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文档介绍
江苏省百校2020届高三下学期第四次联考数学试题 Word版含解析
www.ks5u.com 2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题 第Ⅰ卷(必做题,共160分) 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.) 1.已知集合,则____________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据并集的定义计算即可. 【详解】由集合的并集,知. 故答案为: 【点睛】本题考查集合的并集运算,属于容易题. 2.已知复数满足(为虚数单位),则复数的实部为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案. 【详解】,所以复数的实部为2. 故答案为:2 【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题. 3.三所学校举行高三联考,三所学校参加联考的人数分别为160,240,400,为调查联考数学学科的成绩,现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本,若在学校抽取的数学成绩的份数为30,则抽取的样本容量为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比. - 26 - 【详解】设抽取的样本容量为x,由已知,,解得. 故答案为: 【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样,考查学生基本的运算能力,是一道容易题. 4.根据如图所示的伪代码,若输入的的值为2,则输出的的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 满足条件执行,否则执行. 【详解】本题实质是求分段函数在处的函数值,当时,. 故答案为:1 【点睛】本题考查条件语句应用,此类题要做到读懂算法语句,本题是一道容易题. 5.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习,抛一枚硬币两次,若两次都是正面朝上,就在家学习,否则出去看电影,则该同学在家学习的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 采用列举法计算古典概型的概率. 【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反), 在家学习只有1种情况,即(正,正),故该同学在家学习的概率为. 故答案: - 26 - 【点睛】本题考查古典概型的概率计算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题. 6.已知数列满足,且恒成立,则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 易得,所以是等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可. 【详解】由已知,,因,所以,所以数列是以 为首项,3为公差的等差数列,故,所以. 故答案为: 【点睛】本题考查由递推数列求数列中的某项,考查学生等价转化的能力,是一道容易题. 7.已知函数的部分图象如图所示,则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 由图可得的周期、振幅,即可得,再将代入可解得,进一步求得解析式及. - 26 - 【详解】由图可得,,所以,即, 又,即,, 又,故,所以,. 故答案为: 【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值,考查学生识图、计算等能力,是一道中档题. 8.在平面直角坐标系中,双曲线的焦距为,若过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为,则双曲线的离心率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用即可建立关于的方程. 【详解】设双曲线右焦点为,过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线分别交于两点, 则,,由已知,,即, 所以,离心率. 故答案为: 【点睛】本题考查求双曲线的离心率,做此类题的关键是建立的方程或不等式,是一道容易题. 9.已知为正实数,且,则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 - 26 - ,所以有,再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由已知,,所以, 当且仅当,即时,等号成立. 故答案为: 【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题,采用的是“1”的替换,也可以消元等,是一道中档题. 10.已知函数,则不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 ,,分类讨论即可. 【详解】由已知,,, 若,则或 解得或,所以不等式的解集为. 故答案为: 【点睛】本题考查分段函数的应用,涉及到解一元二次不等式,考查学生的计算能力,是一道中档题. 11.如图,在一个倒置的高为2的圆锥形容器中,装有深度为的水,再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后,半球的大圆面、水面均与容器口相平,则的值为____________. - 26 - 【答案】 【解析】 【分析】 由已知可得到圆锥的底面半径,再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程. 【详解】设圆锥的底面半径为,体积为,半球的体积为,水(小圆锥)的体积为,如图 则,所以,,解得, 所以,,, 由,得,解得. 故答案为: 【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算,考查学生空间想象能力与计算能力,是一道中档题. 12.如图,在梯形中,∥,分别是的中点,若,则的值为___________. 【答案】 - 26 - 【解析】 【分析】 建系,设设,由可得,进一步得到的坐标,再利用数量积的坐标运算即可得到答案. 【详解】以A为坐标原点,AD为x轴建立如图所示的直角坐标系,设,则 , 所以,,由, 得,即,又,所以 ,故,, 所以. 故答案为:2 【点睛】本题考查利用坐标法求向量的数量积,考查学生的运算求解能力,是一道中档题. 13.函数满足,当时,,若函数在上有1515个零点,则实数的范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 - 26 - 由已知,在上有3个根,分,,,四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案. 【详解】由已知,的周期为4,且至多在上有4个根,而含505个周期,所以在上有3个根,设,,易知在上单调递减,在,上单调递增,又,. 若时,在上无根,在必有3个根, 则,即,此时; 若时,在上有1个根,注意到,此时在不可能有2个根,故不满足; 若时,要使在有2个根,只需,解得; 若时,在上单调递增,最多只有1个零点,不满足题意; 综上,实数的范围为. 故答案为: 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题,涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点,是一道中档题. 14.已知圆,直线与圆交于两点,,若,则弦的长度的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 取的中点为M,由可得,可得M在 - 26 - 上,当最小时,弦的长才最大. 【详解】设为的中点,,即, 即,,. 设,则,得. 所以,. 故答案为: 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,考查学生的逻辑推理、数形结合的思想,是一道有一定难度的题. 二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.如图,已知在三棱锥中,平面,分别为的中点,且. (1)求证:; (2)设平面与交于点,求证:为的中点. - 26 - 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)要做证明,只需证明平面即可; (2)易得∥平面,平面,利用线面平行的性质定理即可得到∥,从而获得证明 【详解】证明:(1)因为平面,平面, 所以. 因为,所以. 又因为,平面,平面, 所以平面. 又因为平面,所以. (2)因平面与交于点,所以平面. 因为分别为的中点, 所以∥. 又因为平面,平面, 所以∥平面. 又因为平面,平面平面, 所以∥, 又因为是的中点, 所以为的中点. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理,考查学生的逻辑推理能力,是 一道容易题. 16.在中,角所对的边分别为,若,,,且. (1)求角的值; (2)求的最大值. 【答案】(1);(2). - 26 - 【解析】 【分析】 (1)由正弦定理可得,再用余弦定理即可得到角C; (2),再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案. 【详解】(1)因为,所以. 在中,由正弦定理得, 所以,即. 在中,由余弦定理得, 又因为,所以. (2)由(1)得,在中,, 所以 . 因为,所以, 所以当,即时,有最大值1, 所以的最大值为. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形,涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算,是一道容易题. 17.已知椭圆的左顶点为,左、右焦点分别为,离心率为,是椭圆上的一个动点(不与左、右顶点重合),且的周长为6,点 - 26 - 关于原点的对称点为,直线交于点. (1)求椭圆方程; (2)若直线与椭圆交于另一点,且,求点的坐标. 【答案】(1);(2)或 【解析】 【分析】 (1)根据的周长为,结合离心率,求出,即可求出方程; (2)设,则,求出直线方程,若斜率不存在,求出坐标,直接验证是否满足题意,若斜率存在,求出其方程,与直线方程联立,求出点坐标,根据和三点共线,将点坐标用表示,坐标代入椭圆方程,即可求解. 【详解】(1)因为椭圆的离心率为,的周长为6, 设椭圆的焦距为,则 解得,,, 所以椭圆方程为. (2)设,则,且, 所以的方程为①. - 26 - 若,则的方程为②,由对称性不妨令点在轴上方, 则,,联立①,②解得即. 的方程为,代入椭圆方程得 ,整理得, 或,. ,不符合条件. 若,则的方程为, 即③. 联立①,③可解得所以. 因为,设 所以,即. 又因为位于轴异侧,所以. 因为三点共线,即应与共线, 所以,即, 所以,又, 所以,解得,所以, - 26 - 所以点的坐标为或. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系,考查分类讨论思想和计算求解能力,属于较难题. 18.管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具,现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁,其纵截面如图2所示,一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置(图中给出的数据是圆管内壁直径大小,). (1)请用角表示清洁棒的长; (2)若想让清洁棒通过该弯头,清洁下一段圆管,求能通过该弯头的清洁棒的最大长度. 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 (1)过作的垂线,垂足为,易得,进一步可得; (2)利用导数求得最大值即可. 【详解】(1)如图,过作的垂线,垂足为,在直角中,, ,所以,同理, . - 26 - (2)设, 则, 令,则,即. 设,且,则 当时,,所以单调递减; 当时,,所以单调递增, 所以当时,取得极小值, 所以. 因为,所以,又, 所以,又, 所以,所以, 所以, 所以能通过此钢管的铁棒最大长度为. 【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用,考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题. 19.已知等差数列和等比数列的各项均为整数,它们的前项和分别为,且,. (1)求数列,的通项公式; - 26 - (2)求; (3)是否存在正整数,使得恰好是数列或中的项?若存在,求出所有满足条件的的值;若不存在,说明理由. 【答案】(1);(2);(3)存在,1. 【解析】 【分析】 (1)利用基本量法直接计算即可; (2)利用错位相减法计算; (3),令可得,,讨论即可. 【详解】(1)设数列的公差为,数列的公比为, 因为, 所以,即,解得,或(舍去). 所以. (2), , 所以, 所以. (3)由(1)可得,, 所以. - 26 - 因为是数列或中的一项,所以, 所以,因为, 所以,又,则或. 当时,有,即,令. 则. 当时,;当时,, 即. 由,知无整数解. 当时,有,即存在使得是数列中的第2项, 故存在正整数,使得是数列中的项. 【点睛】本题考查数列的综合应用,涉及到等差、等比数列的通项,错位相减法求数列的前n项和,数列中的存在性问题,是一道较为综合的题. 20.已知函数(是自然对数的底数,). (1)求函数的图象在处的切线方程; (2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围; (3)若函数在区间上有两个极值点,且恒成立,求满足条件的的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值). 【答案】(1);(2);(3). 【解析】 【分析】 (1)利用导数的几何意义计算即可; (2)在上恒成立,只需,注意到; - 26 - (3)在上有两根,令,求导可得在上单调递减,在上单调递增,所以且,,,求出的范围即可. 【详解】(1)因为,所以, 当时,, 所以切线方程为,即. (2),. 因为函数在区间上单调递增,所以,且恒成立, 即, 所以,即,又, 故,所以实数的取值范围是. (3). 因函数在区间上有两个极值点, 所以方程在上有两不等实根,即. 令,则,由,得, 所以在上单调递减,在上单调递增, 所以,解得且. 又由,所以, 且当和时,单调递增, - 26 - 当时,单调递减,是极值点, 此时 令,则, 所以在上单调递减,所以. 因为恒成立,所以. 若,取,则, 所以. 令,则,. 当时,;当时,. 所以, 所以在上单调递增,所以, 即存在使得,不合题意. 满足条件的的最小值为-4. 【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值点,不等式恒成立等知识,是一道难题. 第Ⅱ卷(附加题,共40分) 选做题:请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 选修4-2:矩阵与变换 21.已知矩阵不存在逆矩阵,且非零特低值对应的一个特征向量,求的值. 【答案】 【解析】 - 26 - 【分析】 由不存在逆矩阵,可得,再利用特征多项式求出特征值3,0,,利用矩阵乘法运算即可. 【详解】因为不存在逆矩阵,,所以. 矩阵的特征多项式为, 令,则或, 所以,即, 所以,所以 【点睛】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题,考查学生的运算能力,是一道容易题. 选修4-4:坐标系与参数方程 22.以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,已知曲线,曲线(为参数),求曲线交点的直角坐标. 【答案】 【解析】 【分析】 利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可. 【详解】因为,所以, 所以曲线的直角坐标方程为. 由,得, - 26 - 所以曲线的普通方程为. 由,得, 所以(舍), 所以, 所以曲线的交点坐标为. 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程,参数方程与普通方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题. 选修4-5:不等式选讲 23.已知凸边形的面积为1,边长,,其内部一点到边的距离分别为.求证:. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 由已知,易得,所以利用柯西不等式和基本不等式即可证明. 【详解】因为凸边形的面积为1,所以, 所以 (由柯西不等式得) - 26 - (由均值不等式得) 【点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题,考查学生对不等式灵活运用的能力,是一道容易题. 必做题:第24题、第25题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 24.如图,在四棱锥中,底面是直角梯形且∥,侧面为等边三角形,且平面平面. (1)求平面与平面所成的锐二面角的大小; (2)若,且直线与平面所成角为,求的值. 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 (1)分别取的中点为,易得两两垂直,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,易得为平面的法向量,只需求出平面的法向量为,再利用计算即可; (2)求出,利用计算即可. 【详解】(1)分别取的中点为,连结. 因为∥,所以∥. 因为,所以. 因为侧面为等边三角形, 所以 又因为平面平面, - 26 - 平面平面,平面, 所以平面, 所以两两垂直. 以为空间坐标系的原点,分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系, 因为,则, ,. 设平面的法向量为,则,即. 取,则,所以. 又为平面的法向量,设平面与平面所成的锐二面角的大小为,则 , 所以平面与平面所成的锐二面角的大小为. (2)由(1)得,平面的法向量为, 所以成. 又直线与平面所成角为, - 26 - 所以,即, 即, 化简得,所以,符合题意. 【点睛】本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角,涉及到面面垂直的性质定理的应用,做好此类题的关键是准确写出点的坐标,是一道中档题. 25.如图,正方形是某城市的一个区域的示意图,阴影部分为街道,各相邻的两红绿灯之间的距离相等,处为红绿灯路口,红绿灯统一设置如下:先直行绿灯30秒,再左转绿灯30秒,然后是红灯1分钟,右转不受红绿灯影响,这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处(不考虑处的红绿灯),出发时的两条路线()等可能选择,且总是走最近路线. (1)请问小明上学的路线有多少种不同可能? (2)在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下,小明优先直行,求小明骑行途中恰好经过处,且全程不等红绿灯的概率; (3)请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值,为小明设计一条最佳的上学路线,且应尽量避开哪条路线? 【答案】(1)6种;(2);(3). 【解析】 【分析】 (1)从4条街中选择2条横街即可; (2)小明途中恰好经过处,共有4条路线,即,,,,分别对4条路线进行分析计算概率; (3)分别对小明上学的6条路线进行分析求均值,均值越大的应避免. - 26 - 【详解】(1)路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街,即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为条. (2)小明途中恰好经过处,共有4条路线: ①当走时,全程不等红绿灯概率; ②当走时,全程不等红绿灯的概率; ③当走时,全程不等红绿灯的概率; ④当走时,全程不等红绿灯的概率. 所以途中恰好经过处,且全程不等信号灯的概率 . (3)设以下第条的路线等信号灯的次数为变量,则 ①第一条:,则; ②第二条:,则; ③另外四条路线:;; ,则 综上,小明上学的最佳路线为;应尽量避开. 【点睛】本题考查概率在实际生活中的综合应用问题,考查学生逻辑推理与运算能力,是一道有一定难度的题. - 26 - - 26 -查看更多