，它们的二项式系 数 2 1 2 1   n n n n CC 最大. ③系数和： 131420 10 2 2   n nnnnn nn nnn CCCCC CCC   附：一般来说 babyax n ,()(  为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．时均可直接根 据 性 质 二 求 解 . 当 11  ba 或 时 ， 一 般 采 用 解 不 等 式 组 1 1 1 1 1 (,                kk kk kk kk kk TAAA AA AA AA 为或 的系数或系数的绝对值）的办法来求解. ⑷如何来求 ncba )(  展开式中含 rqp cba 的系数呢？其中 ,,, Nrqp  且 nrqp  把 nn cbacba ])[()(  视为二项式，先找出含有 rC 的项 rrnr n CbaC  )( ，另一方面在 rnba  )( 中含有 qb 的项为 qpq rn qqrnq rn baCbaC     ，故在 ncba )(  中含 的项为 rqpq rn r n cbaCC  .其系数为 r r q pn p n q rn r n CCCpqr n qrnq rn rnr nCC    !!! ! )!(! )!( )!(! ! . 2. 近似计算的处理方法. 当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时，常用近似公式 naa n  1)1( ，因为这时 展 开 式 的 后 面 部 分 nn nnn aCaCaC  3322 很小 ， 可 以 忽 略 不 计 。 类 似 地 ， 有 naa n  1)1( 但使用这两个公式时应注意 a 的条件，以及对计算精确度的要求.