江苏省百校2020届高三下学期第四次联考数学试题 Word版含解析

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江苏省百校2020届高三下学期第四次联考数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题 第Ⅰ卷(必做题,共160分)‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)‎ ‎1.已知集合,则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据并集的定义计算即可.‎ ‎【详解】由集合的并集,知.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查集合的并集运算,属于容易题.‎ ‎2.已知复数满足(为虚数单位),则复数的实部为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案.‎ ‎【详解】,所以复数的实部为2.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.‎ ‎3.三所学校举行高三联考,三所学校参加联考的人数分别为160,240,400,为调查联考数学学科的成绩,现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本,若在学校抽取的数学成绩的份数为30,则抽取的样本容量为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.‎ - 26 -‎ ‎【详解】设抽取的样本容量为x,由已知,,解得.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样,考查学生基本的运算能力,是一道容易题.‎ ‎4.根据如图所示的伪代码,若输入的的值为2,则输出的的值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 满足条件执行,否则执行.‎ ‎【详解】本题实质是求分段函数在处的函数值,当时,.‎ 故答案为:1‎ ‎【点睛】本题考查条件语句应用,此类题要做到读懂算法语句,本题是一道容易题.‎ ‎5.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习,抛一枚硬币两次,若两次都是正面朝上,就在家学习,否则出去看电影,则该同学在家学习的概率为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用列举法计算古典概型的概率.‎ ‎【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),‎ 在家学习只有1种情况,即(正,正),故该同学在家学习的概率为.‎ 故答案:‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的概率计算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.‎ ‎6.已知数列满足,且恒成立,则的值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易得,所以是等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可.‎ ‎【详解】由已知,,因,所以,所以数列是以 为首项,3为公差的等差数列,故,所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查由递推数列求数列中的某项,考查学生等价转化的能力,是一道容易题.‎ ‎7.已知函数的部分图象如图所示,则的值为____________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图可得的周期、振幅,即可得,再将代入可解得,进一步求得解析式及.‎ - 26 -‎ ‎【详解】由图可得,,所以,即,‎ 又,即,,‎ 又,故,所以,.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值,考查学生识图、计算等能力,是一道中档题.‎ ‎8.在平面直角坐标系中,双曲线的焦距为,若过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为,则双曲线的离心率为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用即可建立关于的方程.‎ ‎【详解】设双曲线右焦点为,过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线分别交于两点,‎ 则,,由已知,,即,‎ 所以,离心率.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查求双曲线的离心率,做此类题的关键是建立的方程或不等式,是一道容易题.‎ ‎9.已知为正实数,且,则的最小值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ ‎,所以有,再利用基本不等式求最值即可.‎ ‎【详解】由已知,,所以,‎ 当且仅当,即时,等号成立.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题,采用的是“1”的替换,也可以消元等,是一道中档题.‎ ‎10.已知函数,则不等式的解集为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎,,分类讨论即可.‎ ‎【详解】由已知,,,‎ 若,则或 解得或,所以不等式的解集为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的应用,涉及到解一元二次不等式,考查学生的计算能力,是一道中档题.‎ ‎11.如图,在一个倒置的高为2的圆锥形容器中,装有深度为的水,再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后,半球的大圆面、水面均与容器口相平,则的值为____________.‎ - 26 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得到圆锥的底面半径,再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.‎ ‎【详解】设圆锥的底面半径为,体积为,半球的体积为,水(小圆锥)的体积为,如图 则,所以,,解得,‎ 所以,,,‎ 由,得,解得.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算,考查学生空间想象能力与计算能力,是一道中档题.‎ ‎12.如图,在梯形中,∥,分别是的中点,若,则的值为___________.‎ ‎【答案】‎ - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建系,设设,由可得,进一步得到的坐标,再利用数量积的坐标运算即可得到答案.‎ ‎【详解】以A为坐标原点,AD为x轴建立如图所示的直角坐标系,设,则 ‎,‎ 所以,,由,‎ 得,即,又,所以 ‎,故,,‎ 所以.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题考查利用坐标法求向量的数量积,考查学生的运算求解能力,是一道中档题.‎ ‎13.函数满足,当时,,若函数在上有1515个零点,则实数的范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 由已知,在上有3个根,分,,,四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案.‎ ‎【详解】由已知,的周期为4,且至多在上有4个根,而含505个周期,所以在上有3个根,设,,易知在上单调递减,在,上单调递增,又,.‎ 若时,在上无根,在必有3个根,‎ 则,即,此时;‎ 若时,在上有1个根,注意到,此时在不可能有2个根,故不满足;‎ 若时,要使在有2个根,只需,解得;‎ 若时,在上单调递增,最多只有1个零点,不满足题意;‎ 综上,实数的范围为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题,涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点,是一道中档题.‎ ‎14.已知圆,直线与圆交于两点,,若,则弦的长度的最大值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点为M,由可得,可得M在 - 26 -‎ 上,当最小时,弦的长才最大.‎ ‎【详解】设为的中点,,即,‎ 即,,.‎ 设,则,得.‎ 所以,.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,考查学生的逻辑推理、数形结合的思想,是一道有一定难度的题.‎ 二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.如图,已知在三棱锥中,平面,分别为的中点,且.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)设平面与交于点,求证:为的中点.‎ - 26 -‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)要做证明,只需证明平面即可;‎ ‎(2)易得∥平面,平面,利用线面平行的性质定理即可得到∥,从而获得证明 ‎【详解】证明:(1)因为平面,平面,‎ 所以.‎ 因为,所以.‎ 又因为,平面,平面,‎ 所以平面.‎ 又因为平面,所以.‎ ‎ (2)因平面与交于点,所以平面.‎ 因为分别为的中点,‎ 所以∥.‎ 又因为平面,平面,‎ 所以∥平面.‎ 又因为平面,平面平面,‎ 所以∥,‎ 又因为是的中点,‎ 所以为的中点.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理,考查学生的逻辑推理能力,是 一道容易题.‎ ‎16.在中,角所对的边分别为,若,,,且.‎ ‎(1)求角的值;‎ ‎(2)求的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由正弦定理可得,再用余弦定理即可得到角C;‎ ‎(2),再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案.‎ ‎【详解】(1)因为,所以.‎ 在中,由正弦定理得,‎ 所以,即.‎ 在中,由余弦定理得,‎ 又因为,所以.‎ ‎(2)由(1)得,在中,,‎ 所以 ‎.‎ 因为,所以,‎ 所以当,即时,有最大值1,‎ 所以的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理解三角形,涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算,是一道容易题.‎ ‎17.已知椭圆的左顶点为,左、右焦点分别为,离心率为,是椭圆上的一个动点(不与左、右顶点重合),且的周长为6,点 - 26 -‎ 关于原点的对称点为,直线交于点.‎ ‎(1)求椭圆方程;‎ ‎(2)若直线与椭圆交于另一点,且,求点的坐标.‎ ‎【答案】(1);(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据的周长为,结合离心率,求出,即可求出方程;‎ ‎(2)设,则,求出直线方程,若斜率不存在,求出坐标,直接验证是否满足题意,若斜率存在,求出其方程,与直线方程联立,求出点坐标,根据和三点共线,将点坐标用表示,坐标代入椭圆方程,即可求解.‎ ‎【详解】(1)因为椭圆的离心率为,的周长为6,‎ 设椭圆的焦距为,则 解得,,,‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎(2)设,则,且,‎ 所以的方程为①.‎ - 26 -‎ 若,则的方程为②,由对称性不妨令点在轴上方,‎ 则,,联立①,②解得即.‎ 的方程为,代入椭圆方程得 ‎,整理得,‎ 或,.‎ ‎,不符合条件.‎ 若,则的方程为,‎ 即③.‎ 联立①,③可解得所以.‎ 因为,设 所以,即.‎ 又因为位于轴异侧,所以.‎ 因为三点共线,即应与共线,‎ 所以,即,‎ 所以,又,‎ 所以,解得,所以,‎ - 26 -‎ 所以点的坐标为或.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系,考查分类讨论思想和计算求解能力,属于较难题.‎ ‎18.管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具,现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁,其纵截面如图2所示,一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置(图中给出的数据是圆管内壁直径大小,).‎ ‎(1)请用角表示清洁棒的长;‎ ‎(2)若想让清洁棒通过该弯头,清洁下一段圆管,求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)过作的垂线,垂足为,易得,进一步可得;‎ ‎(2)利用导数求得最大值即可.‎ ‎【详解】(1)如图,过作的垂线,垂足为,在直角中,,‎ ‎,所以,同理,‎ ‎.‎ - 26 -‎ ‎(2)设,‎ 则,‎ 令,则,即.‎ 设,且,则 当时,,所以单调递减;‎ 当时,,所以单调递增,‎ 所以当时,取得极小值,‎ 所以.‎ 因为,所以,又,‎ 所以,又,‎ 所以,所以,‎ 所以,‎ 所以能通过此钢管的铁棒最大长度为.‎ ‎【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用,考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.‎ ‎19.已知等差数列和等比数列的各项均为整数,它们的前项和分别为,且,.‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ - 26 -‎ ‎(2)求;‎ ‎(3)是否存在正整数,使得恰好是数列或中的项?若存在,求出所有满足条件的的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2);(3)存在,1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用基本量法直接计算即可;‎ ‎(2)利用错位相减法计算;‎ ‎(3),令可得,,讨论即可.‎ ‎【详解】(1)设数列的公差为,数列的公比为,‎ 因为,‎ 所以,即,解得,或(舍去).‎ 所以.‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎(3)由(1)可得,,‎ 所以.‎ - 26 -‎ 因为是数列或中的一项,所以,‎ 所以,因为,‎ 所以,又,则或.‎ 当时,有,即,令.‎ 则.‎ 当时,;当时,,‎ 即.‎ 由,知无整数解.‎ 当时,有,即存在使得是数列中的第2项,‎ 故存在正整数,使得是数列中的项.‎ ‎【点睛】本题考查数列的综合应用,涉及到等差、等比数列的通项,错位相减法求数列的前n项和,数列中的存在性问题,是一道较为综合的题.‎ ‎20.已知函数(是自然对数的底数,).‎ ‎(1)求函数的图象在处的切线方程;‎ ‎(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围;‎ ‎(3)若函数在区间上有两个极值点,且恒成立,求满足条件的的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).‎ ‎【答案】(1);(2);(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用导数的几何意义计算即可;‎ ‎(2)在上恒成立,只需,注意到;‎ - 26 -‎ ‎(3)在上有两根,令,求导可得在上单调递减,在上单调递增,所以且,,,求出的范围即可.‎ ‎【详解】(1)因为,所以,‎ 当时,,‎ 所以切线方程为,即.‎ ‎(2),.‎ 因为函数在区间上单调递增,所以,且恒成立,‎ 即,‎ 所以,即,又,‎ 故,所以实数的取值范围是.‎ ‎(3).‎ 因函数在区间上有两个极值点,‎ 所以方程在上有两不等实根,即.‎ 令,则,由,得,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以,解得且.‎ 又由,所以,‎ 且当和时,单调递增,‎ - 26 -‎ 当时,单调递减,是极值点,‎ 此时 令,则,‎ 所以在上单调递减,所以.‎ 因为恒成立,所以.‎ 若,取,则,‎ 所以.‎ 令,则,.‎ 当时,;当时,.‎ 所以,‎ 所以在上单调递增,所以,‎ 即存在使得,不合题意.‎ 满足条件的的最小值为-4.‎ ‎【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值点,不等式恒成立等知识,是一道难题.‎ 第Ⅱ卷(附加题,共40分)‎ 选做题:请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ 选修4-2:矩阵与变换 ‎21.已知矩阵不存在逆矩阵,且非零特低值对应的一个特征向量,求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 26 -‎ ‎【分析】‎ 由不存在逆矩阵,可得,再利用特征多项式求出特征值3,0,,利用矩阵乘法运算即可.‎ ‎【详解】因为不存在逆矩阵,,所以.‎ 矩阵的特征多项式为,‎ 令,则或,‎ 所以,即,‎ 所以,所以 ‎【点睛】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题,考查学生的运算能力,是一道容易题.‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎22.以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,已知曲线,曲线(为参数),求曲线交点的直角坐标.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.‎ ‎【详解】因为,所以,‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ 由,得,‎ - 26 -‎ 所以曲线的普通方程为.‎ 由,得,‎ 所以(舍),‎ 所以,‎ 所以曲线的交点坐标为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程,参数方程与普通方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题.‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎23.已知凸边形的面积为1,边长,,其内部一点到边的距离分别为.求证:.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知,易得,所以利用柯西不等式和基本不等式即可证明.‎ ‎【详解】因为凸边形的面积为1,所以,‎ 所以 ‎(由柯西不等式得)‎ - 26 -‎ ‎(由均值不等式得)‎ ‎【点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题,考查学生对不等式灵活运用的能力,是一道容易题.‎ 必做题:第24题、第25题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎24.如图,在四棱锥中,底面是直角梯形且∥,侧面为等边三角形,且平面平面.‎ ‎(1)求平面与平面所成的锐二面角的大小;‎ ‎(2)若,且直线与平面所成角为,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别取的中点为,易得两两垂直,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,易得为平面的法向量,只需求出平面的法向量为,再利用计算即可;‎ ‎(2)求出,利用计算即可.‎ ‎【详解】(1)分别取的中点为,连结.‎ 因为∥,所以∥.‎ 因为,所以.‎ 因为侧面为等边三角形,‎ 所以 又因为平面平面,‎ - 26 -‎ 平面平面,平面,‎ 所以平面,‎ 所以两两垂直. ‎ 以为空间坐标系的原点,分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 因为,则,‎ ‎,.‎ 设平面的法向量为,则,即.‎ 取,则,所以.‎ 又为平面的法向量,设平面与平面所成的锐二面角的大小为,则 ‎,‎ 所以平面与平面所成的锐二面角的大小为.‎ ‎(2)由(1)得,平面的法向量为,‎ 所以成.‎ 又直线与平面所成角为,‎ - 26 -‎ 所以,即,‎ 即,‎ 化简得,所以,符合题意.‎ ‎【点睛】本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角,涉及到面面垂直的性质定理的应用,做好此类题的关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.‎ ‎25.如图,正方形是某城市的一个区域的示意图,阴影部分为街道,各相邻的两红绿灯之间的距离相等,处为红绿灯路口,红绿灯统一设置如下:先直行绿灯30秒,再左转绿灯30秒,然后是红灯1分钟,右转不受红绿灯影响,这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处(不考虑处的红绿灯),出发时的两条路线()等可能选择,且总是走最近路线.‎ ‎(1)请问小明上学的路线有多少种不同可能?‎ ‎(2)在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下,小明优先直行,求小明骑行途中恰好经过处,且全程不等红绿灯的概率;‎ ‎(3)请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值,为小明设计一条最佳的上学路线,且应尽量避开哪条路线?‎ ‎【答案】(1)6种;(2);(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)从4条街中选择2条横街即可;‎ ‎(2)小明途中恰好经过处,共有4条路线,即,,,,分别对4条路线进行分析计算概率;‎ ‎(3)分别对小明上学的6条路线进行分析求均值,均值越大的应避免.‎ - 26 -‎ ‎【详解】(1)路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街,即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为条. ‎ ‎(2)小明途中恰好经过处,共有4条路线:‎ ‎①当走时,全程不等红绿灯概率;‎ ‎②当走时,全程不等红绿灯的概率;‎ ‎③当走时,全程不等红绿灯的概率;‎ ‎④当走时,全程不等红绿灯的概率.‎ 所以途中恰好经过处,且全程不等信号灯的概率 ‎.‎ ‎(3)设以下第条的路线等信号灯的次数为变量,则 ‎①第一条:,则;‎ ‎②第二条:,则;‎ ‎③另外四条路线:;;‎ ‎,则 综上,小明上学的最佳路线为;应尽量避开.‎ ‎【点睛】本题考查概率在实际生活中的综合应用问题,考查学生逻辑推理与运算能力,是一道有一定难度的题.‎ - 26 -‎ - 26 -‎
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